2022-2023学年江苏省扬州市高邮市九年级（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年江苏省扬州市高邮市九年级（上）期中数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列成语或词语所反映的事件中，可能性最小的是(    )

A. 瓜熟蒂落 B. 旭日东升 C. 日行千里 D. 守株待兔

2. 水中涟漪圆形水波不断扩大，记它的半径为，则圆周长与的关系式为下列判断正确的是(    )

A. 是变量 B. 是变量 C. 是变量 D. 是常量

3. 我校在科技文化节活动中，位评委给某个节目的评分各不相同，去掉个最高分和个最低分，剩下的个评分与原始的个评分相比一定不发生变化的是(    )

A. 平均数 B. 中位数 C. 方差 D. 众数

4. 已知三条线段长分别是，，，若再添加一条新线段，使这四条线段能成比例，则这条新线段长不可能是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 一元二次方程的根的情况是(    )

A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根 D. 没有实数根

6. 如图，在的正方形网格中，以为位似中心，把格点放大为原来的倍，则的对应点为(    )

A. 点
B. 点
C. 点
D. 点

7. 如图，已知的直径为，弦，动点、在上，弦，若点、分别是弦、的中点，则线段的取值范围是(    )

A.
B.
C.
D.

8. 若关于的一元二次方程的两根分别为，，则关于的一元二次方程的两根分别为(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）

9. 立冬是二十四节气中的第十九个节气，每年月日之间交节，立冬后早晚的温度变化渐大．今天的最高气温为，最低气温为，该日的气温极差为______．
10. 若用配方法解一元二次方程时，则可以将该方程变形为______．
11. 若：：，：：，则：______．
12. 一个不透明的袋中装有个红球和个白球，这些球除颜色外无其他差别．现随机从袋中摸出一个球，这个球是红球的概率是______．
13. 若从一个腰长为，顶角为的等腰三角形铁皮中剪出一个面积最大的扇形，则该扇形的面积为______．
14. 如图，已知是的直径，点在外，连接、分别交于点、，若设，则的度数为______用含的代数式表示．

15. 已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值______．
16. 如图，已知矩形的边长，，点在矩形的对角线上，若，则的长为______．

17. 若一组数据，，，的中位数与平均数相等，则符合条件的的值有______个．
18. 如图，已知中，，于点，，，点为的中点，点是线段上的一个动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点是直线上的一个动点，连接，点关于的对称点是点，连接，则的最小值为______．

三、解答题（本大题共10小题，共96.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19. 本小题分
    解方程：
    ；
    ．
20. 本小题分
    甲、乙两班各选名学生参加电脑汉字录入比赛，将参赛学生每分钟录入汉字的个数图所示：

根据以上信息，完成下面表格：

已知甲班的方差为，哪一个班参赛选手电脑汉字录入的成绩稳定？

21. 本小题分
    九年级、、、四个班各有一名选手参加了学校组织的“经典诵读大赛”活动．
    若名选手抽签决定参赛顺序，则班选手第一个比赛的概率为______；
    若将名选手随机分成两组，每组名选手，求、两班的选手被分在同一组的概率．
22. 本小题分
    某剧院可容纳人，经调研在一场文艺演出中，票价定为每张元时，可以售出张门票如果票价每降低元，那么售出的门票就增加张．要使门票收入达到元，票价应降低多少元？
23. 本小题分
    如图，两条弧和围成新月形．
    请用无刻度直尺和圆规画出的圆心和的圆心保留作图痕迹，不要求写作法；
    连接、，若，，，求弦的长．

24. 本小题分
    已知关于的方程．
    试说明：无论取什么实数值，方程总有实数根；
    若方程的两实数根都为正整数，求的值．
25. 本小题分
    已知为的直径，为上一点，为的延长线上一点，连接过点作于点，且．
    求证：是的切线；
    若的半径为，且点为的中点，求图中阴影部分的面积．

26. 本小题分
    如图，点在的外部，连结、，在的外部分别作，，连结．
    求证：；
    判断与的数量关系，并说明理由．

27. 本小题分
    我们定义：有且只有一组对角是直角的四边形叫做“陨四边形”，把两个非直角顶点的连线段叫做这个“陨四边形”的直径．
    
    如图，已知、是的直径，，点是上的一点，连接、、、、、、图中的______是“陨四边形”；
    如图，已知是“陨四边形”的直径，点是的中点，交于点若，求的值；
    如图，中，，，以为边向形外作等边，再以为边向形外作等边，连接交于点，连接，若，求等边的面积．
28. 本小题分
    【模型建立】如图，在等边中，点、分别在、边上，，求证：；
    
    【模型应用】如图，在中，，，于点，点在边上，，点在边上，，则的值为______；
    【模型拓展】如图，在钝角中，，点、分别在、边上，，若，，求的长．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：瓜熟蒂落，是必然事件，发生的可能性为，不符合题意；
B.旭日东升，是必然事件，发生的可能性为，不符合题意；
C.日行千里，是随机事件，有先进的交通工具，发生的可能性较大，不符合题意；
D.守株待兔所反映的事件发生的可能性很小，符合题意；
故选：．
根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可得出答案．
本题考查了可能性大小的判断，解决这类题目要注意具体情况具体对待．一般地必然事件的可能性大小为，不可能事件发生的可能性大小为，随机事件发生的可能性大小在至之间．
 

2.【答案】 

【解析】解：根据题意可得，
在中．、为常量，是自变量，是因变量．
故选：．
根据变量与常量的定义进行求解即可得出答案．
本题主要考查了常量于变量，熟练掌握常量与变量的定义进行求解是解决本题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：根据题意，从个原始评分中去掉个最高分和个最低分，得到个有效评分．个有效评分与个原始评分相比，中位数一定不发生变化．
故选：．
根据平均数、中位数、方差、众数的意义即可求解．
本题考查了平均数、中位数、众数、方差的意义．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数或最中间两个数的平均数；一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．
 

4.【答案】 

【解析】解：、，这四条线段能成比例，故本选项不符合题意；
B、，这四条线段能成比例，故本选项不符合题意；
C、，这四条线段不能成比例，故本选项符合题意；
D、，这四条线段能成比例，故本选项不符合题意．
故选：．
根据比例线段的概念：如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．
本题考查比例线段，解题的关键是掌握比例线段的性质，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
，，
，，
即方程有两个不相等的实数根，
故选A．
根据已知得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
本题考查了解一元二次方程的应用，关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程．
 

6.【答案】 

【解析】解：如图所示：以为位似中心，把格点放大为原来的倍，
对应点到位似中心的距离比值为：，
的对应点为：点．
故选：．
直接利用位似图形的性质得出对应点到位似中心的距离比值，进而得出答案．
此题主要考查了位似变换，正确得出对应点到位似中心的距离比值是解题关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：连接、、、，如图所示：

的直径为，
，
点、分别是弦、的中点，，，
，，，，
，，
当时，、、三点共线，
当、位于的同侧时，线段的长度最短，
当、位于的两侧时，线段的长度最长，
线段的长度的取值范围是，
故选：．
连接、、、，由垂径定理得，，，，由勾股定理得，，当时，、、三点共线，当、位于的同侧时，线段的长度最短，当、位于的两侧时，线段的长度最长，便可得出结论．
本题考查了垂径定理、勾股定理以及线段的最值问题，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：把关于的一元二次方程看作为关于的一元二次方程，
关于的一元二次方程的两根分别为，，
或，
解得，，
即关于的一元二次方程的两根分别为，．
故选：．
把关于的一元二次方程看作为关于的一元二次方程，则根据题意得或，然后解一次方程即可．
本题考查了解一元二次方程直接开平方法：形如或的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．利用换元法解方程是解决问题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：该日的气温极差为．
故答案为：．
用最大值减去最小值即可求得极差．
本题考查了极差的定义，解题的关键是了解最大值与最小值的差是极差，难度不大．
 

10.【答案】 

【解析】解：，
，
，
故答案为：．
将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式即可．
本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：
把常数项移到等号的右边；
把二次项的系数化为；
等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为，一次项的系数是的倍数．
 

11.【答案】 

【解析】解：：：，
又：：：，
：：：：；
：．
故答案为：．
由：：：，：：，可以得出、、三个数的比，进而得出答案．
此题考查了比例的性质，此题应把转化成同一个数，然而进行连比是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：根据题意可得，
．
故答案为：．
应用简单随机事件的概率计算方法进行计算即可得出答案．
本题主要考查了概率公式，熟练掌握简单随机事件的概率计算方法进行求解是解决本题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：过作于，当扇形的半径为时扇形面积最大，
，，
，
，
该扇形的面积为：，
故答案为：．
根据等腰三角形的性质得到的长，再利用扇形公式计算即可．
本题考查扇形面积的计算，等腰三角形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

14.【答案】 

【解析】解：连接，
是的直径，
，
，
，
的度数为：．
故答案为：．
先根据圆周角定理求得，再由三角形外角的性质求得，进而即可求得弧的度数．
本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：

，
是一元二次方程的一个根，
，
，
当时，原式


，
故答案为：．
先去括号，再合并同类项，然后把代入化简后的式子进行计算即可解答．
本题考查了整式的混合运算化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
，，
，，
，
，
∽，
：：：：，
，
，
，
．
故答案为：．
先根据勾股定理得的长，再由矩形的性质可得，根据相似三角形的判定与性质可得答案．
此题考查的是相似三角形的判定与性质、矩形的性质，掌握其性质定理是解决此题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：将这组数据从大到小的顺序排列为，，，，
处于中间位置的数是，，
那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是，
平均数为，
数据，，，，的中位数与平均数相等，
，
解得，大小位置与对调，不影响结果，符合题意；

将这组数据从大到小的顺序排列后，，，，
中位数是，
此时平均数是，
解得，符合排列顺序；

将这组数据从大到小的顺序排列后，，，，
中位数是，
平均数，
解得，符合排列顺序．
的值为、或，共个．
故答案为：．
因为中位数的值与大小排列顺序有关，而此题中的大小位置未定，故应该分类讨论所处的所有位置情况：从小到大或从大到小排列在中间在第二位或第三位结果不影响；结尾；开始的位置．
本题结合平均数考查了确定一组数据的中位数的能力．涉及到分类讨论思想，较难，要明确中位数的值与大小排列顺序有关，一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而解答不完整．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数．如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求；如果是偶数个，则找中间两位数的平均数．
 

18.【答案】 

【解析】解：连接，，以点为圆心，以长为半径作圆，
于点，
，
点为的中点，，
，
、、三点都在上，
是的弦，
点不在外，
，
线段绕点顺时针旋转得到线段，
，
，
的最大值是，
，，
，
点关于的对称点是点，
，
，
，
当时，的值最小，
取最大值时，的值最小，
当时，，此时取得最小值，
的最小值为，
故答案为：．
连接，，以点为圆心，以长为半径作圆，先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证明，则、、三点都在上，即可证明，则的最大值是，再根据勾股定理求得，由轴对称的性质得，因为，所以，当时，，此时取得最小值，即可求得的最小值为．
此题重点考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理、旋转的性质、轴对称的性质、点与圆的位置关系、两点之间线段最短等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
 

19.【答案】解：，
，
，
，
，
所以，；
，
，
，
或，
所以，． 

【解析】利用配方法得到，然后利用直接开平方法解方程；
先把方程变形得到，再利用因式分解法把方程转化为或，然后解一次方程即可．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法．
 

20.【答案】解：；
把乙班所用数据从小到大排列起来，位置处于中间的是，，
中位数为；
乙班出现次数最多的数据是，
众数为；
乙的方差为：；
方差越大，波动性越大，甲板方差比乙班小，
因此甲班参赛选手电脑汉字录入的成绩稳定． 

【解析】计算出甲的加权平均数，再根据中位数和众数定义计算出乙班的中位数和众数，然后再根据方差计算方差；
根据方差的意义：它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立可得答案．
此题主要考查了加权平均数、众数、中位数、方差，正确进行方差的计算是解题关键．
 

21.【答案】 

【解析】解：若名选手抽签决定参赛顺序，则班选手第一个比赛的概率为，
故答案为：；
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中、两班的选手被分在同一组的结果有种，
、两班的选手被分在同一组的概率为．
直接由概率公式求解即可；
画树状图，共有种等可能的结果，其中、两班的选手被分在同一组的结果有种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；注意概率所求情况数与总情况数之比．
 

22.【答案】解：设票价应降低元，
由题意得：，
解这个方程得：，不符合题意舍去，
答：票价应降低元． 

【解析】设票价应降低元，由题意：票价定为每张元时，可以售出张门票如果票价每降低元，那么售出的门票就增加张．要使门票收入达到元，列出一元二次方程，解一元二次方程，即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

23.【答案】解：如图，点，点即为所求；


于点，经过圆心，
，
设，，则有，
解得不符合题意的解已经舍去，
． 

【解析】连接，作线段的垂直平分线交于点，交于点，交于点，连接，，作线段，的垂直平分线分别交于点，，点，即为所求；
设，，利用勾股定理构建方程组求解即可．
本题考查作图复杂作图，垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是掌握垂径定理，重合利用参数构建方程组解决问题．
 

24.【答案】解：当时，原方程为，
解得：，
当时，原方程有实数根；
当时，方程是一元二次方程，
，
方程总有两个实数根．
综上所述，无论取什么实数值，方程总有实数根；
，即，
解得：，．
又方程的两实数根都为正整数，
或，
的值为或． 

【解析】分及两种情况考虑：当时，原方程为一元一次方程，解之可得出方程的解，进而可得出当时原方程有实数根；当时，根据方程的系数，结合根的判别式，可得出，进而可得出方程总有两个实数根；
利用因式分解法，可求出方程的两个实数根，结合方程的两实数根都为正整数，即可求出的值．
本题考查了根的判别式、解一元一次方程以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：分及两种情况，说明方程有实数根；利用因式分解法，求出方程的两个实数根．
 

25.【答案】证明：连接，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
解：在中，点为的中点，
，
为等边三角形，
，
的半径为，
，
，
 

【解析】连接，根据等腰三角形的性质得到，证明，根据切线的判定定理证明结论；
根据等边三角形的性质得到，根据扇形面积公式、三角形的面积公式计算，得到答案．
本题考查的是切线的判定、扇形面积计算，掌握切线的判定定理是解题的关键．
 

26.【答案】证明：，
，
，
，
∽，
，
．
解：，
理由：，
，
，
∽，
． 

【解析】由，得，则，而，即可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明∽，则，所以；
由，变形为，而，即可由“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明∽，得．
此题重点考查相似三角形的判定与性质、等式的性质等知识，找到相似三角形的对应边和对应角并且证明∽及∽是解题的关键．
 

27.【答案】四边形 

【解析】解：为直径，
，
四边形为陨四边形，
故答案为：四边形；
，点是的中点，
，，
，
，
，
，
即，
；
取的中点，连接，，

和都是等边三角形，
，
四边形是菱形，
，，
由同理得，，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
的面积为．
利用圆周角定理可知，即可得出答案；
根据直角三角形斜边上中线的性质得，再利用勾股定理得，代入变形即可；
取的中点，连接，，首先可知四边形是菱形，得，，由同理得，，，从而得出的长，即可得出等边的边长，进而解决问题．
本题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理，直角三角形斜边上中线的性质，菱形的判定与性质等知识，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
 

28.【答案】 

【解析】证明：是等边三角形；，
，
．
，
，
，
∽，
，
；
解：，，
．
，，
，
．
，
为等边三角形，
，．
，
，
．
，
，
．
，
，
，
，
即，
故答案为：；
解：在上截取，连接，如图，

，
，
为等边三角形，
．
，，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
．
，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
．
．
利用等边三角形的性质，三角形的内角和定理和相似三角形的判定与性质解答即可；
利用直角三角形的性质，三角形的内角和定理判定为等边三角形，利用等腰三角形的判定和三角形的外角的性质求得，；再利用含角的直角三角形的性质和等量代换的性质即可得出结论；
在上截取，连接，利用全等三角形的判定与性质得到，则，利用相似三角形的判定与性质得到关于的方程，解方程求得，则．
本题主要考查了等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，直角三角形的性质，含角的直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质和相似三角形的判定与性质是解题的关键．