2023江苏省洪泽中学六校联考高一上学期期中数学试题含答案

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2022—2023学年第一学期高一年级期中考试
数学试卷
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．）
1． 已知集合A＝{x|－2＜x≤1}，B＝{y|0＜y＜2 }，则A∩B＝C
A．(－2，1] B．(0，2) C．(0，1] D．Æ
2． 函数f(x)＝的定义域为D
A．[－1，5] B．[0，5] C．(－1，5) D．(0，5)
3． 设a、b∈R，则“a＋b＞4”是“a＞2且b＞2”的B
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4． 为培养学生的兴趣爱好，丰富学生的课余生活，某校团委开设了70个社团供学生自由选择．现已知甲、乙两位同学均准备从“创客空间”、“春柳文学社”、“舞龙协会”这三个社团中选择一个报名，则这两位同学的不同报名方案种数为C
A．6 B．8 C．9 D．12
5． 已知函数f(x)＝|x＋2|＋|x－1|，x∈R，以下说法中错误的是A
A．f(x)的值域为[0，＋∞) B．f(x)在(1，＋∞)上单调递增
C．f(x)的对称轴为x＝－ D．方程f(x)＝2x＋3有且只有1个根
6． 已知x、y＞0，＋＝2，则xy的最小值为A
A．2 B．3 C．6 D．9
7． 已知f(x)＝，则关于x的不等式f(x－3)≤f(2x)的解集为B
A．(－∞，－3]∪[3，＋∞) B．[－3，＋∞)
C．[－3，0]∪[3，＋∞) D．[－3，3]
8． 我国古代数学名著《九章算术》的“论割圆术”中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周盒体而无所失矣．”它体现了一种无限与有限的转化过程．比如表达式1＋(“…”代表无限次重复)可以通过方程1＋＝x来求得x＝，即1＋＝；类似上述过程及方法，则的值为B
A． B． C．7 D．2
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，少选得2分，错选或不选得0分．请把答案填涂在答题卡相应位置上．）
9． 若an＝b(a≠0，n＞1，n∈N*)，则下列说法中正确的是ABD
A．当n为奇数时，b的n次方根为a B．当n为奇数时，＝a
C．当n为偶数时，b的n次方根为a D．当n为偶数时，＝|a|
10．给出以下四个命题，其中为真命题的是BC
A．函数y＝与函数y＝·表示同一个函数
B．若函数f(2x)的定义域为[0，2]，则函数f(x)的定义域为[0，4]
C．若函数y＝f(x)是奇函数，则函数y＝f(x)－f(－x)也是奇函数
D．函数y＝－在(－∞，0)∪(0，＋∞)上是单调增函数
11．已知a、b＞0，a＋2b＝ab，则下列表达式正确的是ACD
A．a＞2，b＞1 B．a＋b的最小值为3
C．ab的最小值为8 D．(a－2)2＋(b－1)2的最小值为4
12．若函数f(x)为R上的单调函数，且满足对任意x∈R，都有f(f(x)－x2)＝2，则f(3)的值可能为CD
A．4 B．6 C．7 D．10
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．其中第14题有两空，第一空2分，第二空3分；其余题均为一空，每空5分．请把答案填写在答题卡相应位置上．）
13．若1≤x≤3，－2＜y≤1，则x－|y|的取值范围为________．
(－1，3]
14．约翰·卡尔·弗里德里希·高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”记为y＝[x]，其中[x]表示不超过x的最大整数．例如：[－2.1]＝－3，[3.1]＝3．已知函数f(x)＝，则[f(2)]＝________；函数y＝[f(x)]的值域是________．
1；{1，2，3}
15．若一个18位整数的25次方根仍是一个整数，则这个25次方根是________．
(参考数据：lg2≈0.3，lg3≈0.48)
5
16．已知a∈R，不等式≥1的解集为P，若－1P，则a的取值范围为________．
(－∞，－3)∪[1，＋∞)
四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．(本小题满分10分)
求下列各式的值．
(1)()－(5.9)0－()-2；
(2)．
解：(1)原式＝－1－＝； …… 5'
(2)原式＝
＝
＝
＝
＝1 ……10'

18．(本小题满分12分)
已知集合A＝{x|－1＜x≤a，a＞0}，B＝{y|y＝|x|，x∈A}，C＝{z|z＝x2，x∈A}．
(1)若a＝1，求B∩C；
(2)若C⊆B，求实数a的取值范围．
解：(1)当a＝1时，A＝{x|－1＜x≤1}，
则B＝{y|y＝|x|，x∈A}＝{x|0≤x≤1}， …… 2'
C＝{z|z＝x2，x∈A}＝{x|0≤x≤1}， …… 4'
因此B∩C＝{x|0≤x≤1}； …… 5'
(2)①当0＜a＜1时，
得B＝{x|0≤x＜1}，
C＝{x|0≤x＜1}，
满足C⊆B，
故0＜a＜1； …… 7'
②当a≥1时，
得B＝{y|y＝|x|，x∈A}＝{x|0≤x≤a}， …… 8'
C＝{z|z＝x2，x∈A}＝{x|0≤x≤a2}， …… 9'
因为C⊆B，
所以a2≤a，
解得0≤a≤1， ……10'
故a＝1； ……11'
综上，0＜a≤1． ……12'

19．(本小题满分12分)
已知命题p：≥x－1，命题q：x2－3ax＋2a2＜0，其中a∈R且a≠0．
(1)若p为真，求x的取值范围；
(2)若p是q的充分条件，求a的取值范围．
解：(1)对命题p而言，
当p为真时，即≥x－1，
因为x≥，所以x－1＞0， …… 2'
所以3x－5≥x2－2x＋1，
即x2－5x＋6≤0，
所以2≤x≤3； …… 5'
(2)对命题q而言，
因为x2－3ax＋2a2＜0，a≠0，
所以(x－a)(x－2a)＜0； …… 7'
因为p是q的充分条件，
所以a＞0，a≤2，2a≥3， ……11'
所以≤a≤2． ……12'

20．(本小题满分12分)
某问题的题干如下：“已知定义在R上的函数f(x)满足：①对任意x、y∈R，均有2f(xy)＝f(x)·f(y)；②当x＞0时，f(x)＞0；③f(2)＝16．”某同学提出一种解题思路，构造f(x)＝a·xb(a≠0)，使其满足题干所给条件．请按此同学的思路，解决以下问题．
(1)求f(x)的解析式；
(2)若方程f(x)＝恰有3个实数根，求实数m的取值范围．
解：(1)因为f(x)＝a·xb，a≠0
代入①得，2a·(xy)b＝a·xb·a·yb，
所以2a＝a2，
故a＝2， …… 2'
又由③得，2·2b＝16，
所以b＝3； …… 4'
因此f(x)＝2x3，
经检验，f(x)＝2x3，x∈R，满足题干所给条件， …… 5'
所以f(x)＝2x3； …… 6'
(2)因为方程2x3＝恰有3个实数根，
显然0为其一个实数根， …… 7'
所以方程2x＝恰有2个非0实数根，
即方程2x2－4x－m＝0恰有2个实数根，且两根非0、2， …… 8'
由Δ＞0可得，m＞－2， ……10'
又由0、2均不是此方程的根，
则m≠0， ……11'
所以，m的取值范围为(－2，0)∪(0，＋∞)． ……12'

21．(本小题满分12分)
新能源汽车具有节约燃油能源、减少废气排放、有效保护环境等优点．据统计，截至2022年9月底，我国新能源汽车保有量为1149万辆，占汽车总保有量的3.65%．小杨哥准备以9万元的价格买一辆新能源汽车作为出租车(不作它用)，根据市场调查，此汽车使用n(n∈N*，n≤8)年的总支出为(0.25n2＋0.25n)万元，每年的收入为5.25万元．
(1)此汽车从第几年起开始实现盈利？
(2)此汽车使用多少年报废最合算？
(①利润＝收入－支出；②出租车最合算的报废年限一般指使年平均利润最大时的使用年数)
解：(1)设此汽车使用n年的总利润为y万元，
则y＝5.25n－(0.25n2＋0.25n)－9
＝－0.25n2＋5n－9
＝－0.25(n2－20n＋36)，1≤n≤8，n∈N* …… 2'
由y＞0得，－0.25(n2－20n＋36)＞0，
即n2－20n＋36＜0，
得2＜n＜18， …… 4'
所以从第3年起开始盈利； …… 5'
(2)设此汽车使用n年的年平均利润为z万元，
则z＝ …… 7'
＝－0.25(n＋－20)
≤－0.25(2－20)
＝2， …… 9'
当且仅当n＝6时取等号， ……11'
答：所以此汽车使用6年报废最合算． ……12'

22．(本小题满分12分)
已知函数f(x)＝．
(1)若对任意x∈[2，4]，不等式f 2(x)＋p·f(x)＋1≥0恒成立，求实数p的取值范围；
(2)若函数F(x)＝f(x－3)＋，是否存在实数m、n(m＜n)，使得F(x)在区间[m，n]上的值域为[m，n]？若存在，求出m、n的值；若不存在，说明理由．
解：(1)因为对任意x∈[2，4]，x＋p·＋1≥0恒成立，
所以p≥－(＋)， …… 1'
令g(x)＝－(x＋)，x∈[，2]，
x1、x2∈[，2]，且x1＜x2，
因为g(x1)－g(x2)＝－(x1＋)＋(x2＋)
＝，
由x1、x2∈[，2]，且x1＜x2得，
x1x2＞0，x1x2－1＞0，x2－x1＞0，
所以g(x1)＞g(x2)，
即g(x)在[，2]上单调递减， …… 4'
所以g(x)max＝g()＝－， …… 5'
所以p≥－； …… 6'
(2)假设存在m、n(m＜n)，使得F(x)在区间[m，n]上的值域为[m，n]，
因为F(x)＝f(x－3)＋＝＋，x≥3，
显然F(x)在[3，＋∞)上单调递增，
因为F(x)在区间[m，n]上的值域为[m，n]，
所以F(m)＝m，F(n)＝n， …… 8'
即方程F(x)＝x在[3，＋∞)上有两不等根， …… 9'
即＋＝x，
即4x2－16x＋21＝0，此方程无解， ……11'
故假设不成立，
即不存在m、n(m＜n)，使得F(x)在区间[m，n]上的值域为[m，n]． ……12'