2021-2022学年安徽省宿州市埇桥区九年级（上）期末数学试卷（含解析）

2021-2022学年安徽省宿州市埇桥区九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本题共10小题，共40分）

1. 已知，，，是成比例线段，其中，，，则的长度为(    )

A.  B.  C.  D.

2. 在平面直角坐标系中，对于横、纵坐标相等的点称为“好点”下列函数的图象中不存在“好点”的是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 如图，在平面直角坐标中，点的坐标为，则射线与轴正方向所夹锐角的余弦值为(    )

A.
B.
C.
D.

4. 正方形的对角线相交于点，正方形与正方形的边长相等．在正方形绕点旋转的过程中，两个正方形重叠部分的面积是，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

5. 图是图中长方体的三视图，若用表示面积，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

6. 已知是关于的一元二次方程的一个根，则该方程的另一个根为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 已知四边形是平行四边形，，相交于点，下列结论错误的是(    )

A. ，
B. 当时，四边形是菱形
C. 当时，四边形是矩形
D. 当且时，四边形是正方形

8. 关于反比例函数的图象，下列说法中，错误的是(    )

A. 点在它的图象上 B. 图象位于第二、四象限
C. 图象的两个分支关于原点对称 D. 的值越大，图象越接近轴

9. 二次函数的图象如图所示，下列结论：
   ；
   ；
   ；
   当时，随的增大而减小．
   其中正确的有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

10. 如图，在与中，，，连接、，若：：，则：为(    )
     

A. ： B. ： C. ： D. ：

二、填空题（本题共4小题，共20分）

11. 已知：，则锐角的度数为______．
12. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是          ．
13. 如图，表示一个窗户的高，和表示射入室内的光线，窗户的下端到地面的距离已知某一时刻在地面的影长，在地面的影长，则窗户的高度为______

14. 如图，将矩形纸片沿过点的直线折叠，使得点落在矩形内点处，折痕为．
    点恰好为中点时，的值为______；
    点在上且、、在同一条直线上时，的值为______．

三、解答题（本题共9小题，共90分）

15. 计算：
16. 反比例函数的图象经过点．
    求这个函数的解析式；
    请判断点是否在这个反比例函数的图象上，并说明理由．
17. 已知，在平面直角坐标系的位置如图所示，点，，的坐标分别为，，与是以点为位似中心的位似图形．
    请画出点的位置，并写出点的坐标______；
    以点为位似中心，在轴左侧画出的位似图形，使相似比为：，若点为内一点，则点在内的对应点的坐标为______．

18. 小颖和小亮都想去观看“垃圾分类”宣传演出，但只有一张入场券，于是他们设计了一个“配紫色”游戏：，是两个可以自由转动的转盘，每个转盘都被分成面积相等的几个扇形．同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么可以配成紫色．若配成紫色，则小颖去观看，否则小亮去观看．这个游戏对双方公平吗？请说明理由．

19. 已知：为的中线，是的中线，．
    判断与是否相似并说明理由；
    求证：．

20. 某无人机兴趣小组在操场上开展活动如图，此时无人机在离地面米的处，无人机测得操控者的俯角为，测得点处的俯角为又经过人工测量操控者和教学楼距离为米，求教学楼的高度．注：点，，，都在同一平面上．参考数据：，，

21. 二次函数的图象与轴交于点．
    求出的值，并求它与轴的交点和抛物线顶点的坐标；
    取什么值时，抛物线在轴上方？
    将该抛物线先向右平移个单位，再向下平移个单位，请直接写出所得新抛物线的表达式．
22. 因疫情防控需要，消毒用品需求量增加．某药店新进一批桶装消毒液，每桶进价元，每天销售量桶与销售单价元之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
    求与之间的函数表达式；
    每桶消毒液的销售价定为多少元时，药店每天获得的利润最大，最大利润是多少元？利润销售价进价销售量
     
23. 已知，在矩形中，连接，过点作，交于点，交于点．
    
    如图，若．
    求证：；
    连接，求证：．
    如图，若，求的值．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：因为，，，是成比例线段，
可得：，
故选A
由、、、四条线段是成比例的线段，根据成比例线段的定义计算即可．
此题考查了成比例线段的定义．此题比较简单，解题的关键是注意掌握比例线段的定义．
 

2.【答案】 

【解析】解：横、纵坐标相等的点称为“好点”，
当时，
A.，解得，不符合题意，
B.，此方程无解，符合题意，
C.，解得，不符合题意，
D.，解得，，不符合题意，
故选：．
根据横纵、坐标相等的点称为“好点”，即当时，将函数解析式变为方程，方程有解即可进行判断．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征、反比例函数图象上点的坐标特征，解决本题的关键是掌握每个函数的性质．
 

3.【答案】 

【解析】解：如图，过作轴于，
，
，，
由勾股定理得：，
的余弦值是．
故选：．
过作轴于，根据勾股定理求出，根据锐角三角函数的定义求解即可．
本题考查了勾股定理和锐角三角函数的定义的应用，主要考查学生的计算能力．
 

4.【答案】 

【解析】解：设交于，交于，如图：

四边形和四边形都是正方形，
，，，
．
在与中，
，
≌，
与面积相等，
两个正方形重叠部分即四边形的面积等于的面积，
两个正方形重叠部分的面积是，
的面积是，
正方形的面积为，
，
故选：．
证明≌，从而可得的面积是，即可得到答案．
本题考查正方形的旋转变换，解题的关键是证明≌，利用全等三角形性质解决问题．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了由三视图判断几何体，正确得出俯视图的边长是解题关键．
直接利用已知视图的边长结合其面积得出另一边长，即可得出俯视图的边长进而得出答案．
【解答】
解：，，
．
故选：．  

6.【答案】 

【解析】解：设该方程的另一个根为，
根据根与系数的关系，得，
解得，
即该方程的另一个根为．
故选：．
设该方程的另一个根为，则根据根与系数的关系得，然后解一次方程即可．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了正方形的判定，矩形的判定、平行四边形的性质及菱形的判定方法，牢记判定方法是解答本题的关键．
根据正方形的判定，矩形的判定、菱形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】
解：、根据平行四边形的性质得到，，该结论正确，此选项不符合题意；
B、当时，四边形还是平行四边形，原来的结论错误，此选项符合题意；
C、根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可以判断原来的结论正确，此选项不符合题意；
D、当且时，根据对角线相等可判断四边形是矩形，根据对角线互相垂直可判断四边形是菱形，故四边形是正方形，该结论正确，此选项不符合题意；
故选B．  

8.【答案】 

【解析】解：当时，．
故A正确．
．
反比例函数的图像在第二、四象限．
故B正确．
反比例函数的图像关于原点对称．
故C正确．
在第二象限，越大，图像越远离轴．
故D错误．
故选：．
利用反比例函数的性质排除即可．
本题考查反比例函数的性质，理解记忆反比例函数的图像与性质是求解本题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：抛物线开口向上，且与轴交于负半轴，
，，
，故结论正确；
抛物线的对称轴为直线，
，
，
抛物线经过点，
，
，即，故结论正确；
抛物线与轴有两个交点，
，即，故结论正确；
抛物线开口向上，且抛物线的对称轴为直线，
当时，随的增大而减小，故结论错误；
故选B．
本题主要考查二次函数的性质，以及二次函数图象与系数的关系．
 

10.【答案】 

【解析】解：，，
∽，
，，
，
即，
，
∽，
，
：：，，
：：：：，
：：，
故选：．
根据相似三角形的判定得出与相似，利用相似三角形的性质得出，进而证明与相似，利用相似三角形的性质解答即可．
此题考查相似三角形的判定和性质，关键是根据相似三角形的判定得出与相似．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
，
锐角的度数为．
故答案为：．
直接利用特殊角的三角函数值得出答案．
此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：原方程可变形为．
该方程有实数根，
，
解得：．
故答案为：．
将原方程变形为一般式，根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围利用偶次方的非负性也可以找出的取值范围．
本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有实数根”是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
∽，
，
，，，
，
，
，
答：窗户的高度是．
故答案为：．
阳光可认为是一束平行光，由光的直线传播特性可知透过窗户后的光线与仍然平行，由此可得出一对相似三角形，由相似三角形性质可进一步求出的长，即窗户的高度．
本题考查相似三角形性质的应用．解题的关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例，建立适当的数学模型来解决问题．
 

14.【答案】  

【解析】解：四边形是矩形，
，
点恰好为中点时，，则，
由题意知，，
，
，
和的高都是，
设，
，
故答案为：；
点在上，且、、在同一直线上时，设，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得：，
，
．
故答案为：．
根据三角形的面积推出边的比即可得到结果；
根据余弦的定义和勾股定理即可得到结果．
此题主要考查了矩形的性质及勾股定理，结合余弦的定义计算是解决此题关键．
 

15.【答案】解：原式


． 

【解析】原式利用特殊角的三角函数值，以及绝对值的代数意义计算即可求出值．
此题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

16.【答案】解：把代入中得
，
，
函数的解析式是；
把代入中得，
点在此函数的图象上． 

【解析】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式、反比例函数图象上点的坐标特征．此题比较容易掌握．
先把点的坐标代入反比例函数中，求出，即可求出函数解析式；
再把点的横坐标代入反比例函数的解析式，可求出，若的值与点的纵坐标相等，则说明在函数的图象上，否则就不在函数图象上．
 

17.【答案】   

【解析】解：如图所示：点；

如图所示：即为所求，点对应点的坐标为：．
故答案为：；．
直接利用位似图形的性质得出位似中心的位置；
直接利用位似图形的性质得出对应点坐标即可．
此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．
 

18.【答案】解：用列表法表示所有可能出现的结果如下：

共有种可能出现的结果，其中配成紫色的有种，配不成紫色的有种，
，
，
因此游戏是公平的． 

【解析】用列表法表示所有可能出现的结果情况，进而求出小亮、小颖去的概率，进而判断游戏是否公平．
本题考查列表法或树状图法求随机事件的发生的概率，列举出所有可能出现的结果数，是解决问题的前提．
 

19.【答案】解：为的中线，是的中线，
，，
，；
又，
，，
，，
∽；

证明：由知，∽，
，
． 

【解析】根据“两边及其夹角法两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似推知与相似；
利用中相似三角形的对应边成比例证明该结论．
本题考查了相似三角形的判定与性质．相似三角形相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．
 

20.【答案】解：过点作于点，过点作于点．

由题意得，，，，．
在中，，
．

，

四边形是矩形，
．
在中，，
．

答：教学楼高约米． 

【解析】作于点，作于点，由求得，由知，再根据四边形是矩形知由知，从而得．
此题主要考查了解直角三角形的应用，利用数形结合以及锐角三角函数关系求解是解题关键．
 

21.【答案】解：二次函数的图象与轴交于点，则，
故抛物线的表达式为，
，
抛物线的顶点坐标为；
令，
解得或，
故抛物线与轴的交点坐标为或；
由函数的性质知，当时，抛物线在轴的上方；
把的图象先向右平移个单位，再向下平移个单位得到的抛物线解析式为，
即． 

【解析】二次函数的图象与轴交于点，则，进而得出抛物线解析式，再化为顶点式，求出顶点坐标，再令，解方程即可；
由函数的性质知，当时，抛物线在轴的上方；
根据平移的性质得出新抛物线的解析式．
本题考查的是抛物线与轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，二次函数的结合变换，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
 

22.【答案】解：设与销售单价之间的函数关系式为：，
将点、代入一次函数表达式得：，
解得：，
故函数的表达式为：；
设药店每天获得的利润为元，由题意得：
，
，函数有最大值，
当时，有最大值，此时最大值是，
故销售单价定为元时，该药店每天获得的利润最大，最大利润元． 

【解析】本题主要考查了二次函数的应用以及用待定系数法求一次函数解析式等知识，正确利用销量每件的利润总利润得出函数关系式是解题关键．
设与之间的函数表达式为，将点、代入一次函数表达式，即可求解；
根据总利润每桶的利润销售量得到关于的二次函数，根据二次函数的性质即可求解．
 

23.【答案】解：在矩形中，
．
．
，

．
，
，
．
，
，
即．
如图，延长，交于点．
在矩形中，
．
．
在和中，
，
≌．
．
中，
．
，
．
．

在矩形中，
，
，
，
，
，
，
，
，
且，
∽，
，
且，，
，
．
，
设，
则．
解得或舍．
．
故答案为：． 

【解析】根据图形特征及已知证得，再由，的值，推导，从而得到；
延长，交于点，由全等三角形推得是的中点，在中，，再由即可得出结论；
根据条件推出∽，得到由及建立关于的方程，求解的值即可．
本题综合考查了解直角三角形、矩形的性质、相似三角形、实数的运算等知识，综合性较强，灵活运用知识才能很好解决问题．