2022-2023学年河北省石家庄二十三中九年级（上）月考数学试卷（10月份）（含解析）

2022-2023学年河北省石家庄二十三中九年级（上）月考数学试卷（10月份）

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共16小题，共32.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列方程中，属于一元二次方程的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 已知，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 下列各点中，在反比例函数图象上的是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 关于的一元二次方程的一个根是，则的值为(    )

A.  B.  C. 或 D.

5. 下列说法中，不正确的是(    )

A. 过圆心的弦是圆的直径 B. 等弧的长度一定相等
C. 周长相等的两个圆是等圆 D. 直径是弦，半圆不是弧

6. 函数和函数在同一坐标系内的图象大致是(    )

A.  B.
C.  D.

7. 如图，是河堤横断面的迎水坡坡高，水平距离，则斜坡的坡度为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 为执行“均衡教育“政策，某区年投入教育经费万元，预计到年底三年累计投入亿元，若每年投入教育经费的年平均增长百分率为，则下列方程正确的是(    )

A.
B.
C.
D.

9. 如图，在▱中，点在对角线上，，交于点，，交于点，则下列式子一定正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图，嘉淇一家驾车从地出发，沿着北偏东的方向行驶，到达地后沿着南偏东的方向行驶来到地，且地恰好位于地正东方向上，则下列说法正确的是(    )
     

A. 地在地的北偏西方向上 B. 地在地的南偏西方向上
C.  D.

11. 如图，在矩形中，点是边的中点，，垂足为，则的值是(    )
     

A.  B.  C.  D.

12. 对于反比例函数，下列说法错误的是(    )

A. 函数图象位于第一、三象限
B. 函数值随的增大而减小
C. 若、、是图象上三个点，则
D. 为图象上任意一点，过作轴于，则的面积是定值

13. 如图，将大小不同的两块量角器的零度线对齐，且小量角器的中心，恰好在大量角器的圆周上，设图中两圆周的交点为，且点在小量角器上对应的刻度为，那么点在大量角器上对应的刻度为只考虑小于的角(    )
     

A.  B.  C.  D.

14. 王慧将今年四月份某地每天的最高气温情况绘制成如图所示的条形统计图，则月份最高气温的众数与中位数分别为(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

15. 如图，在的网格图中，、、是三个格点，其中每个小正方形的边长为，的外心可能是(    )
     

A. 点 B. 点 C. 点 D. 点

16. 如图，点在线段上，在的同侧作角的直角三角形和角的直角三角形，与，分别交于点，，连接对于下列结论：∽；；图中有对相似三角形；其中结论正确的个数是(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共3小题，共12.0分）

17. 已知，则的值为______．
18. 如图，点是的边上一点，，．
    ______ ；
    若反比例函数的图象经过点，则 ______ ．

19. 有一块锐角三角形余料，边为，边上的高为，现要把它分割成若干个邻边长分别为和的小长方形零件，分割方式如图所示分割线的耗料不计，使最底层的小方形的长为的边在上，则按如图方式分割成的小长方形零件最多有______．

三、解答题（本大题共6小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

20. 本小题分
    解以下方程：
    ；
    ．
21. 本小题分
    某校名学生参加植某校名学生参加植树活动，要求每人植棵，活动结束后随机抽查了名学生每人的植树量，并分为四种类型，：棵；：棵；：棵；：棵．将各类的人数绘制成扇形图如图和条形图如图，经确认扇形图是正确的，而条形图尚有一处错误．
    回答下列问题：

小宇的分析是从哪一步开始出现错误的？
请你帮他计算出正确的平均数，并估计这名学生共植树多少棵？

22. 本小题分
    如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为的住房墙，另外三边用长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为．

23. 本小题分
    如图是一台手机支架，图是其侧面示意图，其中，可分别绕点，转动，测量知，为用眼舒适，经市场调研小组多次试验发现，当，转动到，时，人们的感受最为舒适，求此时点到的距离．结果保留小数点后一位，参考数据：，，，，

24. 本小题分
    如图，在平面直角坐标系中，点，分别在反比例函数和的图象上，轴于点，轴于点，是线段的中点，，．
    求反比例函数的表达式．
    连接，，，求的面积．
    是线段上的一个动点，是线段上的一个动点，试探究是否存在点，使得是等腰直角三角形？若存在，直接写出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．

25. 本小题分
    如图，在矩形中，，点在边上，点从点出发沿折线匀速移动，到达点时停止．
    边 ______ ；
    设点移动的路程为，
    求点到直线的距离用含的式子表示；
    当点在的角平分线上时，求的值；
    设点运动的时间为秒，若点从到再到共用时秒连接，请直接写出当被线段截得的三角形与相似时的值．
    
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：符合一元二次方程的定义，故选项A正确；
不是整式方程，故选项B不是一元二次方程；
是二元二次方程，故选项C不是一元二次方程；
是一元一次方程，故选项D不是一元二次方程．
故选：．
根据一元二次方程的定义，逐个判断得结论．
本题考查了一元二次方程的判定，掌握一元二次方程的定义是解决本题的关键．一元二次方程必须满足的三个条件：方程是整式方程；
方程只含有一个未知数；
未知数的最高次数是．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
，
．
故选：．
直接利用已知得出，进而代入化简得出答案．
此题主要考查了比例的性质，正确代入化简分式是解题关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：，，，，
点在反比例函数图象上．
故选：．
利用反比例函数图象上点的坐标特征进行判断．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数为常数，的图象是双曲线；图象上的点的横纵坐标的积是定值，即．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了一元二次方程的定义．
根据方程的解的定义，把代入方程，即可得到关于的方程，再根据一元二次方程的定义即可求解．
【解答】
解：把代入一元二次方程得，解得，，
而，
所以的值为．
故选：．  

5.【答案】 

【解析】解：直径是通过圆心且两个端点都在圆上的线段，故正确；
B.能重合的弧叫等弧，长度相等，故正确；
C.周长相等的圆其半径也相等，为等圆，故正确．
D.直径是弦，半圆是弧，故错误．
故选：．
对于，直径是通过圆心且两个端点都在圆上的线段，即可进行判断；
 对于，能重合的弧叫等弧，即可进行判断；
 对于和，分别根据等圆，直径，半圆的知识，也可进行判断．
本题考查圆的认识，解题的关键是掌握弦，弧等知识，灵活运用所学知识解决问题．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
函数与轴的交点为，故C、不合题意；
函数，且为常数中时，反比例函数图象在一、三象限，此时的图象在第一、三、四象限；
当函数，且为常数中时，反比例函数图象在二、四象限，此时的图象在第一、二、四象限，
故选：．
首先根据反比例函数的比例系数的符号确定反比例函数所在的象限，然后根据的符号确定所在的象限，即可作出判断．
此题考查一次函数，反比例函数中系数及常数项与图象位置之间关系．反比例函数的图象是双曲线，当时，它的两个分支分别位于第一、三象限；当时，它的两个分支分别位于第二、四象限．
 

7.【答案】 

【解析】解：坡高，水平距离，
斜坡的坡度为，
故选：．
根据坡度的定义直接求解即可．
本题考查了解直角三角形的应用--坡度坡角问题，理解坡度的概念是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：设每年投入教育经费的年平均增长百分率为，
由题意得，．
故选：．
设每年投入教育经费的年平均增长百分率为，根据题意可得，年投入教育经费年投入教育经费增长率年投入教育经费增长率亿元，据此列方程．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查相似三角形的性质及平行四边形的性质，本题关键是要懂得找相似三角形，利用相似三角形的性质求解．根据平行四边形的性质以及相似三角形的性质．
【解答】

解：在▱中，，，
四边形为平行四边形，，，
易得∽∽，
，，项错误；
，项错误；
，项错误；
，项正确；
故选：．

10.【答案】 

【解析】解：如图所示：
由题意可知，，，
，即在处的北偏西，故A错误；
，
，
即在处的北偏西，故B错误；
，
即公路和的夹角是，故C错误．
，
，
，故D正确；
故选：．
根据平行线的性质及方向角的概念分别解答即可．
本题考查的是解直角三角形方向角问题，熟练掌握方向角的概念是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，三角函数的定义等知识；熟练掌握矩形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．
证明∽，得出，，由矩形的对称性得：，得出，设，则，由勾股定理求出，再由三角函数定义即可得出答案．
【解答】
解：四边形是矩形，
，，
点是边的中点，
，
∽，
，
，
，
点是边的中点，
由矩形的对称性得：，
，设，则，
，
；
故选A．  

12.【答案】 

【解析】解：、，它的图象分布在第一、三象限，故本选项正确；
B、它的图象分布在第一、三象限，在每一象限内随的增大而减小，故本选项错误；
C、它的图象分布在第一、三象限，在每一象限内随的增大而减小，，，，，
，
故本选项正确；
D、为图象上任意一点，过作轴于，的面积是定值，故本选项正确．
故选：．
先判断出的符号，再根据反比例函数的性质即可得出结论．
本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数中，当时函数图象的两个分支分别位于一三象限是解答此题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
连接，，如图，先根据得到，然后根据三角形内角和求出即可．
【解答】
解：连接，，如图，

在小量角器上对应的刻度为，
即，
而，
，
，
即点在大量角器上对应的刻度为只考虑小于的角．
故选：．  

14.【答案】 

【解析】解：从条形统计图中可得，气温为出现的天数最多是天，因此气温的众数是，
将四月份天的气温从小到大排列后，处在中间位置的两个数都是，因此气温的中位数是，
故选：．
从统计图中得出每个气温所出现的天数，再根据中位数、众数的意义求解即可．
本题考查条形统计图、中位数、众数的意义，从统计图中获取数据是解决问题的前提，掌握中位数、众数的意义是解决问题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了三角形的外接圆与外心，勾股定理，熟练掌握三角形的外心的性质是解题的关键．
由图可知，是锐角三角形，于是得到的外心只能在其内部，根据勾股定理得到，于是得到结论．
【解答】
解：由图可知，是锐角三角形，
的外心只能在其内部，
由此排除选项和选项，
由勾股定理得，，
排除选项，
故选：．  

16.【答案】 

【解析】解：如图，设与的交点为，
，，
，，，
，
∽，故正确；
∽，
，
，
∽，
，
，故正确；
，
，
∽，
，
，故正确；
同理：∽，∽，
∽，
图中有对相似三角形有对，故不正确；
故选：．
如图，设与的交点为，根据直角三角形的性质得到，根据相似三角形的判定定理得到∽，故正确；根据相似三角形的性质得到，推出∽，根据相似三角形的性质得到，故正确；由相似三角形的性质得到，根据垂直的定义得到，故正确；同理：∽，∽，于是得到图中有对相似三角形有对，故不正确．
本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：，
，
解得：，
，
故答案为：．
首先确定的度数，然后再利用三角函数值求答案．
此题主要考查了特殊角的三角函数值，关键是掌握，．
 

18.【答案】   

【解析】解：作轴于，
．
，
，
设，则，
，，
，解得，
，
，
故答案为；
，则，
，
反比例函数的图象经过点，
，
故答案为．
根据题意得到，设，则，根据勾股定理得到，解得，即可求得，解直角三角形即可求得；
根据待定系数法即可求得．
本题考查了解直角三角形，反比例函数图象上点的坐标特征，求得的坐标是解题的关键．
 

19.【答案】 

【解析】解：如图当最上层的小长方形的一边与、交于点、时，，

∽，
，
，，小正方形邻边长分别为和，
，
解得：，
，
小正方形的宽为，
能分割层小长方形，
同理可得出：最下面一层可分割成个长方形，
其次分割成个长方形，再上一层分割成个长方形，
再上一层分割成个长方形，再上一层分割成个长方形，
再上一层分割成个长方形，最上一层分割成个长方形，
故共裁个小长方形．
故答案为：．
如图作交、于点、，得到，利用相似三角形求得的长，进而可以求得可以裁几层这样的长方形从而得到答案．
本题考查了相似三角形的应用，利用条件得到相似三角形并利用相似三角形的性质求得每层长方形个数是解决本题的关键．
 

20.【答案】解：，
，
或，
，；
，
，
，
或，
，． 

【解析】方程利用十字相乘法因式分解求解即可；
方程利用提公因式法式分解求解即可．
本题考查了用因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解法分解因式是解答本题的关键．
 

21.【答案】解：第二步；
，
估计这名学生共植树棵． 

【解析】结合加权平均数的算法可知对错；
求出正确的平均数，乘以即可得到结果．
此题考查的是条形统计图，从图中能够准确获得信息是解决此题的关键．
 

22.【答案】解：设矩形猪舍平行于墙的一边长为，
根据题意，得，
解得不合题意，舍去，，
垂直于墙的一边长为，
矩形猪舍的长为，宽为时，猪舍面积为． 

【解析】设矩形猪舍平行于墙的一边长为，根据猪舍面积为列一元二次方程，求解即可．
本题考查了一元二次方程的应用，根据题意建立等量关系是解题的关键．
 

23.【答案】解：过点作，过点作，垂足分别为、，过点作，垂足为，

则，，
在中，，，
，，
，
，
，
在中，，
，
，
，
点到的距离约为． 

【解析】过点作，过点作，垂足分别为、，过点作，垂足为，根据题意可得，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再求出的度数，从而求出的度数，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

24.【答案】解：，
点坐标轴为，
，
，
，
是线段的中点，
，
，
，
，
；



；
存在点，使得是等腰直角三角形，理由如下：
设直线的解析式为，
，
，
，
设，
当时，，
点与点重合，
此时；
当时，，
，
解得，
；
当时，，
，
解得，
；
综上所述：点坐标为或或 

【解析】先求出点坐标，再求出点坐标，即可求函数的解析；
利用割补法可得；
设，分三种情况讨论：当时，，点与点重合，此时； 当时，，，此时；当时，，，此时
本题考查反比例函数的图象及性质，熟练掌握反比例函数的图象及性质，等腰直角三角形的性质，梯形的面积，分类讨论是解题的关键．
 

25.【答案】 

【解析】解：如图中，

四边形是矩形，
，
，
设，，则，
，
，
，，
故答案为：．


如图中，当点在上时，过点作于．
，
，

如图中，当点在上时，过点作于可得．

综上所述，点到直线的距离为或．

如图中，过点作于，连接．

平分，，，
，
，
，
．

点从到再到共用时秒，，
点的运动速度为单位长度秒．
情形：如图中，当时，∽．


，
，
．
情形中，如图中，当时，∽，
，
，
，
情形，当时，满足条件，此时，，

综上所述，满足条件的的值为或或．
在中，解直角三角形求出即可．
分两种情形：如图中，当点在上时，过点作于如图中，当点在上时，过点作于，分别求解即可．
如图中，过点作于，连接证明，根据，构建方程求解即可．
分三种情形：情形：如图中，当时，∽情形中，如图中，当时，∽，情形：当时，满足条件，分别利用相似三角形的性质，构建方程求解即可．
本题属于相似形综合题，考查了矩形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．