辽宁省鞍山市第一中学2023届高三上学期二模考试数学试题（解析版）

2022-2023学年高三（23届）二模数学科试卷

命题人、校对人：高三数学组

一、单选题（每小题5分，共40分）

1. 若集合，集合，则等于（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意，用列举法写出集合，对集合取并集即可得到答案.

【详解】集合，又集合，

所以.

故选：C.

2. 已知向量，则“”是“”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】根据得出，根据充分必要条件的定义可判断.

【详解】解：∵，向量，，

∴，即，

根据充分必要条件的定义可判断：

“”是“”的充分不必要条件，

故选：A.

3. 若对任意的恒成立，则m的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】变形给定不等式，分离参数，利用均值不等式求出最小值作答.

【详解】，而当时，，当且仅当，即时取等号，

则，所以m的取值范围是.

故选：C

4. 九连环是一种流传于我国民间的传统智力玩具.它用九个圆环相连成串，以解开为胜.它在中国有近两千年的历史，《红楼梦》中有林黛玉巧解九连环的记载.周邦彦也留下关于九连环的名句“纵妙手、能解连环.”九连环有多种玩法，在某种玩法中:已知解下1个圆环最少需要移动圆环1次，解下2个圆环最少需要移动圆环 2 次，记 为解下个圆环需要移动圆环的最少次数，且，则解下 8 个圆环所需要移动圆环的最 少次数为（    ）

A. 30 B. 90 C. 170 D. 341

【答案】C

【解析】

【分析】根据，逐个代入，即可求解.

【详解】由题，，所以.

故选.：C

5. 已知，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据，结合二倍角的余弦公式及诱导公式计算即可.

【详解】解：因为，

所以，

所以.

故选：B.

6. 已知向量，且，若，则实数 的值为（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】由得，进而得，，再根据向量垂直的坐标表示求解即可.

【详解】解：因为，且，

所以，即，解得（舍）或

所以，，

因为，

所以，解得.

故选：D

7. 已知为定义在R上的奇函数，且对任意的非负数，有，且，若，则实数的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】首先对单调性做出判断，带入函数中得到，即可求得.

【详解】因为对任意的非负数,有

故函数在上为单调递减函数，

又，，所以,即

因为为奇函数，

则,

所以,解得,

所以实数的取值范围是.

故选：D

8. 在平面内，定点满足，，动点P，M满足，，则的最大值是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意得到为正三角形，且为的中心，结合题设条件求得，得到为边长为的正三角形，以为原点建立直角坐标系，设，根据，得到，进而求得，即可求解.

【详解】由题意知，即点到三点的距离相等，可得为的外心，

又由，

可得，所以，

同理可得，所以为的垂心，

所以的外心与垂心重合，所以为正三角形，且为的中心，

因为，解得，

所以为边长为的正三角形，

如图所示，以为原点建立直角坐标系，则，

因为，可得设，其中，

又因为，即为的中点，可得，

所以.

即的最大值为.

故选：B.

二、多选题（每小题5分，少选得2分，错选得0分，共20分）

9. 已知正数x，y满足，则下列结论正确的是（    ）

A. 的最大值是1 B. 的最小值是4

C. 的最大值是2 D. 的最小值是

【答案】ACD

【解析】

【分析】利用均值不等式求出最值判断A，C；变形给定关系式求出最小值判断B；利用“1”的妙用求出最小值判断D作答.

【详解】正数x，y满足，则，当且仅当时取等号，A正确；

，当且仅当时取等号，B错误；

因，则，当且仅当时取等号，C正确；

依题意，，当且仅当，即，时取等号， D正确.

故选：ACD

10. 函数的部分图像如图所示，下列结论中正确的是（    ）

A. 直线是函数图像的一条对称轴

B. 函数的图像关于点对称

C. 函数的单调递增区间为

D. 将函数的图像向右平移个单位得到函数的图像

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据给定的函数图象，结合“五点法”作图求出函数解析式，再逐项判断作答.

【详解】观察图象知，，函数的周期，有，

由得：，而，则，，

对于A，因，则直线不是函数图象的对称轴，A不正确；

对于B，由得：，则函数的图象关于点对称，B正确；

对于C，由得：，

则函数的单调递增区间为，C正确；

对于D，，D正确.

故选：BCD

11. 已知数列满足，，则（    ）

A. 为等比数列 B. 的通项公式为

C. 为递增数列 D. 的前n项和

【答案】AD

【解析】

【详解】因为，所以，

又，所以是以4为首项，2为公比的等比数列，

即，所以，所以，

所以为递减数列，

的前n项和．

故选：AD．

12. 已知，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】AD

【解析】

【分析】A.先构造函数，通过函数的单调性确定的大致范围，再构造

，通过函数的单调性确定与的大小关系，进而得到A选项.

B.先构造函数，通过函数的单调性确定的大致范围，再构造

，通过函数的单调性确定与的大小关系，进而可知B选项错误.

C.通过，得到，进而可得与的大小关系, 进而可知C选项错误.

D.与C选项同样的方法即可判断.

【详解】A.        令

则 ，所以在单调递减，在上单调递增，

且，故.

令

则，

所以在上单调递减，且

   即    故选项A正确

B.         令

则，所以单调递增，在上单调递减，

且，故.

令

所以在上单调递减，且

   即   故选项B错误

C.      

     又在单调递增    

故选项C错误

D. 由C可知，   又在单调递减   

故选项D正确

故选：AD

三、填空题（每小题5分，第16题第一空2分，第二空3分，共20分）

13. 已知复数（为虚数单位），则 ___________.

【答案】

【解析】

【分析】根据复数除法运算得，再计算模即可得答案.

【详解】解：因为，

所以.

故答案为;

14. 若，且，则______．

【答案】

【解析】

【分析】由题知，进而结合二倍角公式和正弦的和角公式化简求值即可.

【详解】解：因为，且，

所以，

所以

故答案为：

15. 定义：各项均不为零的数列中，所有满足的正整数的个数称为这个数列的变号数.已知数列的前项和（，），令（），若数列的变号数为2，则实数的取值范围是___________.

【答案】

【解析】

【分析】根据，求出的通项公式，即可得到的通项公式，再列出前几项，得到，即可求出参数的取值范围.

【详解】解：依题意当时，，

，

当时，

，

，，，，，且时，，

，

要使数列的变号数为，则，解得或，即．

故答案为：

16. 已知函数，函数有四个不同零点，从小到大依次为，则实数的取值范围为___________；的取值范围为___________.

【答案】    ①.     ②.

【解析】

【分析】根据函数性质画出的图象，将问题化为与有四个交点，数形结合法求a范围，再由是的两个根、是的两个根，结合根与系数关系求的范围.

【详解】由题设，当时，，且单调递减；

当时，，且单调递增；

当，，且单调递减；

当，，且单调递增；

综上，的函数图象如下：

所以有四个不同零点，即与有四个交点，由图知：，

则在上，在上，

令，则，即是的两个根，故，

而是，即的两个根，故，

所以.

故答案为：，

【点睛】关键点点睛：将问题转化为与有四个交点，数形结合求参数范围，进而把看作对应方程的根，应用根系关系及对数性质求范围.

四、解答题（17题10分，18-22题每题12分，共70分）

17. 已知．

（1）求函数的最小正周期；

（2）当时，求函数的值域．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）先根据二倍角公式和辅助角公式化简整理得，再求最小正周期即可；

（2）根据整体代换求解即可.

【小问1详解】

解：因为

所以，函数的最小正周期

【小问2详解】

解：∵当时，

∴,的值域为

所以，函数的值域为.

18. 在各项均为正数的等比数列中，，，，成等差数列．等差数列满足，．

（1）求数列，的通项公式；

（2）求数列的前n项和为．

【答案】（1），；   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据等差数列的通项公式和等比数列的通项公式进行求解即可;

（2）用裂项相消法进行求解即可

【小问1详解】

设各项均为正数的等比数列的公比为，等差数列的公差为d，

因为，，成等差数列，所以 即，

因为，，所以，解得或（舍去），

所以，，

由可得，解得，

所以；

【小问2详解】

因为，所以，

所以

19. 已知函数.

（1）若函数在处的切线与直线平行，求的值；

（2）若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据导数几何意义，利用切线斜率可构造方程求得的值；

（2）令，将问题转化为对任意恒成立；求导后，当时，可知单调递增，由此可知；当时，可知在上单调递减，可知此时不满足；综合两种情况可得结果.

【小问1详解】

，在处的切线与平行，

，解得：.

【小问2详解】

令，

则对任意恒成立，

；

①当时，，则上恒成立，

，满足题意；

②时，令，解得：；

当时，，此时单调递减，

，不合题意；

综上所述：实数的取值范围为.

20. 已知数列的前n项和为，，且．

（1）求数列的通项公式；

（2）设数列满足，记数列的前n项和为，若，对任意恒成立，求实数t的取值范围．

【答案】（1）；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）利用与的关系，分讨论，得到数列为等比数列，即得；

（2）利用错位相减法求出，然后分类讨论分离参数，转化为与关于的函数的范围关系，即可求解.

【小问1详解】

当时，，解得，

当时，由有，两式相减可得，

即是以为首项，以为公比的等比数列，

所以．

【小问2详解】

由得，

所以，

，

两式相减得

，

所以．

由，得，

即恒成立．

当时，，所以；

当时，不等式恒成立；

当时，，所以；

综上，．

21. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知

（1）求角A；

（2）若为锐角三角形，且的面积为S，求的取值范围．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用正弦定理、余弦定理和和差公式整理即可得到，再结合，即可得到；

（2）根据和三角形面积公式将整理为，再根据锐角三角形和正弦定理得到的范围，最后用换元法和函数单调性求范围即可.

【小问1详解】

，所以，

所以，

又，所以，

因为，所以．

【小问2详解】

由（1）可知，．

则．

因为锐角三角形，所以，整理得．

因为，所以．

令，则函数在上单调递减，在上单调递增，所以，即，

故的取值范围为.

22. 设m为实数，函数．

（1）求函数的单调区间；

（2）当时，直线是曲线的切线，求的最小值；

（3）若方程有两个实数根，，证明：．

【答案】（1）当时， 在上单调递增；

当时， 在上单调递增，在上单调递减．   

（2）.   

（3）证明见解析.

【解析】

【分析】(1)先对求导，根据m≥0和m＜0进行分类讨论，通过导数的正负以确定函数的单调性；

(2)利用求切线斜率，得到切线方程，可得的表达式，命成新函数，利用导数研究单调性，求出最小值.

 (3).方程化简，命成新函数，通过导数研究单调性判断两根的范围，利用两根的关系引入新变量表示两根，要证明的不等式用新变量表示，再通过命成新函数借助导数研究单调性找出极值得到不等式成立的充分条件.

【小问1详解】

，函数定义域为，

，

当时，在上恒成立，函数在上单调递增；

当时，，解得，函数在上单调递增；，解得，函数在上单调递减．

【小问2详解】

当时，，

设切点为，，则切线斜率，

切线方程为，，

，，，

令，函数定义域为，，

，；，

在上单调递减，在上单调递增，

，即的最小值为

【小问3详解】

证明：，即，则，

令，函数定义域，，

，；，

∴在上单调递增，在上单调递减，，

，不妨设，，

令，，所以，，，

要证，只要证，只要证，

令，，

，

，；，

在上单调递减，在上单调递增，

，，（1），则存在，使得，

在上单调递增，在上单调递减，在，上单调递增，

，，

在上恒成立，

得证．

【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，也是求曲线的切线必备的知识点

1.利用导数研究函数单调性的关键在于准确判定导数的符号．

2.研究函数的最值则要注意区分函数最值与极值的区别.
3.导数的几何意义是:导函数在切点处的函数值就是切线的斜率.

4.证明不等式时,根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧，有着非凡的功效.