2023届高三数学一轮复习大题专练03导数极值极值点问题1

一轮大题专练3—导数（极值、极值点问题1）

1．已知函数．

（1）若，求曲线在点，（1）处的切线方程．

（2）若，证明：存在极小值．

（1）解：当时，，

所以．

所以（1），（1）．

所以曲线在点，（1）处的切线方程为，

即．

（2）证明：由，得．

令，则．

当时，；当时，．

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以的最小值为（1）．

因为，所以（1），．

因为在上单调递增，

所以存在，使得，

在上，，在，上，，

即在上，，在，上，，

所以在上单调递减，在，上单调递增，

所以存在极小值．

2．已知函数，．

（1）若，函数图象上所有点处的切线中，切线斜率的最小值为2，求切线斜率取到最小值时的切线方程；

（2）若有两个极值点，且所有极值的和不小于，求的取值范围．

解：（1），，

当时，，当且仅当，即时取等号，取得最小值，

所以，又（1），

所以，此时切线方程，即；

（2），，

则，

因为有两个极值点，所以在时有两不等根，设为，，

所以，

解得，且，，

，

令，则，，

所以单调递减且，

由，

所以．

3．已知函数的最小值为0．

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）设函数，证明：有两个极值点，，且．

解：（Ⅰ），定义域是，

，

时，，在递增，无最小值，不合题意，

时，令，解得：，令，解得：，

故在递减，在递增，

故（a），解得：，

综上：；

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ），

则，

，令，解得：，令，解得：，

故在递减，在，递增，

故，而，（1），

故有2个零点，，其中，，

由，得：，

故，当且仅当时“”成立，

显然“”不成立，

故．

4．已知函数，．

（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；

（Ⅱ）若函数在，上有两个极值点，求实数的取值范围．

解：（Ⅰ）当时，，

则，

因为，

所以当时，，即在此区间上单调递减，

当时，，即在此区间上单调递增，

所以的单调增区间为，单调减区间为；

（Ⅱ）设函数，

令，

则在，上有两个不同的零点，

，

故当时，，则单调递增，

当时，，则单调递减，

又在，上有两个不同的零点，

所以，即，解得，

故实数的取值范围为．

5．已知，．

（1）当时，求证：对任意，；

（2）若是函数的极大值点，求的取值范围．

解：（1）证明：当时，，

则，

当时，，

令，

则，

所以在上单调递增，

又，

所以当时，，，单调递减，

当时，，，单调递增，

所以，

所以对任意，，

（2）

，

令，

的正负与的单调性有关，且，

所以，

令，

所以，

所以当，时，，

当，时，，

，

所以，时，，

所以在，上单调递增，，

当，即时，时，，，

所以在上单调递增，

又因为，

所以在上恒成立，

所以在上恒成立，

所以在上单调递增，不合题意，

所以舍去，

当时，即，，使得在，恒为负，

所以在，上成立，

所以在，上单调递减，且，

所以，时，，，单调递增，

时，，，单调递减，

所以在处取得极大值，

所以，

综上所述，的取值范围为．

6．已知函数，．

（1）若在，（1）处的切线斜率为，求函数的单调区间；

（2），若是的极大值点，求的取值范围．

解：（1）的定义域是，，

（1），，

，

令，解得：，，

令，解得：或，

令，解得：，

故在递增，在，递减，在，递增，

即的递增区间是和，，递减区间是，．

（2）由题意得，，

，，

令，则，，

若，当时，单调递增，

故在上单调递增，

又，，

故存在，使得，

故当时，，

在上单调递减，又，

故当时，，当时，，

故在上单调递增，在上单调递减，符合题意，

若，当时，，

故在递增，，在上递增，

故不可能是的极大值点，

综上，当是的极大值点时，的取值范围是．