第十七章 勾股定理 章末检测卷-【高频考点】最新八年级数学下册高频考点专题突破（人教版）

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第十七章 勾股定理 章末检测卷（人教版）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分120分，考试时间90分钟，试题共26题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2021·山西八年级期末）根据勾股定理，任意直角三角形的两条直角边长 ， ，和斜边长都是含三个未知数的方程 的一组解，而每一组勾股数（例如3，4，5；5，12，13；等）都是这个方程的正整数解．高于二次的方程，，，…是否也有正整数解呢？法国数学家费马经过研究得出结论：当自然数 时，方程没有正整数解．这个命题的证明引起了世界各国数学家的关注，最终由英国数学家怀尔斯于1995年完成了证明．困扰了数学家300多年历史的数学难题终于得到解决，在解决这一数学难题的过程中，反映了一代代数学家艰苦探索、不屈不挠的科学精神和聪明慧．这个定理的证明被称为“世纪性的成就”．这个定理指的是（ ）
A．费马大定理 B．怀尔斯大定理 C．勾股定理 D．勾股定理的逆定理
【答案】A
【分析】根据“法国数学家费马经过研究得出结论：当自然数时，方程没有正整数解，”即可得到答案．
【详解】法国数学家费马经过研究得出结论：当自然数时，方程没有正整数解．
∴这个定理指的是费马大定理故选A
【点睛】本题主要考查了学生对于数学课外阅读的认知程度，解题的关键是要多了解有关数学的课外知识．
2．（2021·福建福州市·八年级期中）△ABC三边分别为a、b、c，下列能说明△ABC是直角三角形的是（ ）
A．b2＝a2﹣c2 B．a∶b∶c＝1∶2∶2 C．2∠C＝∠A＋∠B D．∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5
【答案】A
【分析】根据勾股定理逆定理及三角形内角和可进行排除选项．
【详解】解：A、由可根据勾股定理逆定理得△ABC是直角三角形，故符合题意；
B、由a∶b∶c＝1∶2∶2可得，则△ABC是等腰三角形，故不符合题意；
C、由2∠C＝∠A＋∠B结合三角形内角和可得∠C=60°，但不能判定△ABC是直角三角形，故不符合题意；
D、由∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5结合三角形内角和可得，所以△ABC不是直角三角形；故选A．
【点睛】本题主要考查勾股定理逆定理及三角形内角和，熟练掌握勾股定理逆定理及三角形内角和是解题的关键．
3．（2021·山西省灵石县教育局教学研究室）古埃及人曾经用如图所示的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距，4个结间距，5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一角便是直角，这样做的道理是（ ）

A．直角三角形两个锐角互余 B．三角形内角和等于180°
C．三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边
D．如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形
【答案】D
【分析】根据勾股定理逆定理解题．
【详解】设相邻两个结点的距离为m，则此三角形三边的长分别为3m、4m、5m，
∵∴以3m、4m、5m为边长的三角形是直角三角形．（如果三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形）故选D．
【点睛】本题考查勾股定理的逆定理．
4．（2021·广东广州市第二中学八年级期中）已知直角三角形的面积为6cm2，两直角边的和为7cm，则它的斜边长为（ ）cm．
A．5 B．6 C． D．
【答案】A
【分析】设两直角边为x和y，则，，然后利用完全平方公式，得到，即可得到答案．
【详解】解： 设两直角边为x和y，则，．
∴xy=12，∴（x+y）2=49，∴x2+y2+2xy=49．∴x2+y2=49-2xy=25．∴斜边长=（cm）；故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理，完全平方公式的知识，解题的关键是能够根据直角边表示出另一条直角边的长并熟悉直角三角形的面积计算方法．
5．（2021·浙江八年级期中）如图，已知，且，， ，则A，F两点间的距离是（ ）

A．14 B． C． D．10
【答案】D
【分析】过点F作FG⊥AB交AB的延长线于点G，根据题意求出AG、FG，根据勾股定理计算，得到答案．
【详解】解：过点F作FG⊥AB交AB的延长线于点G，
则AG=AB+CD+EF=8，FG=BC+DE=6，由勾股定理得，AF==10，故选D．

【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
6．（2021·山东八年级期末）如图，在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分△ABC的外角∠ACD，且EF∥BC交AC于M，若CM＝4，则CE2+CF2的值为（　　）

A．8 B．16 C．32 D．64
【答案】D
【分析】根据角平分线的定义推出△ECF为直角三角形，然后根据勾股定理求得CE2+CF2=EF2，即可得出结果．
【详解】解：∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，∴∠ACE=∠ACB，∠ACF=∠ACD，
即∠ECF=（∠ACB+∠ACD）=90°，
又∵EF∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠ECB=∠MEC=∠ECM，∠DCF=∠CFM=∠MCF，∴CM=EM=MF=4，∴EF=8，
由勾股定理得：CE2+CF2=EF2=64，故选：D．
【点睛】本题考查角平分线的定义、勾股定理、直角三角形的判定；熟练掌握勾股定理，证明三角形是直角三角形是解决问题的关键．
7．（2021·河南八年级期末）如图，桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖）高6厘米，底面周长16厘米，在杯口内壁离杯口1.5厘米的A处有一滴蜜糖，在玻璃杯的外壁，A的相对方向有一小虫P，小虫离杯底的垂直距离为1.5厘米，小虫爬到蜜糖处的最短距离是（ ）

A．厘米 B．10厘米 C．厘米 D．8厘米
【答案】B
【分析】把圆柱沿着点A所在母线展开，把圆柱上最短距离转化为将军饮马河型最短问题求解即可.
【详解】把圆柱沿着点A所在母线展开，如图所示，
作点A的对称点B，连接PB，则PB为所求，
根据题意，得PC=8，BC=6，根据勾股定理，得PB=10，故选B.

【点睛】本题考查了圆柱上的最短问题，利用圆柱展开，把问题转化为将军饮马河问题，灵活使用勾股定理是解题的关键.
8．（2021·湖北黄石市·八年级期末）如图，∠MON＝90°，已知△ABC中，AC＝BC＝13，AB＝10，△ABC的顶点A、B分别在边OM、ON上，当点B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，△ABC的形状始终保持不变，在运动的过程中，点C到点O的最小距离为（　　）

A．5 B．7 C．12 D．
【答案】B
【分析】作CH⊥AB于H，连接OH，如图，根据等腰三角形的性质得AH=BH=AB=5，再利用勾股定理计算出CH=12，接着根据直角三角形斜边上的中线性质得OH=AB=5，则利用三角形三边的关系得到OC≥CH-OH（当点C、O、H共线时取等号），从而得到OC的最小值．
【详解】解：作CH⊥AB于H，连接OH，如图，

∵AC=BC=13，∴AH=BH=AB=5， 在Rt△BCH中，CH=，
∵H为AB的中点， ∴OH=AB=5，
∵OC≥CH-OH（当点C、O、H共线时取等号）， ∴OC的最小值为12-5=7． 故选B．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和勾股定理，解决的关键是要熟练掌握等腰三角形的性质和勾股定理.
9．（2021·云南九年级一模）如图是按照一定规律“生长”的“勾股树”：

经观察可以发现：图（1）中共有3个正方形，图（2）在图（1）的基础上增加了4个正方形，图（3）在图（2）的基础上增加了8个正方形，……，照此规律“生长”下去，图（6）应在图（5）的基础上增加的正方形的个数是（ ）
A．12 B．32 C．64 D．128
【答案】C
【分析】通过观察已知图形可以发现：图（2）比图（1）多出4个正方形，图（3）比图（2）多出8个正方形，图（4）比图（3）多出16个正方形，……，以此类推可得图形的变换规律．
【详解】解：由题可得，图（2）比图（1）多出4个正方形，
图（3）比图（2）多出8个正方形， ；
图（4）比图（3）多出16个正方形， ；
图（5）比图（4）多出32个正方形， ；
照此规律，图（n）比图（n-1）多出正方形的个数为：
故图（6）比图（5）多出正方形的个数为：；故答案为：C．
【点睛】此题考查了图形的变化类问题，主要考核学生的观察能力和空间想象能力．首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．
10．（2021·江苏西附初中八年级月考）如图，中，，，，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处；再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点处，两条折痕与斜边AB分别交于点E、F，则线段的长为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据折叠的性质可知AC=CD，∠A=∠CDE，CE⊥AB，Rt△ABC中根据勾股定理求得AB=5，再根据三角形的面积可求得B′F的长．
【详解】解：∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝5，
根据折叠的性质可知AC＝CD，∠A＝∠CDE，CE⊥AB，
∴B′D＝BC﹣CD＝4﹣3＝1，∠DCE+∠B′CF＝∠ACE+∠BCF，
∵∠ACB＝90°，∴∠ECF＝45°，∴△ECF是等腰直角三角形，
∴EF＝CE，∠EFC＝45°，∴∠BFC＝∠B′FC＝135°，∴∠B′FD＝90°，
∵S△ABC＝AC•BC＝AB•CE，∴AC•BC＝AB•CE，∴CE＝，
∴EF＝，ED＝AE＝，∴DF＝EF﹣ED＝ ∴B′F＝．选：A．
【点睛】此题主要考查了翻折变换，勾股定理的应用等，根据折叠的性质求得相等的角是本题的关键．
11．（2021·全国初二课时练习）如图，已知直线a∥b，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离为3，AB2．试在直线a上找一点M，在直线b上找一点N，满足MN⊥a且AM+MN+NB的长度和最短，则此时AM+NB＝（　　）

A．6   B．8 C．10 D．12
【答案】B
【分析】MN表示直线a与直线b之间的距离，是定值，只要满足AM+NB的值最小即可．过A作直线a的垂线，并在此垂线上取点A′，使得AA′＝MN，连接A'B，则A'B与直线b的交点即为N，过N作MN⊥a于点M．则A'B为所求，利用勾股定理可求得其值．
【解析】过A作直线a的垂线，并在此垂线上取点A′，使得AA′＝4，连接A′B，与直线b交于点N，过N作直线a的垂线，交直线a于点M，连接AM，过点B作BE⊥AA′，交射线AA′于点E，
如图，∵AA′⊥a，MN⊥a，∴AA′∥MN．
又∵AA′＝MN＝4，∴四边形AA′NM是平行四边形，∴AM＝A′N．
由于AM+MN+NB要最小，且MN固定为4，所以AM+NB最小．
由两点之间线段最短，可知AM+NB的最小值为A′B．
∵AE＝2+3+4＝9，AB2=120，∴BE2．
∵A′E＝AE﹣AA′＝9﹣4＝5，∴A′B8．所以AM+NB的最小值为8．故选B．

【点睛】本题考查了勾股定理的应用、平行线之间的距离，解答本题的关键是找到点M、点N的位置，难度较大，注意掌握两点之间线段最短．
12．（2021·湖南八年级期末）如图，在中，，，点D，E为BC上两点．，F为外一点，且，，则下列结论：
①；②；③；④，其中正确的是

A．①②③④ B．①②④ C．①③④ D．②③
【答案】A
【分析】①利用全等三角形的判定得≌，再利用全等三角形的性质得结论；②利用全等三角形的判定和全等三角形的性质得，再利用勾股定理得结论；③利用等腰三角形的性质得，再利用三角形的面积计算 结论；④利用勾股定理和等腰直角三角形的性质计算得结论．
【详解】解：如图：

对于①，因为，
所以，
，因此．
又因为，所以．
又因为，所以．
因此≌，所以．故①正确．
对于②，由①知≌，所以．
又因为，所以，连接FD，
因此≌．所以．
在中，因为，所以．故②正确．
对于③，设EF与AD交于G．
因为，所以．
因此．故③正确．
对于④，因为，又在中，
又是以EF为斜边的等腰直角三角形，所以
因此，故④正确．故选A．
【点睛】本题考查全等三角形的判定，全等三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质和三角形的面积．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
13．（2021·广州市育才中学八年级期中）如图，有两条公路OM、ON相交成30°角，沿公路OM方向离O点160米处有一所学校A，当重型运输卡车P沿道路ON方向行驶时，在以P为圆心，100米为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大．若已知重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为36千米/时，则对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离是___米；重型运输卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间是____秒．

【答案】80 12
【分析】作于，求出的长即可解决问题，如图以为圆心m为半径画圆，交于、两点，求出的长，利用时间计算即可．
【详解】解：作于，，m，m，
即对学校的噪声影响最大时卡车与学校的距离m．
如图以为圆心m为半径画圆，交于、两点，
，，在中，m，m，
重型运输卡车的速度为36千米时米秒，重型运输卡车经过的时间（秒，
故卡车沿道路方向行驶一次给学校带来噪声影响的时间为12秒．故答案为：80，12．

【点睛】本题考查勾股定理的应用、解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
14．（2021·江苏八年级期末）如图，在四边形中，，．若，，，则对角线的长为____________cm．

【答案】
【分析】过点C作CE⊥AB，交AB的延长线于点E，证明△ABC≌△ADC（SSS），由全等三角形的性质得出∠BAC=∠DAC，∠ACB=∠ACD，求出∠EBC=45°，由直角三角形的性质求出CE和AC的长即可．
【详解】解：过点C作CE⊥AB，交AB的延长线于点E，

在△ABC和△ADC中，
，∴△ABC≌△ADC（SSS），∴∠BAC=∠DAC，∠ACB=∠ACD，
∵∠BAD=60°，∠BCD=30°，∴∠EAC=∠BAD=30°，∠ACB=∠BCD=15°，
∴∠EBC=∠BAC+∠ACB=30°+15°=45°，∴BE=CE，
∵BC=4cm，∴CE=BC=cm，∴AC=2CE=cm，故答案为．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，证明△ABC≌△ADC是解题的关键．
15．（2021·贵州九年级）如图，矩形中，，，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，边与交于点，延长交于点，若，则的长为______．

【答案】
【分析】连接，过点作，设，分别解得的长，继而证明，由全等三角形的性质得到，由此解得，最后在中，利用勾股定理解得的值，据此解题．
【详解】如图，连接，过点作，

设，则矩形中


在与中，

在中，
，故答案为：．
【点睛】本题考查旋转变换、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
16．（2021·江苏九年级专题练习）如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使D点与BC边的中点D′重合．若BC=8，CD=6，则CF的长为_________________．

【答案】
【分析】设，在中利用勾股定理求出x即可解决问题．
【详解】解：∵是的中点，，，∴，
由折叠的性质知：，设，则，
在中，根据勾股定理得：，
即：，解得，∴．故答案为：
【点睛】本题考查翻折变换、勾股定理，解题的关键是利用翻折不变性解决问题，学会转化的思想，利用方程的去思考问题，属于中考常考题型．
17．（2021·江苏八年级期末）如图，在和中，，，，点A在边上，若，，则＝__________．

【答案】
【分析】连接，根据题意可以证明是直角三角形，然后根据三角形全等和勾股定理即可证明，即可求的值．
【详解】解：连接，

和都是等腰直角三角形，，，
，，，
，且，
，，，
，
是直角三角形，，
在中，，，
，即；
，，故答案为：
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，解答本题的关键是找到．
18．（2021·四川省内江市第六中学九年级）如图，在RtABC的纸片中，∠C＝90°，AC＝7，AB＝25．点D在边BC上，以AD为折痕将ADB折叠得到，与边BC交于点E．若为直角三角形，则BD的长是_____．

【答案】17或
【分析】由勾股定理可以求出的长，由折叠可知对应边相等，对应角相等，当为直角三角形时，可以分为两种情况进行考虑，分别利用勾股定理可求出的长．
【详解】解：在中，，
（1）当时，如图1，过点作，交的延长线于点，

由折叠得：，，设，则，，
在中，由勾股定理得：，
即：，解得：（舍去），，因此，．
（2）当时，如图2，此时点与点重合，
由折叠得：，则，设，则，，
在△中，由勾股定理得：，解得：，因此．故答案为：17或．
【点睛】本题考查了翻折变换，直角三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是：分类讨论思想的应用注意分类的原则是不遗漏、不重复．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2021·全国八年级专题练习）问题背景：
在△ABC中，AB，BC，AC三边的长分别为，3，，求这个三角形的面积．
小军同学在解答这道题时，先建立了一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需要求出△ABC的高，借用网格就能计算出它的面积．（1）请你直接写出△ABC的面积　 　；
思维拓展：（2）如果△MNP三边的长分别为，2，，请利用图2的正方形网格（每个小正方形的边长为1）画出相应的格点△MNP，并直接写出△MNP的面积．

【答案】（1）4.5；（2）画图见解析，7
【分析】（1）根据图形得出S△ABC＝S矩形MONC﹣S△CMA﹣S△AOB﹣S△BNC，根据面积公式求出即可；
（2）先画出符合的三角形，再根据图形和面积公式求出即可．
【详解】解：（1）△ABC的面积是4.5，理由是：

S△ABC＝S矩形MONC﹣S△CMA﹣S△AOB﹣S△BNC＝4×3﹣×4×1﹣×2×1﹣×3×3＝4.5，故答案为：4.5；
（2）如图2的△MNP，
S△MNP＝S矩形MOAB﹣S△MON﹣S△PAN﹣S△MBP＝5×3﹣×5×1﹣×2×4﹣×3×1＝7，即△MNP的面积是7．
【点睛】本题考查了勾股定理和三角形的面积公式的应用，解此题的关键是能正确画出格点三角形，难度不是很大．
20．（2021·山东七年级期末）年是第六届全国文明城市创建周期的第三年，是“强基固本、全力冲刺”的关键之年．“创城”，既能深入改变一座城市的现代化进程，也能深刻影响生活在此间的人们．某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地．如图，已知，，，，技术人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间距离，便快速确定了．

（1）请写出技术人员测量的是哪两点之间的距离以及确定的依据；
（2）若平均每平方米空地的绿化费用为元，试计算绿化这片空地共需花费多少元？
【答案】（1）测量的是点，之间的距离，依据是：如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形是直角三角形．（或：勾股定理的逆定理），见解析；（2）绿化这片空地共需要元
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理即可判断；（2）由（1）中BD的长度，再根据勾股定理的逆定理判断出△BCD的形状，再利用三角形的面积公式，最后计算费用即可．
【详解】（1）测量的是点，之间的距离；
依据是：如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形是直角三角形．（或：勾股定理的逆定理）．
（2）如图，连接，

，，，，由勾股定理，得，
又，，，是直角三角形，
．．
绿化费用为：（元）．答：绿化这片空地共需要元．
【点睛】本题考查的是勾股定理，勾股定理的逆定理及三角形的面积，能根据勾股定理的逆定理判断出△ABD的形状是解答此题的关键．
21．（2021·江西八年级期中）如图，地面上放着一个小凳子，点距离墙面，在图①中，一根细长的木杆一端与墙角重合，木杆靠在点处，．在图②中，木杆的一端与点重合，另一端靠在墙上点处．（1）求小凳子的高度；（2）若，木杆的长度比长，求木杆的长度和小凳子坐板的宽．

【答案】（1）30cm；（2）木杆长100cm，AB=40 cm．
【分析】（1）如图①，过作垂直于墙面，垂足于点，由，利用勾股定理
在中，即可；
（2）如图②，延长交墙面于点，可得，利用勾股定理在中，构造方程求解即可．
【详解】解：（1）如图①，过作垂直于墙面，垂足于点，
根据题意可得：，
在中，，即凳子的高度为；
（2）如图②，延长交墙面于点，可得，
设，则，，，
在中，，，，
．

【点睛】本题考查勾股定理的应用，掌握勾股定理应用的条件与结论，关键是构造出符合条件的图形是解题关键．
22．（2021·山西八年级期末）阅读材料，并解决问题．
有趣的勾股数
定义：勾股数又名毕氏三元数．凡是可以构成一个直角三角形三边长的一组正整数，称之为勾股数．
一般地，若三角形三边长，，都是正整数，且满足，那么数组称为勾股数．公元263年魏朝刘徽著《九章算术注》，文中除提到勾股数以外，还提到，，，等勾股数．
数学小组的同学研究勾股数时发现：设，是两个正整数，且，三角形三边长，，都是正整数．下表中的，，可以组成一些有规律的勾股数．





2
1
3
4
5
3
2
5
12
13
4
1
15
8
17
4
3
7
24
25
5
2
21
20
29
5
4
9
40
41
6
1
35
12
37
6
5
11
60
61
7
2
45
28
53
7
4
33
56
65
7
6
13
84
85
通过观察这个表格中的数据，小明发现勾股数可以写成．解答下列问题：
（1）表中可以用，的代数式表示为_____________．
（2）若，，则勾股数为______________．
（3）小明通过研究表中数据发现：若，则勾股数的形式可表述为（为正整数），请你通过计算求此时的．(用含的代数式表示)
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）根据表格中提供的数据可得答案；（2）把，代入即可求解；（3）根据勾股定理求解即可；
【详解】（1）∵4=2×2×1，12=2×3×2，8=2×4×1，24=2×4×3，…，
∴，故答案为：；
（2）当，时，
a=m2-n2=42-22=12，=2×4×2=16，c=m2+n2=42+22=20，
∴勾股数为，故答案为：；
（3）根据题意，得，
∴，解得．
【点睛】本题考查了数字类规律探究，以及勾股定理，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．在直角三角形中，如果两条直角边分别为a和b，斜边为c，那么a2+b2=c2．也就是说，直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．
23．（2021·四川八年级期末）在中，，，．如图1，若时，根据勾股定理有．

（1）如图2，当为锐角三角形时，类比勾股定理，判断与的大小关系，并证明；
（2）如图3，当为钝角三角形时，类比勾股定理，判断与的大小关系，并证明；
（3）如图4，一块四边形的试验田，已知，米，米，米，米，求这块试验田的面积．
【答案】（1）猜想： ，证明见解析；（2）猜想：，证明见解析；（3）四边形ABCD的面积是米2．
【分析】（1）先作高线如图2，过点作于点，构造两个直角三角形，设，则，由勾股定理和AD构造等式 ，利用放缩法可得
（2）先作高线如图3，过点作，交的延长线于点，构造两个直角三角形设，则，利用勾股定得，整理得，利用放缩法
（3）如图4，连接．过点作于点E，由勾股定理求出 设，则EC=100-x，由勾股定理构造方程，解方程的，再求出DE，利用分割法求面即可
【详解】解：（1）猜想： ，
证明：如图2，过点作于点，设，则，

在Rt中，有, 在Rt中，有 ，
∴ ，解之：，
∵均为正数，∴ ；
（2）猜想： 证明：如图3，过点作，交的延长线于点，设，则，

在Rt中，有，在Rt中，有 ，
∴，解之：，∵均为正数，∴ ；
（3）如图4，连接．在Rt中，有，∴，
∵，∴ ，过点作于点E，设，则EC=100-x，
在Rt中，有，即，
在Rt中，有，即 ，∴，解之：，
在Rt中，有，∴DE=（取正），∴DE=，
∴，=（米2），
∴四边形ABCD的面积是米2．
【点睛】本题考查作高线，勾股定理，利用勾股定理推出锐角三角形，钝角三角形结论，用分割法求四边形面积，掌握高线最烦，利用勾股定理构造方程，判读锐角三角形与钝角三角形，利用分割法四边形求面是解题关键．
24．（2021·无锡市八年级期中）（1）如图1，长方体的底面边长分别为3m和2m，高为1m，在盒子里，可以放入最长为_______m的木棒；
（2）如图2，在与（1）相同的长方体中，如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点C，那么所用细线最短需要______m；
（3）如图3，长方体的棱长分别为AB=BC=6cm，假设昆虫甲从盒内顶点以2厘米/秒的速度在盒子的内部沿棱向下爬行，同时昆虫乙从盒内顶点A以相同的速度在盒壁的侧面上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉昆虫甲?

【答案】（1）；（2）；（3）昆虫乙至少需要秒钟才能捕捉到昆虫甲
【分析】（1）利用勾股定理求出斜对角线的长即可；（2）利用勾股定理求解即可；
（3）由题意的最短路径相等，设昆虫甲从顶点 沿棱 向顶点C爬行的同时，昆虫乙从顶点A按路径A→E→F，爬行捕捉到昆虫甲需x秒钟，列出方程求解即可．
【详解】（1）最长的为斜对角线：=；
（2）这根细线的长为：=；
（3）设昆虫甲从顶点沿棱向顶点C爬行的同时，昆虫乙从顶点A按路径A→E→F，爬行捕捉到昆虫甲需x秒钟，如图1在Rt△ACF中， ∵x>0，解得：
答：昆虫乙至少需要秒钟才能捕捉到昆虫甲．

【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用，把立体图形转化为平面图形是解题的关键．
25．（2021·江苏八年级期中）我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．
（1）写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称正方形、长方形、直角梯形（任选两个均可）；（2）如图1，已知格点（小正方形的顶点）O（0，0），A（3，0），B（0，4），请你画出以格点为顶点，OA，OB为勾股边且对角线相等的勾股四边形OAMB；（3）如图2，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°，得到△DBE，连接AD，DC，∠DCB=30度．求证：DC2+BC2=AC2，即四边形ABCD是勾股四边形．

【答案】（1）正方形、长方形；（2）见解析；（3）见解析．
【分析】（1）直接利用勾股四边形的定义得出答案；（2）OM=AB知以格点为顶点的M共两个，分别得出答案；（3）连接CE，证明△BCE是等边三角形，△DCE是直角三角形，继而可证明四边形ABCD是勾股四边形；
【详解】（1）解：正方形、长方形，理由如下：
如图：正方形ABCD中，由勾股定理有：；
长方形DEFG中，由勾股定理有：；
都满足勾股四边形的定义，因此都是勾股四边形．

（2）解：答案如图所示．

（3）证明：连接EC，∵△ABC≌△DBE， ∴AC=DE，BC=BE，
∵∠CBE=60°，∴△CBE为等边三角形，∴EC=BC，∠BCE=60°，
∵∠DCB=30°，∴∠DCE=90°，∴DC2+EC2=DE2，
∴DC2+BC2=AC2．即四边形ABCD是勾股四边形．
【点睛】本题属于四边形的综合题，主要考查了勾股定理、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解并运用新定义“勾股四边形”、“勾股边”，正确寻找全等三角形解决问题．
26．（2021·成都教科院附属龙泉学校八年级期中）如图1，在中，，，为边上一动点，且不与点点重合，连接并延长，在延长线上取一点，使，连接．
（1）若，则 °， °．
（2）若，小明说一定是45°，你认为正确吗？请说明理由．
（3）如图2，过点作于点，的延长线与的延长线交于点，求证：．
图1
【答案】（1）50；65；（2）正确，证明见解析；（3）证明见解析
【分析】（1）利用互余的性质求出的度数，再根据三角形外角和等腰三角形的性质即可求解；
（2）即可求解；
（3）连接，根据线段垂直平分线的性质可得，，再利用勾股定理即可求解．
【详解】（1）∵，，∴，
又∵，，∴，
∴，∴，
∵，∴，即，．
（2）
，
故小明说一定正确．
（3）连接，

∵，，∴垂直平分，∴，，
由（2）可知：， 即，
∵，∴，∴，
∴，∴，∴为直角三角形，∴，
∵，，∴，∴，
∵，∴．
【点睛】本题是三角形综合题，考查等腰三角形的性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线是本题的关键．