2023届高三数学一轮复习大题专练02导数恒成立问题2

一轮大题专练2—导数（恒成立问题2）

1．已知函数，．

（Ⅰ）当时，求证：；

（Ⅱ）若不等式在，上恒成立，求实数的取值范围．

（Ⅰ）证明：令，，

（1）当时，，

因为，

所以在，上单调递增，且，

当时，，当时，，

所以在，上单调递减，在上单调递增，

所以，所以；

（2）当时，则，所以．

综上所述，当时，．

（Ⅱ）解：令，，

则，

由题意得在，上恒成立，因为，

所以，所以，

下证当时，在，上恒成立，

因为，

令，只需证明在，上恒成立，

（1）当时，，

，因为在，上单调递减，所以，

所以在，上单调递减，所以，

所以在，上单调递减，所以；

（2）当时，．

综上所述，实数的取值范围是，．

2．已知函数．

（1）讨论函数的单调性；

（2）证明：为自然对数的底数）恒成立．

解：（1）的定义域为，，分

当时，恒成立，所以在上单调递增；分

当时，令，得到．

所以，当时，，则在上单调递增；

当，时，，则在，上单调递减，

综上所述，当时，在上单调递增；

当时，在上单调递增，在，上单调递减分

（2）证明：记函数，则，分

易知在上单调递增，

又由（1），（2）知，在上有唯一的实数根，分

且，则，

即，分

当时，，则在上单调递减，

当，时，，则在，上单调递增，

所以，

结合，知，分

所以，分

则，即，所以为自然对数的底数）恒成立分

3．已知函数，，其中为自然对数的底数，．

（1）若对任意的，，总存在，，使得，求的取值范围；

（2）若函数的图象始终在函数的图象上方，求的取值范围．

解：（1）对任意的，，总存在，，使得，，．

，，．

，在，上单调递增，

（1）．

，，．

，

①时，，函数在，上单调递增，（1），解得．

②时，，不成立，舍去．

③时，，函数在，上单调递减，，而，舍去．

综上可得：的取值范围是，．

（2）函数的图象始终在函数的图象上方，即，，也即，．

令，．

，

时，，函数在上单调递减，（1），不满足题意，舍去．

时，函数在上单调递增，存在唯一使得，即，．

，解得．

的取值范围是，．

4．已知函数，．

（1）讨论函数的单调性；

（2）若关于的不等式对任意恒成立，求实数的取值范围．

解：（1）因为函数，，

所以，

当时，，在，上单调递减，

当时，，在，上单调递增，

当时，令，解得，

当时，，故单调递增，当时，，故单调递减．

综上所述，当时，在，上单调递减；当时，在，上单调递增；

当时，在上单调递增，在上单调递减；

（2）不等式对任意恒成立，即对任意恒成立，

令，又，

故不等式等价于对任意恒成立，

，所以，即，解得，

当时，，

恒成立，

故，

故当时，对任意恒成立，

所以的取值范围为，．

5．已知函数．

（1）若直线是曲线的切线，求实数的值；

（2）若对任意，不等式成立，求实数的取值集合．

解：（1），

，

设切点为，，则，

代入直线得：，

即，，

令，有（1），

，在单调递增，

方程有唯一解，

；

（2），，

恒成立，

设，则，

令，，△，

有2个不相等实根，，

则，不妨设，

当，，当，，，

在单调递减，在，单调递增，

，

由得到，

，

令，

则，

当时，，当时，，

则在单调递增，在单调递减，

（1），

，，则，故，

实数的取值集合是．

6．设函数．

（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；

（Ⅱ）若为的导函数）在上恒成立，求实数的取值范围．

解：（Ⅰ）当时，，，

所以，

令，所以，

当时，，故为增函数；

当时，，故为减函数，

所以（1），即，

所以函数的单调递减区间为，无单调递增区间．

（Ⅱ）因为，所以且，

所以在上恒成立在上恒成立在上恒成立，

令，，则且（1），

当时，恒成立，故在上为增函数，所以（1），即时不满足题意；

当时，由，得，

若，则，故在，上为减函数，在上为增函数，

所以存在，使得（1），即时不满足题意；

若，，则，故在上为减函数，

所以（1），所以恒成立，故符合题意．

综上所述，实数的取值范围是，．

7．已知为自然对数的底数，函数．

（1）设是的极值点，求的值和函数的单调区间；

（2）当，时，恒成立，求的取值范围．

解：（1）因为，

由（1），得，

当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

所以函数在上单调递减，在上单调递增．

（2）令，，，

当，时，恒成立等价于恒成立，

由于，，，

所以当时，，

函数在，上单调递增，

所以，在区间，上恒成立，符合题意，

当时，在，单调递增，

，

①当时，即时，，

函数在，单调递增，

所以在，恒成立，符合题意，

②当即时，，，

若，即时，在恒小于0，

则在单调递减，，不符合题意，

若，即时，

存在使得，

所以当时，，

则在上单调递减，

所以，不符合题意，

综上所述，的取值范围是，．

8．已知函数．

（1）若曲线在点处的切线为，求，；

（2）当时，若关于的不等式在，上恒成立，试求实数的取值范围．

解：（1）函数的导数，

根据函数导数的几何意义，可得（1），即．

则，点坐标为

点在直线上

故，．

（2）当时，

关于的不等式在，上恒成立，

，

设，则，

由的导数为，可得时，，函数递增，时，函数递减，则，即，

当时，，

则在，递增，可得，

则．