湖北省武汉市江岸区、东西湖区2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷(含答案)

2022-2023学年湖北省武汉市江岸区、东西湖区九年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个是正确的，请在答题卡上将正确答案的代号涂黑.

1．将一元二次方程化成一般形式后，常数项为，二次项系数和一次项系数分别是　　

A．5， B．5，4 C．5， D．5，1

2．将四个数字看作一个图形，则下列四个图形中，是中心对称图形的是　　

A． B． 

C． D．

3．用配方法解方程时，方程可变形为　　

A． B． C． D．

4．如果将抛物线向右平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是　　

A． B． C． D．

5．如图，在中，，，则的度数是　　

A． B． C． D．

6．已知方程的两个根分别为、，则的值为　　

A． B． C．7 D．3

7．如图1，线段长为2，点是线段上一动点（不与端点重合），设长为，如图2，在同一直角坐标系中甲表示的值随的变化情况，乙表示的值随的变化情况，则点所对应的值为　　

A． B．1 C． D．

8．分别用定长为的线段围成矩形、圆、等边三角形，则面积最大的图形是　　

A．矩形 B．圆 C．等边三角形 D．无法确定

9．如图，已知是的一条弦，直径与弦交于点，且，已知，，则点到的距离为　　

A． B． C．2 D．

10．如图，矩形中，点、分别为边、上两动点，且，，沿翻折矩形，使得点恰好落在边（含端点）上，记作点，翻折后点对应点，则的最小值为　　

A． B． C． D．2

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接写在答题卡的指定位置.

11．在平面直角坐标系中，若点与点关于原点对称，则点的坐标为 　　．

12．已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是 　　．

13．如图，中，，将其绕点旋转得到△，使点落在边上，若，则的度数为 　　．

14．如图，一条笔直铁路和一条笔直公路在点处交汇，，在点处有一栋居民楼，米，已知火车行驶时，周围200米以内都会受到噪声的影响，若火车在铁路上沿方向以每秒20米的速度行驶，那么居民楼受噪声影响的时间为 　　秒．（不考虑火车长度，结果保留小数点后一位，参考数据：，

15．如图，二次函数图象的对称轴为直线，下列结论中：①；②；③；④当图象经过点，时，方程的两根为、，则，其中正确的结论是 　　（填写序号）．

16．如图，为等腰直角三角形，，点、分别为边、的中点，若将绕点逆时针方向旋转得到△、的对应点分别为、，当线段所在直线经过的一个顶点时，的值为 　　．

四、解答题（共8小题，共72分）下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形.

17．（8分）解方程：．

18．（8分）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数量的小分支，主干、支干和小分支的总数是57，每个支干长出多少小分支？

19．（8分）已知某二次函数的图象如图所示．

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）观察图象，当时，的取值范围为 　　（直接写出答案）

20．（8分）如图所示，以为直径的经过三角形的顶点，平分交于点，平分交于点，连接．

（1）求证：；

（2）若，，求的长．

21．（8分）如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的顶点在格点上．仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．

（1）在图1中，将线段绕点顺时针旋转得到线段，画出线段；在内部找一点，使，连接、；

（2）在图2中，为线段的中点，作关于的对称点，再以为旋转中心，将顺时针旋转得到△，画出△（点、、分别对应点、、；若的度数为，则的度数为 　　（直接用含的式子写出答案）．

22．（10分）为了响应“乡村振兴”政策的号召，某农科所下乡为村民指导大棚种植．如图展示的是一个横截面为抛物线的大棚，有关尺寸如图所示．

如图1，已知大棚横截面最高点到地面的距离为2米，两端触地点、相距5米．

（1）以点为坐标原点，水平向右为轴正方向，竖直向上为轴正方向构建平面直角坐标系，求此抛物线的解析式（不需要求自变量的取值范围）；

（2）一位身高1.60米的菜农，若要在大棚内站直行走，求此菜农在横截面内横向活动范围为多少米；

（3）如图2，为了使大棚更牢固，在此横截面内从点起，沿地面每隔1米竖立一根钢杆连接到大棚外边缘上，则在此横截面内所有钢杆的长度和为 　　米（直接写出答案即可）．

23．（10分）已知点，，在同一直线上，、均为等边三角形．

（1）问题发现

如图1，若点、在直线的同侧时，求证：；

（2）拓展探究

如图2，若点、在直线的异侧时，连接并延长交于点，连接，求；

（3）解决问题

如图3，点、在直线的异侧，点在线段上运动时，过点作，垂足为点，且与点不重合，若，，则的长为 　　（直接用含．的式子写出结论）．

24．（12分）如图1，抛物线与轴交于、两点在的左边），与轴交于点，且．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图2，在线段下方的抛物线上存在一点使线段与线段交于点，求点的坐标；

（3）如图3，在抛物线下方存在一点，，连接、分别与抛物线交于点、（点、异于点、，且直线和轴交于点，求的长（用含的式子表示）．

2022-2023学年湖北省武汉市江岸区、东西湖区九年级（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个是正确的，请在答题卡上将正确答案的代号涂黑.

1．【解答】解：，

，

所以二次项系数和一次项系数分别是5，，

故选：．

2．【解答】解：中心对称图形，即把一个图形绕一个点旋转后能和原来的图形重合，所以选项符合题意，

故选：．

3．【解答】解：，

，

则，即，

故选：．

4．【解答】解：将抛物线向右平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是，

故选：．

5．【解答】解：连接，如图：

在中，，

，

，

，

，

故选：．

6．【解答】解：方程的两个解分别为、，

，，

．

故选：．

7．【解答】解：图像与图像交于点，

，

，

对图1来讲，点刚好是黄金比例点，

，

，

，

，

点所对应的值为．

故选：．

8．【解答】解：设矩形一边长为，则另一边长为，

，

此时矩形面积最大值为，

周长为的圆的半径为，

圆的面积为，

周长为的等边三角形的边长为，

等边三角形的面积为，

，

面积最大的图形是圆，

故选：．

9．【解答】解：作于，

，，

，

，

，

，

，

，

，

，

，，

，

，

，

故选：．

10．【解答】解：连接，，，

以翻折后，点与点重合，

，，，

，

四边形为矩形，，

，

当的最小时，最小，

由图可知，当点与点重合时，最小，

设，则，，

在中，

，

，

解得：，

的最小值为．

故选：．

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接写在答题卡的指定位置.

11．【解答】解：在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，则点的坐标为．

故答案为：．

12．【解答】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根，

△，

解得：，

故答案为3．

13．【解答】解：，，绕点旋转得到△，使点落在上，

，，

．

故答案为：．

14．【解答】解：如图，过点作于，以点为圆心，以200米为半径画圆，则交于点，设另一个交点为，连接，

当火车行驶到点时，开始影响居民楼，当驶离点时，结束影响居民楼，

米，，

（米，

，

（米，

影响所持续的时间为（秒，

故答案为：17.3．

15．【解答】解：抛物线开口向上，

，

抛物线的对称轴为直线，

即，

，

抛物线与轴的交点在轴下方，

，

，所以①错误；

时，，

，

而，

，所以②正确；

，，，

，所以③正确；

图象经过点，时，方程的两根为，，

二次函数与直线的一个交点为，，

抛物线的对称轴为直线，

二次函数与直线的另一个交点为，，

即，，

，所以④正确．

故答案为：②③④．

16．【解答】解：设，

为等腰直角三角形，，

，，

点、分别为边、的中点，

，

，

如图，当线段所在直线经过点时，过点作于，

，

，

，

将绕点逆时针方向旋转得到△，

，

在和中，

，

，

，

，

当线段所在直线经过点时，过点作于，

同理可求，

故答案为：．

四、解答题（共8小题，共72分）下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形.

17．【解答】解：

，；

18．【解答】解：设每个支干长出的小分支的数目是个，

根据题意列方程得：，

解得：或（不合题意，应舍去）；

；

答：每支支干长出7个小分支．

19．【解答】解：（1）顶点为，

设二次函数解析式为，

把代入可得，

解得，

；

（2）当时，，当时，，

的最小值是，

的取值范围是．

故答案为：．

20．【解答】（1）证明：平分，

，

，

，

；

（2）解：如图，连接、，交于点，

，．

垂直平分．

，，

，，

在中，，

，解得，

，

在中，，

，

平分，平分，

，．

，，

．

．

21．【解答】解：（1）如图1中，相等，点即为所求；

（2）如图2中，点，△，即为所求．．

故答案为：．

22．【解答】解：（1）如图所示：

设抛物线的解析式为，

由题意，得，

解得：，

抛物线的解析式为；

（2）当时，

．

解得：，，

，

他在不弯腰的情况下在大棚里活动的范围是；

（3）抛物线的对称轴为直线，

当或时，，

当或时，，

所有钢杆的长度和为（米，

故答案为：6.4．

23．【解答】（1）证明：和都是等边三角形，

，，，

，

即．

在和中，

，

；

（2）解：在上截取，连接，如图2，

由（1）得：，

，

又，

，

为等边三角形，

，，

在等边中，，，

，

即，

，

，

又，

；

（3）解：如图2，当在线段的延长线上时，

由（2）可知，

，

，

，，

，

，

，，

同理可得，

，

；

如图3，当点在线段上时，

同理可得，

，

，

综上所述，的长为或．

故答案为：或．

24．【解答】解：（1）由抛物线的表达式知，，即点，

将点的坐标代入抛物线表达式得：，解得，

抛物线的表达式为；

（2）设某直线的表达式为，直线上两点坐标为：，、，，

则，整理得：①，

改直线的表达式我们也可表示为：②．

过点作交轴于点，设直线交轴于点，

设直线表达式中的表达式为，

由②知，的表达式为，则点，

同理，直线的表达式为，则点，

和是同底均为，且，

，即，解得，

故直线的表达式为，

由点、的坐标得，直线的表达式为，

联立上述两式得：，解得，

当时，，

即点；

（3）点、，，

则由①知，该直线的值，

由②知，直线的表达式为③，

同理可得，直线的表达式为④，

由（1）知抛物线的表达式为⑤，

联立③⑤并解得，即点的坐标为，，

联立③⑤，同理可得，点的坐标为，；

设直线、的表达式为，

由①得：，

由②知，直线的表达式为，

当时，，

即点的坐标为，

则．

答：的长为：．