《高考数学二轮满分突破讲义》专题二 第2讲 向量共线定理的应用

第2讲　向量共线定理的应用

向量共线定理可以解决一些向量共线，点共线问题，也可由共线求参数；对于线段的定比分点问题，用向量共线定理求解则更加简洁．

例1　(1)若点M是△ABC所在平面内一点，且满足|3－－|＝0，则△ABM与△ABC的面积之比等于(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　C

解析　∵|3－－|＝0，∴3－－＝0，∴＋＝3.

设BC的中点为G，则＋＝2，

∴3＝2，即＝，

∴点M在线段AG上，且＝.

∴＝＝，易得＝＝，

∴＝·＝×＝，

即△ABM与△ABC的面积之比等于.

(2)在△ABC中，＝，P是BN上的一点，若＝m＋，则实数m的值为________．

答案　

解析　方法一　∵B，P，N三点共线，

∴∥，∴存在实数λ，使得＝λ(λ>0)，

∴－＝λ(－)，

∵λ>0，∴＝ ＋.

∵＝，＝m＋，

∴＝m＋，

∴解得

方法二　∵＝，＝m＋，

∴＝m＋.

∵B，P，N三点共线，∴m＋＝1，∴m＝.

例2　(1)(2020·河北省石家庄一中质检)在△ABC中，D 为线段AC的中点，点E在边BC上，且BE＝EC，AE与BD交于点O，则等于(　　)

A.＋   B.＋

C.＋   D.＋

答案　A

解析　如图，设＝λ(λ>0)，

又＝＋＝＋，

∴＝λ＋λ＝λ＋λ.

又B，O，D三点共线，∴λ＋λ＝1，

∴λ＝，∴＝＋.

(2)在△ABC中，过中线AD的中点E任作一直线分别交AB，AC于M，N两点，设＝x， ＝y(xy≠0)，则4x＋y的最小值是________．

答案　

解析　由D为BC的中点知，＝＋，

又＝x，＝y(xy≠0)，E为AD的中点，

故＝＝＋，

∵M，E，N三点共线，∴＋＝1，

∴4x＋y＝(4x＋y)＝＋＋

≥2＋＝，

当且仅当＝，即x＝，y＝时取等号．

∴4x＋y的最小值为.

(1)若＝λ＋μ(λ，μ为常数)，则A，B，C三点共线的充要条件是λ＋μ＝1.

(2)使用条件“两条线段的交点”时，可转化成两次向量共线，进而确定交点位置．

1.如图，△ABC中，AD＝DB，AE＝EC，CD与BE交于点F，设＝a，＝b，＝xa＋yb，则(x，y)等于(　　)

A.   B.

C.   D.

答案　C

解析　由题意得，＝xa＋yb＝x＋2y，

∵B，F，E三点共线，∴x＋2y＝1，①

同理，＝2x＋y，

∵D，F，C三点共线，∴2x＋y＝1，②

由①②得x＝y＝，∴(x，y)＝.

2．(2020·河北省石家庄二中调研)已知在△ABC中，AB＝AC＝3，D为边BC上一点，·＝6，·＝，则·的值为________．

答案　

解析　∵D为边BC上一点，可设＝λ，

∴＝＋B＝(1－λ)＋λ.

∴

①＋②得，9＋·＝，

∴·＝.

3．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，AD＝AB＝4，CD＝1，动点P在边BC上，且满足＝m＋n(m，n均为正实数)，则＋的最小值为________．

答案　

解析　设＝a，＝b，则＝＋＋＝－a＋b＋b＝－a＋b.

设＝λ，则＝＋＝a＋λb.

因为＝ma＋nb，所以1－λ＝m，λ＝n，

消去λ得m＋n＝1，

＋＝＝1＋＋＋≥＋2＝，

当且仅当m＝4－2，n＝－4时等号成立．

所以＋的最小值为.