吉林省长春市长春吉大附中实验学校2022-2023学年高三上学期第三次摸底考试数学试题（解析版）

2022-2023学年上学期高三年级

第三次摸底考试数学学科试卷

一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 设，则（    ）

A.  B.  C. 1 D. 2

【答案】A

【解析】

【分析】根据复数的运算法则求出复数的代数形式，再由模的公式求其模.

【详解】因，所以，

所以，

故选：A.

2. 命题“，”的否定是（    ）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

【答案】B

【解析】

【分析】由特称命题的否定：将存在改任意，并否定原结论，即可得答案.

【详解】由特称命题的否定为全称命题，

所以原命题的否定为，.

故选：B

3. 在等差数列中，成公比为3的等比数列，则（    ）

A. 14 B. 34 C. 41 D. 86

【答案】C

【解析】

【分析】根据等差数列，等比数列的概念即可求解.

【详解】设等差数列的公差为，

因为成公比为3的等比数列，所以，

所以即，所以，

所以，

又因为成公比为3的等比数列，

所以，因为，

所以，解得.

故选:C.

4. 曲线在处的切线的倾斜角为，则的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据已知条件，求出切线斜率，再根据同角三角函数的基本关系可求出，，从而根据二倍角公式求得结果.

【详解】根据已知条件，，因为曲线在处的切线的倾斜角为，

所以，

所以.因，，

则解得，，

故.

故选：B.

5. 某单位周一､周二､周三开车上班的职工人数分别是15，12，9.若这三天中只有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数的最大值是（    ）

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

【答案】B

【解析】

【分析】将问题转化为韦恩图，结合题意设出未知量，列出方程，求出答案.

【详解】

作出韦恩图,如图,

由题意得 ,则有,

所以,即，

因此要让最大，则需要最小，

若则不满足题意，

若则不满足题意，

若则满足题意，

所以这三天都开车上班的职工人数的最大值是4，

故选:B.

6. 已知和是平面内两个单位向量，且，若向量满足，则的最大值是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】首先设，，，画出图形，根据已知条件得到在以为直径的圆上，再结合图形求解即可.

【详解】如图所示：

设，，，

则，，

因为，所以，即.

所以在以为直径的圆上.

设的中点为，因为和是平面内两个单位向量，且，

所以，.

所以.

故选：B

7. 已知实数、、满足，则的最大值为（　　）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】由基本不等式可得，求出的取值范围，利用二次函数的基本性质可求得的最大值.

【详解】因为，所以，，

因为，可得，故当时，取最大值.

故选：A.

8. 已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，且当时，.若，则（    ）

A.  B. 0 C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】由为偶函数，为奇函数得到，故函数的周期，结合得到，由得，从而求出，采用赋值法求出，，再使用求出的的周期，赋值法得到.

【详解】因为为偶函数，所以，

用代替得：，

因为为奇函数，所以，

故①，

用代替得：②，

由①② 得：，

所以函数的周期，

所以，即，

因为，令得：，故，

，解得：，

所以时，，

因为，

令，得，

其中，所以，

因为，

令得：，即，

因为，所以，

因为，

令得：，

故，

.

故选：C

【点睛】方法点睛：抽象函数的对称性和周期性：

若，则函数关于中心对称，

若，则函数关于对称，

若函数关于轴对称，关于中心对称，则函数的周期为，

若函数关于轴对称，关于轴对称，则函数的周期为，

若函数关于中心对称，关于中心对称，则函数的周期为.

二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9. 在平面四边形中，，，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据数量积的定义求出，即可得到为等边三角形，从而判断A，设，在中，由余弦定理及数量积的定义求出，即可得到，从而判断B，根据，，知与不平行，即可判断C，最后由余弦定理判断D.

【详解】解：选项A，由，，所以，又，

所以，所以为等边三角形，所以，故A正确；

选项B，设，

中，由余弦定理知，，

即，所以，

由，解得或（舍去），

所以，即为等腰直角三角形且，所以，故B正确；

对于C，因为，，所以与不平行，故C错误；

选项D，在中，由余弦定理知，

，

所以，故D正确．

故选：ABD．

10. 意大利数学家列昂纳多•斐波那契提出的“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，，在现代生物及化学等领域有着广泛的应用，它可以表述为数列满足.若此数列各项被3除后的余数构成一个新数列，记的前项和为，则以下结论正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】ABC

【解析】

【分析】根据数列可得出数列是以8为周期的周期数列，依次分析即可判断.

【详解】数列为1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，…，

被3除后的余数构成一个新数列，

数列为1，1，2，0，2，2，1，0，1，1，2，0，2，2，1，0，…，

观察可得数列是以8为周期的周期数列，故，A正确；

且，故，B正确；

，C正确；

则的前2022项和为，D错误.

故选：ABC

11. 已知函数，则下列说法正确的是（    ）

A. 若函数的最小正周期为，则其图象关于直线对称

B. 若函数的最小正周期为，则其图象关于点对称

C. 若函数在区间上单调递增，则的最大值为2

D. 若函数在有且仅有5个零点，则的取值范围是

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据最小正周期可以计算出，便可求出对称轴和对称点，可判断A、B选项；根据正弦型函数的单调性可以推出的值，可判断C选项；根据零点情况可以求出的取值范围，可判断D选项.

【详解】选项：的最小正周期为

，故正确；

B选项：的最小正周期为

，故B错误；

C选项：

又函数在上单调递增

，故C正确；

D选项：

又在有且仅有个零点，则，故D正确.

故选：ACD

12. 已知函数有两个极值点与，且，则下列结论正确的是（    ）

A  B.

C.  D.

【答案】BCD

【解析】

【分析】由已知可知有两个根，然后利用导数讨论的极值，数形结合可得a，的范围，可判断A，B；将代入，然后利用导数讨论其单调性，由单调性可判断C；由变形可判断D.

【详解】函数有两个极值点，只需有两个变号零点，

即方程有两个根.

构造函数，则，

当且时，，当时，

所以在和上递减，在上递增，

所以函数的极小值为，且当时，，

所以，当时，直线与函数的图象有两个交点，即函数有两个极值点，错；

对于选项，为直线与函数图象两个交点的横坐标，因为函数在上递减，在上递增，且，故B正确；

对于选项，由，从而代入得，令，则，故在上递减，故对；

对于选项，因为，由可得对.

故选：BCD.

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 若等比数列的公比为，且，则的前99项和为___________.

【答案】130

【解析】

【分析】根据等比数列的性质以及前项和公式即可求解.

【详解】设等比数列的公比为，前项和为，

则是以为首项，为公比的等比数列，

所以，

所以，

又因为的前99项和等于，

故答案:130.

14. __________．

【答案】

【解析】

【分析】根据诱导公式可得，进而根据对数的运算性质及二倍角正弦公式化简即可求解.

【详解】解：因为，

所以，

故答案为：.

15. 已知是实数，关于的方程的两个虚数根为.若，则的值为___________.

【答案】

【解析】

【分析】根据求出参数的取值范围，再由韦达定理及虚根成对原理求出，，再由得到方程，解得即可.

【详解】解：因为关于的方程的两个虚数根为，（是实数），

则，解得或，

所以，，

根据虚根成对原理可得，又因为，所以或，

于是，得到，于是（符合题意）．

故答案为：

16. 在中，角，，所对的边为，，，若，且的面积，则的取值范围是___________.

【答案】

【解析】

【分析】由面积公式及余弦定理求出，再由正、余弦定理将角化边，即可求出，再由正弦定理及三角恒等变换公式将转化为关于的三角函数，最后由三角函数的性质计算可得；

【详解】解：由，，

又，所以，

，，，

，．

，，

由正弦定理得，

所以

，

因为，所以，所以，

，

．

故答案为：．

四､解答题：本题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17. 已知数列的前项和为，且.

（1）求数列的通项公式；

（2）保持数列中各项先后顺序不变，在与之间插入个1，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记的前项和为，求的值.

【答案】（1）   

（2）556

【解析】

【分析】（1）数列的前项和为与的关系，求解数列的通项公式；

（2）由题意得新数列的前50项，分组后由等差数列与等比数列的前项和公式求解．

【小问1详解】

解：数列的前项和为，且，

当时，，

所以；

当时，，不符合上式，

所以；

【小问2详解】

解：保持数列中各项先后顺序不变，在与，2，之间插入个1，

则新数列的前50项为：5，1，，1，1，，1，1，1，，1，1，1，1，，1，1，1，1，1，，1，1，1，1，1，1，，1，1，1，1，1，1，1，，1，1，1，1，1，1，1，1，，1，1，1，1，1．

则

．

18. 已知函数

（1）求函数的最小正周期及对称轴方程；

（2）将函数的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的纵坐标不变､横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，求在[0，2π]上的单调递减区间.

【答案】（1）最小正周期为，对称轴方程为，   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用两角和差的正余弦公式与辅助角公式化简可得，再根据周期的公式与余弦函数的对称轴公式求解即可；

（2）根据三角函数图形变换的性质可得，再根据余弦函数的单调区间求解即可.

【小问1详解】

，

，

所以函数的最小正周期为，

令，，得函数的对称轴方程为，

【小问2详解】

将函数的图象向左平移个单位后所得图象的解析式为，

所以，

令，

所以.又，

所以在上的单调递减区间为.

19. 如图，数轴的交点为，夹角为，与轴､轴正向同向的单位向量分别是.由平面向量基本定理，对于平面内的任一向量，存在唯一的有序实数对，使得，我们把叫做点在斜坐标系中的坐标（以下各点的坐标都指在斜坐标系中的坐标）.

（1）若为单位向量，且与的夹角为，求点的坐标；

（2）若，点的坐标为，求向量与的夹角的余弦值.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）时，坐标系为平面直角坐标系，设点利用求出，再利用模长公式计算可得答案；

（2）根据向量的模长公式、数量积公式计算可得答案.，

【小问1详解】

当时，坐标系为平面直角坐标系，

设点，则有，而，

又，所以，又因，

解得，故点的坐标是；

【小问2详解】

依题意夹角为，

，

，

所以.

20. 已知函数.

（1）求的单调区间；

（2）设，为函数图象上不同的两点，的中点为，求证：.

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】

【分析】（1）对函数求导，函数定义域为，由于，可知 当时，，当时，，即可判断单调性；（2）先求出，和，则要证的不等式，不妨假设，即证，令，构造函数，求导可判断函数在上单调递增，则，进而可以证明不等式成立．

【详解】（1）的定义域为， .

由于，则当时，，当时，，则的单调递减区间为，单调递增区间为.

（2）证明：因为为的中点，则，故 ，

故要证，即证，由于，即证.

不妨假设，只需证明，即.

设，构造函数，，故在上单调递增，

则，则有，从而.

【点睛】本题考查了函数与导数的综合问题，考查了函数的导数，函数的单调性，考查了不等式的证明，及构造函数的思想，属于难题．

21. 如图：某公园改建一个三角形池塘，，（百米），（百米），现准备养一批观赏鱼供游客观赏．

（1）若在 内部取一点P，建造APC连廊供游客观赏，如图①，使得点P是等腰三角形PBC的顶点，且，求连廊的长（单位为百米）；

（2）若分别在AB，BC，CA上取点D，E，F，并建行连廊，使得 变成池中池，放养更名贵的鱼类供游客观赏．如图②，当为正三角形时，求的面积的最小值．

【答案】（1）百米   

（2）(百米)

【解析】

【分析】（1）由余弦定理即可求得，在 中，确定，由余弦定理求得，即可求得答案；

（2）设正三角形DEF的边长a，，（）则可表示，，从而可由正弦定理表示出，结合三角函数的性质求得其最小值，即可求得答案.

【小问1详解】

∵点P是等腰三角形PBC的顶点，且，，

∴且由余弦定理可得：，

解得，

又∵∴,

∵在 中，，,∴,

在△ACP中，由余弦定理得,

解得，；

∴，

∴连廊的长为百米．

【小问2详解】

设正三角形DEF的边长a，，（）

则，，

设,

可得，，

∴，

在 中，由正弦定理得：，

即，即,

化简得：，

∴（其中，θ为锐角，且）

∴.

22. 已知函数，其中且.

（1）当时，曲线在点处的切线方程为．求证：；

（2）若，求的取值范围.

【答案】（1）证明见解析；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）利用导数的几何意义可求得，令，利用导数可求得，由此可证得结论；

（2）令，当和时，可通过反例确定不符合题意；当时，由可放缩得到；令，则可得到，可分别在和两种情况下，结合的正负确定的单调性，从而得到，由此可得的取值范围.

【小问1详解】

当时，，则，

，，在处的切线为：，

即；

令，则，令，解得：；

当时，；当时，；

在上单调递减，在上单调递增，，

，即；

【小问2详解】

令，则；

①当时，，不合题意；

②当时，，不合题意；

③当时，由（1）知：，（当且仅当时取等号），

，

令，则，，

则，

⑴当时，，在上单调递增，

；

⑵当时，在上单调递减，在上单调递增，

；

综上所述：若，则的取值范围为.

【点睛】关键点点睛：本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到利用导数证明不等式、由不等式恒成立求解参数范围的问题；求解参数范围的关键是能够通过放缩的方式将恒成立的不等式转化为的最小值的问题.