专题3 单变量存在恒成立与存在性问题-(人教A版2019选择性必修第二、三册)(学生版+教师版)

单变量恒成立与存在性问题

恒成立问题、存在性问题归根到底是最值问题.

1 恒成立问题

恒成立在上的；

恒成立在上的；

2 存在性问题

恒成立在上的；

恒成立在上的；

3常见处理方法

方法1 直接构造函数法：求恒成立恒成立.

方法2 分离参数法：求 其中恒成立恒成立.

方法3 变更主元：题型特征(已知谁的范围把谁作为主元)；

方法4 数形结合法：求恒成立证明在的上方；

方法5 同构法：对不等式进行变形，使得不等式左右两边式子的结构一致，再通过构造的函数单调性进行求解；

方法6 放缩法：利用常见的不等式或切线放缩或三角函数有界性等手段对所求不等式逐步放缩达到证明所求不等式恒成立的目的；

学习各种方法时，要注意理解它们各自之间的优劣性，有了比较才能快速判断某种题境中采取哪种方法较简洁，建议学习时一题多解，多发散思考.

方法1 直接构造函数法与分离参数法

以下通过几题让大家感觉下直接构造函数法与分离参数法的优劣性！

【典题1】 若恒成立，求的取值范围.

【典题2】已知函数．

(1)当时，求的极值；

(2)若在上恒成立，求实数的取值范围．

【典题3】设，

(1)若，求的单调区间；

(2)若当时，恒成立，求的取值范围.

1 (★★) 已知函数，当时，恒成立，则的取值范围为    .

2 (★★) 已知函数，若恒成立，则整数的最大值为    .

3 (★★)已知函数．

(1)求的最小值；

(2)若对所有都有，求实数的取值范围．

4 (★★)已知函数，其中．

(1)求函数在处的切线方程；

(2)，，求实数的取值范围．

5 (★★★)已知函数．

(1)讨论的单调性；

(2)若恒成立，求正整数的最大值．参考数据：．

6 (★★★)已知函数在处取得极值．

(1)求函数的单调区间；

(2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．

方法2 变更主元法

【典题1】 若不等式对满足的所有都成立，求的取值范围．

1 (★★)已知定义在上的函数在区间上的最大值是，最小值是．

(1)求函数的解析式；

(2)若时，恒成立，求实数的取值范围．

2 (★★★)设函数在区间上的导数为，在区间上的导数为，若在区间上，恒成立，则称函数在区间上为“凸函数”，已知实数是常数，.

(1)若在区间上为“凸函数”，求的取值范围；

(2)若对满足的任何一个实数，函数在区间上都为“凸函数”，求的最大值.

方法3 数形结合法

【典题1】已知函数满足，若，求的最大值.

【典题2】已知函数，若恒成立，则实数的取值范围是　　．

1(★★) 已知函数当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是________．

2(★★★) 设函数，若存在唯一的整数使得，则实数的取值范围是　 　．

3(★★★) 已知，若成立，则满足条件的的个数是   .

4(★★★) 若，，则实数的取值范围是　 　．

方法4  同构法

【典题1】已知函数，当时，恒成立，则的取值范围为    .

【典题2】已知函数，若在上恒成立，则实数的最小值为      .

1(★)已知，若恒成立，则的值是　 　．

2(★★★) 若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为　 　．

3(★★) 证明：．

4(★★★) 函数,，时，恒成立，求的范围.

方法5 放缩法

【典题1】已知函数

(1)当时，求曲线在点处的切线方程；

(2)当时，证明.

1(★★)求证:当且时，.

2(★★★)已知函数．

(1)求函数图象在处的切线方程；(2)证明：．

3(★★★) 设函数

(1)当时，求函数的单调区间；(2)当，时，求证.