2021-2022学年山东省泰安市宁阳县九年级（上）期末数学试卷（五四学制）（含解析）

2021-2022学年山东省泰安市宁阳县九年级（上）期末数学试卷（五四学制）

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共48.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 如图是由个完全相同的小正方体搭成的几何体，如果将小正方体放到小正方体的正上方，则它的(    )

A. 左视图会发生改变 B. 俯视图会发生改变
C. 主视图会发生改变 D. 三种视图都会发生改变

2. 将抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位，得到抛物线的表达式为(    )

A.  B.
C.  D.

3. 一个不透明的袋子中装有个白球，个黑球，它们除了颜色外都相同．将球摇匀后，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再随机摸出一个球．两次摸到的球颜色相同的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 在函数为常数的图象上有三点，，，则函数值，，的大小关系为(    )

A.  B.  C.  D.

5. 如图，点，，，在圆，是圆的直径，，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

6. 如图，，是反比例函数在第一象限内的图象上的两点，且，两点的横坐标分别是和，则的面积是(    )

A.
B.
C.
D.

7. 若二次函数，当时，随的增大而减小，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

8. 已知二次函数的图象交轴于，两点若其图象上有且只有，，三点满足，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

9. 如图，平面直角坐标系中，经过三点，，，点是上的一动点．当点到弦的距离最大时，的值是(    )

A.  B.  C.  D.

10. 在平面直角坐标系中，将一块含有角的直角三角板如图放置，直角顶点的坐标为，顶点的坐标，顶点恰好落在第一象限的双曲线上，现将直角三角板沿轴正方向平移，当顶点恰好落在该双曲线上时停止运动，则此时点的对应点的坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

11. 如图，中，，，于点，是线段上的一个动点，则的最小值是(    )

A.
B.
C.
D.

12. 如图，抛物线与轴的一个交点为，与轴的交点在点与点之间包含端点，顶点的坐标为则下列结论：其中结论正确的个数为(    )
    ；
    ；
    对于任意实数，总成立；
    关于的方程没有实数根．

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

13. 在中，，，则______．
14. 如图，与相切，切点为，交于点，点是优弧上一点，若，则的度数为______ ．

15. 如图是一副眼镜镜片下半部分轮廓对应的两条抛物线关于轴对称．轴，，最低点在轴上，高，则右轮廓线所在抛物线的函数表达式为______不用写的取值范围．
16. 如图，在平面直角坐标系中，点是函数图象上的点，过点作轴的垂线交轴于点，点在轴上，若的面积为，则的值为______．
     
17. 如图，一艘轮船自西向东航行，航行到处测得小岛位于北偏东方向上，继续向东航行海里到达点处，测得小岛在轮船的北偏东方向上，此时轮船与小岛的距离为______海里结果保留根号
     
18. 如图所示的几何体都是由棱长为个单位的正方体摆成的，经计算可得第个几何体的表面积为个平方单位，第个几何体的表面积为个平方单位，第个几何体的表面积是个平方单位，，依此规律，则第个几何体的表面积是          个平方单位．
     

三、解答题（本大题共7小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19. 本小题分
    计算：
    ；
    ．
20. 本小题分
    如图，一次函数的图象与反比例函数为常数，且的图象都经过点．
    求点的坐标及反比例函数的表达式；
    设一次函数的图象与轴交于点，若点是轴上一点，且满足的面积是，直接写出点的坐标．

21. 本小题分
    如图，在中，，，在边上，且，，求的正切值．

22. 本小题分
    如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴上，反比例函数的图象经过菱形对角线的交点，且与边交于点，点的坐标为．
    求反比例函数的表达式；
    求点的坐标．
     
23. 本小题分
    疫情期间，某销售商在网上销售、两种型号的电脑“手写板”，其进价、售价和每日销量如表所示：

根据市场行情，该销售商对型手写板降价销售，同时对型手写板提高售价，此时发现型手写板每降低元就可多卖个，型手写板每提高元就少卖个，销售时保持每天销售总量不变，设其中型手写板每天多销售个，每天获得的总利润为元．
求与之间的函数关系式，并直接写出的取值范围；
要使每天的利润不低于元，求出的取值范围；

24. 本小题分
    如图，为的直径，是弧的中点，与，分别交于点，
    求证：；
    求证：；

25. 本小题分
    如图，抛物线交轴于、两点，交轴于点，点是线段下方的抛物线上一个动点，过点作轴于点，交线段于点．
    求抛物线的表达式；
    求面积的最大值，并写出此时点的坐标．
    是否存在点，使得与相似，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：如果将小正方体放到小正方体的正上方，则它的主视图会发生改变，俯视图和左视图不变．
故选：．
根据从上面看得到的图形是俯视图，从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，掌握三视图的概念是关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
将抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位，得到抛物线的表达式为，即．
故选：．
先把抛物线化为顶点式的形式，再由二次函数平移的法则即可得出结论．
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知二次函数图象平移的法则“左加右减，上加下减”是解答此题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：画树状图如图：

共有种等可能的结果，两次摸出的球颜色相同有种情况，
两次摸出的球颜色相同的概率为，
故选：．
先画出树形图得到所有等可能的结果数，再由概率公式即可求出两次摸出的球颜色相同的概率．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
函数为常数的图象在第二、四象限内，且在每一象限内随的增大而增大，
，
点，在第二象限，
，
，
点在第四象限，
，

故选：．
先根据反比例函数的解析式判断出反比例函数的图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的值判断出，，的大小关系即可．
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，即反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式，然后利用反比例函数图象的增减性判定出大小关系．
 

5.【答案】 

【解析】解：是的直径，
，
，
．
故选：．
先由圆周角定理得到，再由直角三角形的性质得出，然后由圆周角定理即可得出答案．
本题考查了圆周角定理以及直角三角形的性质；熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：，是反比例函数在第一象限内的图象上的两点，且，两点的横坐标分别是和，
当时，，即，
当时，，即．
如图，过，两点分别作轴于，轴于，则．
，
，
．
故选：．
过，两点分别作轴于，轴于，由反比例函数解析式求得、的坐标，根据反比例函数系数的几何意义得出，由即可求得．
本题考查了反比例函数中的几何意义，即图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积的关系即．
 

7.【答案】 

【解析】解：抛物线开口向上，对称轴为直线，
时，随增大而减小，
．
故选：．
根据抛物线开口方向及对称轴求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数的增减性与对称轴及开口方向的关系．
 

8.【答案】 

【解析】解：二次函数的图象上有且只有，，三点满足，
三点中必有一点在二次函数的顶点上，
，
二次函数的图象的顶点坐标为，
令，则，
解得或，
与轴的交点为，，
，
．
故选：．
由已知条件可判定三点中必有一点在二次函数的顶点上，通过求解二次函数的顶点的坐标及与坐标轴的交点坐标利用三角形的面积公式可求解值．
本题主要考查二次函数的图象与性质，二次函数与坐标轴的交点，二次函数图象上点的坐标的特征，判定，，点的位置是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了圆周角定理以及勾股定理、解直角三角形等知识，正确作出辅助线是解题关键．直接连接，过点作于点，并延长交于点，求出的半径，进而结合勾股定理得出答案．
【解答】
解：连接，过点作于点，并延长交于点，此时点到弦的距离最大，

，，
，，
，
，则的半径为，
，
，
中，，
，
．
故选B．  

10.【答案】 

【解析】解：过点作轴于点，
，
，
，
在与中，

≌
，，
，
，，
，
设反比例函数的解析式为，
将代入，
，
，
把代入，
，
当顶点恰好落在该双曲线上时，
此时点移动了个单位长度，
也移动了个单位长度，
此时点的对应点的坐标为
故选：．
过点作轴于点，易证≌，从而可求出的坐标，进而可求出反比例函数的解析式，根据解析式与的坐标即可得知平移的单位长度，从而求出的对应点．
本题考查反比例函数的综合问题，涉及全等三角形的性质与判定，反比例函数的解析式，平移的性质等知识，综合程度较高，属于中等题型．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
作于，于由，设，，利用勾股定理构建方程求出，再证明，推出，由垂线段最短即可解决问题．
【解答】
解：如图，作于，于．

，
，
，设，，
则有：，
，
或舍弃，
，
，，，
等腰三角形两腰上的高相等
，，
，
，
，
，
，
的最小值为．  

12.【答案】 

【解析】解：顶点的坐标为．
对称轴为，即，也就是；
抛物线与轴的一个交点为，
，将代入得；，即；因此正确；
由得，；
抛物线与轴的交点在点与点之间，
，即：，
，因此正确；
当时，，
当时，，为任意实数，
为顶点坐标，
，即：，因此正确，
，顶点为，
当时，关于的方程有两个相等的实数根，即：，
当时，关于的方程有两个不相等的实数根，
因此不正确；
综上所述，正确的结论有个，
故选：．
根据抛物线开口方向、对称轴、顶点坐标以及与轴的交点坐标，逐个进行判断，最后得出结论．
考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象与、、的关系是解决问题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查同角三角函数的关系，求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值；
根据已知条件设出直角三角形一直角边与斜边的长，再根据勾股定理求出另一直角边的长，运用三角函数的定义解答．
【解答】
解：设角，，的对边分别为，，
由知，可设，
则，．
．
故答案为．  

14.【答案】 

【解析】解：如图，连接，

，
，
与相切，
，
，
．
故答案为：．
连接，先根据圆周角定理得到，再根据切线的性质得，然后利用互余计算的度数．
本题考查了切线的性质，圆周角定理，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：高，，
而、关于轴对称，
点坐标为，
轴，，最低点在轴上，
关于直线对称，
左边抛物线的顶点的坐标为，
右边抛物线的顶点的坐标为，
设右边抛物线的解析式为，
把代入得，解得，
故右边抛物线的解析式为．
故答案为：．
利用、关于轴对称，，可得到点坐标为，由，最低点在轴上，则关于直线对称，可得到左边抛物线的顶点的坐标为，于是得到右边抛物线的顶点的坐标为，然后设顶点式利用待定系数法求抛物线的解析式．
本题考查了二次函数的应用：利用实际问题中的数量关系与直角坐标系中线段对应起来，再确定某些点的坐标，然后利用待定系数法确定抛物线的解析式，再利用抛物线的性质解决问题．
 

16.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了反比例函数系数的几何意义，根据已知条件得到三角形的面积，得到，即可得到结论．
【解答】
解：轴，
，
，
，
函数的图象在第二象限，
，，
故答案为．  

17.【答案】 

【解析】解：如图，作于．

在中，海里，，
，海里，
在中，，海里，
海里，
海里．
故答案为．
如图，作于在中，求出，再在中，利用等腰直角三角形的性质求出即可．
本题考查解直角三角形的应用方向角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题，属于中考常考题型．
 

18.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了认识立体图形，几何体的表面积和找规律，解决此类问题有两种思路，可以从图形找规律，也可以从数字找规律．本题可以从数字找规律，从而计算出所求的表面积．
【解答】
解：第个几何体的表面积，
第个几何体的表面积，
第个几何体的表面积，
因此得出：第个几何体的表面积，
故答案为：．  

19.【答案】解：原式

；
原式

． 

【解析】利用平方公式和特殊角的三角函数值得到原式，然后利用二次根式的性质进行计算；
利用特殊角的三角函数值得到原式，然后利用二次根式的乘法法则运算．
本题考查了同角三角函数的关系：平方关系，即；正余弦与正切之间的关系，即也考查了特殊角的三角函数值和二次根式的混合运算．
 

20.【答案】解：一次函数图象过点，
，解得，
点坐标为，
又反比例函数图象过点，
，
反比例函数解析式为．
，，
，
，
由可知，
点的坐标为或． 

【解析】把点坐标代入一次函数解析式可求得的值，可得到点坐标，再把点坐标代入反比例函数解析式可求得的值，可得到反比例函数解析式．
根据直线的解析式求得的坐标，然后根据三角形的面积求得的长，进而即可求得的坐标．
本题主要考查函数图象的交点及待定系数法求函数解析式，掌握图象的交点的坐标满足两个函数解析式是解题的关键．
 

21.【答案】解：过点作，交于点，
在中，，，，
，
，
在中，，
，
，即，
解得，．
根据勾股定理，得，
．
在中，，，
，，
在直角中，根据勾股定理，得

． 

【解析】过点作，交于点．把构造到了直角三角形中，要求的正切值，只需求得，的长．根据等腰直角三角形的性质可以求得，的长，在直角三角形中，根据，可以求得的长，根据勾股定理进一步求得的长，从而求得的长，在直角中，根据，可以进一步求得的长，根据勾股定理求得的长，即可进行计算．
本题考查了解直角三角形．能够巧妙作垂线，构造直角三角形．根据等腰直角三角形的性质和锐角三角函数的概念和勾股定理可以由已知的线段求得该图中所有的未知线段．
 

22.【答案】解：反比例函数的图象经过点，点的坐标为，
，
反比例函数的解析式为；
如图，过点作轴于点，过点作轴于点，

由题意可知，，，
点的坐标为，
设，则，，
在中，，
解得：，
点的坐标为，
设直线的函数表达式为，直线过点，，

解得
直线的解析式为，
根据题意得方程组
解此方程组得或
点在第一象限，
点的坐标为 

【解析】本题考查了反比例函数图象上的点的特点、待定系数法确定反比例函数的解析式、菱形的性质等知识，解题的关键是能够根据点的坐标确定点的坐标，从而确定直线的解析式．
将点的坐标代入到反比例函数的一般形式后求得值即可确定函数的解析式；
过点作轴于点，过点作轴于点，首先求得点的坐标，然后求得直线的解析式，求得直线和双曲线的交点坐标即可．
 

23.【答案】解：由题意得，，且为整数，
与之间的函数关系式是，且为整数；
当时，，
解得：，，
要使，则，
，
，
即的取值范围是：． 

【解析】根据题意和表格中的数据，可以写出与之间的函数关系式，并直接写出的取值范围；
根据利润解出，再根据函数的性质求出的取值范围．
本题考查二次函数的应用、解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
 

24.【答案】证明：是弧的中点，

，

圆心角定理，
，
．
证明：是弧的中点，
，
在和中，

，
∽，

，
即分证明：为弧的中点，为的半径
即
又为的直径，
证明：为弧的中点

∽即 

【解析】由题意根据圆周角定理及圆心角定理推出，从而证明；
先根据圆周角定理得出，从而推出∽，利用相似三角形的性质证明；
本题考查圆的综合运用，解题的关键是根据圆周角定理和圆心角定理推出两组相似三角形∽、∽，利用相似三角形的性质进行证明与求解．
 

25.【答案】解：将点、的坐标代入抛物线表达式得，解得，
故抛物线的表达式为；

令，解得或，故点，
由点、的坐标得，直线的表达式为，
设点，则点，
则面积，
，故面积存在最大值，此时，面积最大值为，
故点的坐标为；

存在，理由：
设点，由抛物线的表达式知，点，则，
当为直角时，
与相似，则，
轴，则点、关于函数的对称轴对称，
抛物线的对称轴为，则点；
当为直角时，
如下图，过点作轴于点，

，，
，
，即，
则，解得舍去或，
故点的坐标为，
故点的坐标为或 

【解析】用待定系数法即可求解；
面积，即可求解；
当为直角时，则，则轴，进而求解；当为直角时，证明，则，即可求解．
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、解直角三角形、面积的计算等，其中，要注意分类求解，避免遗漏．