2022-2023学年海南省海口市九年级（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年海南省海口市九年级（上）期中数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列二次根式是最简二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 当为下列何值时，二次根式有意义(    )

A.  B.  C.  D.

3. 已知是整数，则满足条件的最小正整数为(    )

A.  B.  C.  D.

4. 若，则代数式的值是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 方程是关于的一元二次方程，则满足的条件是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 用配方法解一元二次方程，配方正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

7. 已知的两个根为、，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

9. 如图，某小区居民休闲娱乐中心是一块长方形长米，宽米场地，被条宽度相等的绿化带分为总面积为平方米的活动场所羽毛球，乒乓球如果设绿化带的宽度为米，由题意可列方程为(    )

A.  B.
C.  D.

10. 如图所示，每个小正方形的边长均为，则下列、、、四个图中的三角形阴影部分与相似的是．(    )
     

A.  B.  C.  D.

11. 如图，在平行四边形中，为上一点，连接，，且，交于点，：：，则：(    )

A. ： B. ： C. ： D. ：

12. 如图，在中，，，分别是，的中点，是上一点，，连接，，若，则的长度为(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13. 在数轴上表示实数的点如图所示，化简的结果为______．
     
14. 将一元二次方程通过配方转化成的形式为常数，则______，______．
15. 如图，已知和的相似比是：，且的面积是，则四边形的面积是______．

16. 如图，为平行四边形边上一点，、分别为、上的点，且，，、、的面积分别记为、、若，则______．
     

三、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    计算：
    ；
    ．
18. 本小题分
    解方程：
    ；
    ．
19. 本小题分
    “疫情”期间，某商场积压了一批商品，现欲尽快清仓，确定降价促销据调查发现，若每件商品盈利元时，可售出件，商品单价每下降元，则可多售出件设每件商品降价元．
    每件商品降价元后，可售出商品______ 件用含的代数式表示．
    若要使销售该商品的总利润达到元，求的值．
    销售该商品的总利润能否达到元？若能，请求出此时的单价；若不能，请说明理由．
20. 本小题分
    如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．
    
    画出与关于轴对称的；
    以原点为位似中心，在第三象限内画一个，使它与的相似比为：，并写出点，，的坐标．
    若方格中每个小正方形的边长为个单位长度，求的面积．
21. 本小题分
    如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、分别从、同时出发，设移动时间为．
    当为多少时，的面积是？
    当为多少时，与是相似三角形？

22. 本小题分
    如图，在中，，是高，平分分别与，相交于点，．
    求证：；
    求证：；
    若，，求的长．
    
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、是最简二次根式，符合题意；
B、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
C、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
D、，被开方数中含分母，不是最简二次根式，不符合题意；
故选：．
根据最简二次根式的概念判断即可．
本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．
 

2.【答案】 

【解析】解：根据二次根式有意义的条件可得：，
解得：．
故选：．
根据二次根式的性质被开方数大于等于，就可以求解．
本题考查二次根式有意义的条件，注意掌握被开方数为非负数这个条件．
 

3.【答案】 

【解析】解：是整数，
最小正整数的值是：．
故选：．
首先化简二次根式进而得出的最小值．
此题主要考查了二次根式的定义，正确化简二次根式得出是解题关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
，




，
故选：．
先求出，，的值，然后再利用因式分解，进行计算即可解答．
本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握因式分解是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：方程是关于的一元二次方程，
，即．
．
故选：．
根据一元二次方程的定义即可得出答案．
本题主要考查了一元二次方程的定义，要特别注意二次项系数这一条件，当时，上面的方程就不是一元二次方程了，当或时，上面的方程在的条件下，仍是一元二次方程，只不过是不完全的一元二次方程．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
，
，
则，即，
故选：．
将常数项移到方程的右边，再将二次项系数化为，继而两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：的两个根为、，
．
故选：．
根据一元二次方程的根与系数的关系为：即可求解．
本题考查了根与系数的关系，一元二次方程的根与系数的关系为：，．
 

8.【答案】 

【解析】根据“关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答即可．
解：点关于轴对称的点的坐标为．
故选：．
本题考查了关于轴、轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
 

9.【答案】 

【解析】解：根据题意得，绿化带的长和宽就应该分别为和，
所以方程为，
，
故选：．
如果设休闲娱乐中心的宽度为米，绿化带的长和宽就应该分别为和，根据题意可列出方程．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确找到关键描述语，正确找到等量关系是解决问题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了相似三角形的判定和勾股定理．识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边、对应角，可利用数形结合思想根据图形提供的数据计算对应角的度数、对应边的比．本题中把若干线段的长度用同一线段来表示是求线段是否成比例时常用的方法．
根据勾股定理，易得出的三边的边长，故只需分别求出各选项中三角形的边长，分析两三角形对应边是否成比例即可根据相似三角形的判定得到结论．
【解答】
解：小正方形的边长为，
在中，，，，
中，一边，一边，一边，三边与中的三边不能对应成比例，故两三角形不相似．故A错误；
中，一边，一边，一边，
有，即三边与中的三边对应成比例，故两三角形相似．故B正确；
中，一边，一边，一边，三边与中的三边不能对应成比例，故两三角形不相似．故C错误；
中，一边，一边，一边，三边与中的三边不能对应成比例，故两三角形不相似．故D错误．
故选B．  

11.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
∽，
，
，
，
：：

：：，
故选：．
根据平行四边形的性质得到，，得到∽，根据相似三角形的性质计算即可．
本题考查的是相似三角形的性质、平行四边形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：，分别是，的中点，
是的中位线，
，
，
，
在中，是的中点，
，
故选：．
根据三角形中位线定理求出，进而求出，再根据直角三角形斜边上的中线的性质计算即可．
本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线的性质，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：由数轴可得：，，
则

．
故答案为：．
直接利用二次根式的性质以及绝对值的性质分别化简求出答案．
此题主要考查了二次根式的性质以及绝对值的性质，正确掌握掌握相关性质是解题关键．
 

14.【答案】   

【解析】解：，
，
则，即，
、，
故答案为：、．
依据配方法的一般步骤：把常数项移到等号的右边；把二次项的系数化为；等式两边同时加上一次项系数一半的平方求解可得．
此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为，一次项的系数是的倍数．
 

15.【答案】 

【解析】解：与的相似比为：，
与的面积比为：．
与四边形的面积比为：．
的面积是，
四边形的面积是．
故答案为：．
根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，求出与的面积比，计算得到答案．
本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
利用相似三角形的性质求出的面积即可解决问题．
【解答】
解：，，
，
，
∽，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
故答案为．  

17.【答案】解：原式
；
原式
． 

【解析】先根据负整数指数幂、零指数幂、开方的运算法则计算，再利用乘法，最后计算加减即可；
先计算开方运算，再计算加减即可．
此题考查的是实数的运算，掌握其运算法则是解决此题的关键．
 

18.【答案】解：，
，
，
或，
，；
，
，
，
，即，
，
，． 

【解析】移项，提取公因式分解因式，继而可得两个关于的一元一次方程，分别求解即可得出答案；
将常数项移到方程的右边，并将二次项系数化为，继而两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
 

19.【答案】 

【解析】解：每件商品降价元后，可售出商品件件；
故答案为：；
根据题意得：，
解得，，
尽快清仓，
舍去，
答：的值为；
整理得：，
，方程无解，
所以总利润不能达到元．
降价元，可多售出件，降价元，可多售出件，盈利的钱数原来的盈利降低的钱数；
根据日盈利每件商品盈利的钱数原来每天销售的商品件数降价的钱数，列出方程求解即可．
此题主要考查了一元二次方程的应用；得到日盈利的等量关系是解决本题的关键．
 

20.【答案】解：如图，为所作；
如图，为所作，，，；

的面积． 

【解析】根据关于轴对称的点的坐标特征得到、、的坐标，然后描点即可；
利用关于以原点为位似中心的点的坐标特征，把点、、的横纵坐标都乘以得到点，，的坐标，然后描点即可；
用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算的面积．
本题考查了作图位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或也考查了轴对称变换．
 

21.【答案】解：点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，
，，
；
的面积是，
，
解得，．
即当为时，的面积是；
由运动知，，，
、是直角三角形，
当与相似时有两种情况，
即或，
当时，则有，解得；
当时，则有，解得；
当或时，与相似． 

【解析】用含的代数式表示线段和，根据的面积是列出关于的方程，解方程即可求得答案；
由于两三角形都是直角三角形，所有分两种情况分别利用相似三角形的对应边成比例可得到关于的方程，可求得答案．
此题考查了相似三角形的判定和性质，三角形的面积及分类讨论思想．在中求得、的长是解题的关键，在中分两种情况进行求解是解题的关键．
 

22.【答案】解：证明：，
，
为边上的高，
，
，
，
是的平分线，
，
．
证明：，，
，
，
，
，
，
，
．
如图，作于点．

，，
，
，
，
，
，
，
，，
，，
，
，
，
． 

【解析】

【分析】
根据两角对应相等两三角形相似即可判断．
首先证明，利用相似三角形的性质即可解决问题．
解直角三角形求出，，利用相似三角形的性质求出，即可．
本题考查相似三角形的判定与性质，勾股定理、等腰三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．