精品解析：重庆市永川北山中学校2022届高三高考仿真数学试题（解析版）

重庆市永川北山中学高2022级高考仿真考试

数  学

数学测试卷共4页，满分150分.考试时间120分钟.

注意事项：

1. 答题前，考生务必讲自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考生科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致.

2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答.若在试题卷上作答，答案无效.

3. 考试结束后，考生必须将试题卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合则 （    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】由集合的补集及交集运算可求.

【详解】解：由题意，，

故选：A.

2. 表示复数的共轭复数，若，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】直接利用复数的运算求解.

【详解】由题得.

故选：A

3. 下列函数中是奇函数的为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据奇函数的定义，先判断每一选项中函数的定义域，在定义域关于原点对称的前提下，再判断是否成立，即可得答案.

【详解】解：对于A，因为，，关于原点对称，，故不是奇函数；

对于B，因为，，关于原点对称，，故不是奇函数；

对于C，因为，，关于原点对称，，故是奇函数；

对于D，因为，，不关于原点对称，所以函数不具有奇偶性.

故选：C.

4. 已知，，，则下列关系正确的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】利用指对数性质，判断指对数的大小.

【详解】∵，

∴.

故选：C.

5. 将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，下列说法正确的是（    ）

A. 是奇函数 B. 的周期是

C. 的图象关于直线对称 D. 的图象关于点对称

【答案】D

【解析】

【分析】由给定的变换求出函数的解析式，然后逐一验证各选项即可得解.

【详解】由已知得：，

选项A：，是偶函数，A不正确；

选项B：由得的周期是，B不正确；

选项C：由知，的图象关于直线不对称，C不正确；

选项D：由知，的图象关于点对称，D正确.

故选：D

6. 北斗导航系统由55颗卫星组成，于2020年6月23日完成全球组网部署，全面投入使用.北斗七星自古是我国人民辨别方向判断季节的重要依据，北斗七星分别为天枢、天璇、天玑、天权、玉衡、开阳、摇光，其中玉衡最亮，天权最暗.一名天文爱好者从七颗星中随机选两颗进行观测，则玉衡和天权至少一颗被选中的概率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据古典概型计算公式，结合组合的定义、对立事件的概率公式进行求解即可.

【详解】因为玉衡和天权都没有被选中的概率为，

所以玉衡和天权至少一颗被选中的概率为.

故选：B.

7. 设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则（    ）

A. 若，，则

B. 若，，则

C. 若，，则

D. 若，，则

【答案】C

【解析】

【分析】直接利用线面垂直和线面平行的判定和性质的应用及面面平行和面面垂直的判定和性质的应用确定A、B、C、D的结论．

【详解】解：A.若，，则；此命题错误，因为两个平面平行于同一条直线不能保证两个平面平行，故A不正确；

B.若，，则或，故B不正确；

C.若，，则；此命题正确，因为，则一定存在直线在，使得，又可得出，由面面垂直的判定定理知，，故C正确；

D.若，，则或，异面，故D不正确.

故选：C.

8. 点为边长为1的正四面体底面内一点，且直线与底面所成角的正切值为，则动点所在曲线长度为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】求得正四面体的高为，根据直线与底面所成角的正切值为，在直角中，求得，得到点的轨迹是以为圆心，半径为的圆在正内部的部分，结合扇形的弧长公式，即可求解.

【详解】如图所示，边长为1的正四面体，可得正四面体的高为，

可得为斜线与平面所成的角，

因为直线与底面所成角的正切值为，

在直角中，可得，所以，

所以点的轨迹是以为圆心，半径为的圆在正内部的部分，

可得，

所以动点所在曲线长度为.

故选：C.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 已知三个正态分布密度函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】BD

【解析】

【分析】根据正态曲线的性质可知，图象关于对称，的越小图象显得高瘦，结合这些可以判断选项.

【详解】由正态曲线的性质可知，图象关于对称，的越小图象显得高瘦，

据图可知，，

故选：BD.

10. 已知双曲线的左，右焦点分别为，一条渐近线方程为，为上一点，则以下说法正确的是（    ）

A. 的实轴长为 B. 的离心率为

C.  D. 的焦距为

【答案】AD

【解析】

【分析】根据双曲线方程及一条渐近线求出，写出双曲线方程，根据双曲线的定义、性质即可判断各项的正误.

【详解】由双曲线方程知：渐近线方程为，而一条渐近线方程为，

∴，故，

∴双曲线：实轴长，离心率为，由于可能在不同分支上则有，焦距为.

∴A、D正确，B、C错误.

故选：AD

11. 如图，在正方体中，点在线段 上运动，则（    ）

A. 直线平面

B. 直线平面

C. 三棱锥的体积为定值

D. 异面直线与所成角的取值范围是

【答案】ABC

【解析】

【分析】A、B由正方体的性质，线面垂直的判定证线面垂直，线面垂直、面面平行的性质证线面平行；C利用线面平行即可知的体积是否为定值；D利用两线平行转移异面直线所成角，进而确定角的范围；

【详解】A：由正方体的性质，在、上的射影分别为、，而，，则，，，所以面，正确；

B：连接、、，同A选项可证面，所以面面，而面，则平面，正确；

C：在线段 上运动，由B知面，所以三棱锥的体积为定值，正确；

D：由正方体性质有，即与所成角等于与所成角，所以角的取值范围是，错误.

故选：ABC.

12. 已知函数，则（    ）．

A.  B. 若有两个不相等的实根，则

C.  D. 若，均为正数，则

【答案】AD

【解析】

【分析】先求导数，判断函数单调性，A,C,D结合单调性可以判断正误，B结合反例可以判断错误.

【详解】对于A：，又，，，所以，则有，A正确；

对于B：当时，，为增函数；

当时，，为减函数；所以有极大值.

若有两个不相等的正实根，不妨取，显然，此时不满足，B不正确；

对于C：由B可知，在上单调递增，则有，即，则有， C不正确；

对于D：令，，均为正数，则，解得：，，，

由B可知，在上单调递增，则有，即，即，所以，D正确.

故选：AD.

【点睛】关键点点睛：本题求解的关键是利用导数求出函数的单调区间，结合单调性，比较数值的大小.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知，则__．

【答案】

【解析】

【分析】

利用余弦的倍角公式和三角函数的基本关系式，即可求解.

【详解】由，又由.

故答案为：．

14. 写出一个离心率为的双曲线的标准方程_______________________.

【答案】(其他符合也对)

【解析】

【分析】根据题意，由双曲线的离心率公式可得，即，假设双曲线的焦点在轴且，求出双曲线的标准方程，即可得答案．

【详解】根据题意，要求双曲线的离心率，则，

若双曲线的焦点在轴，，则，，

则要求双曲线的方程为

故答案为：(其他符合的也对)

15. 过点(3，1)作圆的弦，其中最短的弦长为__________.

【答案】

【解析】

【详解】最短弦为过点与圆心连线的垂线与圆相交而成，，所以最短弦长为

【考点定位】本题考查直线和圆的位置关系，考查数形结合思想和运算能力. 圆的半径、弦心距、半弦构成的直角三角形在解决直线和圆问题常常用到，本题只需要简单判断最短弦的位置就能轻松解答,有时候可能会出现点到直线的距离公式来求弦心距的长度.

16. 英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广泛，若数列满足，则称数列为牛顿数列.如果函数，数列为牛顿数列，设，且，.则______；数列的前项和为，则_______.

【答案】    ①. 2    ②.

【解析】

【分析】由牛顿数列的定义可得与的关系式，代入可得 ，进而通过等比数列的通项公式与等比数列求和公式可求得结果.

【详解】因为，所以，所以，所以，，所以，

所以，

即：，又，所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，

所以，所以，.

故答案为：2；.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 如图，已知平面四边形，，，，，.

（1）求；

（2）求的值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】（1）由余弦定理求，根据勾股逆定理知，即可求.

（2）由（1）得，应用正弦定理即可求的值.

【详解】（1）在△中，由余弦定理，有，

，即，

.

（1）在四边形中，，

∴，

在△中，由正弦定理，则.

18. 在①，②，③这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并加以解答.

设等差数列的前项和为，数列为等比数列，_________，.

求数列的前项和.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【答案】不论选哪个条件，始终有

【解析】

【分析】

由、等差数列的定义列方程组、递推公式可分别求得①②③中数列的通项公式及前n项和；根据题意可求得，利用等比数列的前n项和公式及裂项相消法即可求得数列的前项和.

【详解】选①

当时，，

当时，，

又满足，所以；

选②

设公差为，由，得

解得所以；

选③

由，得，所以，即，

，所以，

所以.

①②③均可求得，

设的公比为q，又因为，由，

得，所以，

所以数列的前n项和为，

因为，

数列的前项和为，

故.

【点睛】本题考查数列综合应用，涉及等差数列、等比数列的通项公式及前n项和，裂项项相消法求和，属于中档题.

19. 如图，在三棱柱中，是边长为2的等边三角形，平面平面，，，为的中点，为的中点.

（1）求证：平面；

（2）求二面角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

【分析】（1）取的中点，易得四边形为平行四边形，则，然后利用线面平行的判定定理证明；

（2）以为，，轴正半轴，建立空间直角坐标系，分别求得平面的一个法向量和平面的一个法向量，设二面角为，由求解.

【详解】（1）如图所示：

取的中点，连接，，

因为，分别为，中点，

所以，

因为为中点，所以，

又，

所以，

所以，即四边形为平行四边形，

所以，

因为平面，平面，

所以平面；

（2）如图所示：

连接，，因为是等边三角形，且为中点，所以，

因为平面平面，平面平面，平面，

所以平面，因为平面，所以，

因为，且，所以是正三角形，所以，

以，，轴正半轴，建立空间直角坐标系，

因为边长为2，所以边长为2，则，，

所以，，，，

所以，，，

设平面的一个法向量为，

则，

取，则，所以，

设平面的一个法向量为，

则，

取，则，，所以，

设二面角为，

则，

所以.

【点睛】方法点睛：1、利用向量求异面直线所成的角的方法：设异面直线AC，BD的夹角为β，则cos β＝.

2、利用向量求线面角的方法：(1)分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角．

3、利用向量求面面角的方法：就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．

20. 2021年中国共产党迎来了建党100周年，为了铭记建党历史、缅怀革命先烈、增强爱国主义情怀，某校组织了党史知识竞赛活动，共有200名同学参赛．为了解竞赛成绩的分布情况，将200名同学的竞赛成绩按、、、、、、分成7组，绘制成了如图所示的频率分布直方图．

（1）求这200名同学竞赛成绩的中位数及竞赛成绩不低于80分的同学人数；

（2）学校决定对竞赛成绩不低于80分的同学中以抽奖的方式进行奖励，其中竞赛成绩不低于90分的同学有两次抽奖机会，低于90分不低于80分的同学只有一次抽奖机会，奖品为党史书籍，每次抽奖的奖品数量（单位：本）及对应的概率如下表：现在从竞赛成绩不低于80分的同学中随机选一名同学，记其获奖书籍的数量为，求的分布列和数学期望．

【答案】（1）中位数65，不低于80分的同学有人；   

（2）分布列见解析，

【解析】

【分析】（1）先确定中位数所在的组，设中位数为，由从左到右频率和为0.5列等式求解即可；

（2）的可能取值为2，4，6，8，对应的概率P分步计算：第一步为不同抽奖次数的概率，第二步为不同抽中本数的概率，最后按定义列出分布列，求数学期望即可.

【小问1详解】

∵，，所以中位数位于之间，

设这200名同学竞赛成绩的中位数为，则，解得．

竞赛成绩不低于80分的学生人数为：；

小问2详解】

设这名同学获得书籍的数量为，则的可能取值为2，4，6，8．

，，，，

所以的分布列为

.

21. 已知椭圆的焦距为，且过点．

（1）求的标准方程；

（2）过的右焦点的直线与交于，两点，上一点满足，求．

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】（1）利用椭圆的定义可求，求出可得标准方程，也可以利用待定系数法求出标准方程.

（2）设直线：，直线，设，，联立直线的方程和椭圆方程，利用弦长公式可求，联立直线的方程与椭圆方程可求的坐标，从而得到关于的方程，求解后可求.

【详解】（1）法1：设焦距为，则，

设椭圆左右焦点为、，则，，

则，解得，

所以椭圆的标准方程为．

法2：（1）设焦距为为，则，

点在椭圆上，有，

解得，，

所以椭圆的标准方程为．

（2）由得，

①当直线：时，，，舍去；

②设直线：，直线，设，，

联立，

得：，，

由韦达定理得：，，

，

联立，解得，

得到，

依题意得，解得：，

所以．

【点睛】方法点睛：求椭圆的标准方程，关键是基本量的确定，方法有待定系数法、定义法等. 直线与圆锥曲线的位置关系中的计算问题，一般可通过联立方程组并消元得到关于或的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有或，最后利用韦达定理把关系式转化为若干变量的方程，求出其解即可.

22. 已知函数，.

（1）设，求的极值；

（2）若函数有两个极值点，，求的最小值.

【答案】（1）极小值；（2）最小值为.

【解析】

【分析】(1)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的极值即可；

（2）求出，令，则，根据函数的单调性求出最小值即可.

【详解】（1），，

令，解得或，在上增，在减，在增

所以在处取到极大值

在处取到极小值

（2）函数，，，

因为，是函数的极值点，所以是方程的两不等正根，

则有，，，所以，，

即，，且有，，

令，则，，

，当上单调递减，

当上单调递增.所以.

所以的最小值为

【点睛】关键点点睛：化简，令，构造函数

是解题的关键，属于中档题.