《高考数学二轮满分突破讲义》专题二 第4讲 平面向量“奔驰定理”

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第4讲　平面向量“奔驰定理”定理：如图，已知P为△ABC内一点，则有S△PBC·＋S△PAC·＋S△PAB·＝0.由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”．这个定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用．例　(1)已知点A，B，C，P在同一平面内， ＝，＝， ＝，则S△ABC∶S△PBC等于(　　)A．14∶3  B．19∶4  C．24∶5  D．29∶6答案　B解析　由＝，得－＝(－)，整理得＝＋＝＋，由＝，得＝(－)，整理得＝－，∴－＝＋，整理得4＋6＋9＝0，∴S△ABC∶S△PBC＝(4＋6＋9)∶4＝19∶4.(2)已知点P，Q在△ABC内，＋2＋3＝2＋3＋5＝0，则等于(　　)A.  B.  C.  D.答案　A解析　根据奔驰定理得，S△PBC∶S△PAC∶S△PAB＝1∶2∶3，S△QBC∶S△QAC∶S△QAB＝2∶3∶5，∴S△PAB＝S△QAB＝S△ABC，∴PQ∥AB，又∵S△PBC＝S△ABC，S△QBC＝S△ABC，∴＝－＝.(3)过△ABC重心O的直线PQ交AC于点P，交BC于点Q， ＝， ＝n，则n的值为________．答案　解析　因为O是重心，所以＋＋＝0，即＝－－，＝⇒－＝(－)⇒ ＝＋＝－－，＝n⇒－＝n(－)⇒＝n＋(1－n) ，因为P，O，Q三点共线，所以∥，所以－(1－n)＝－n，解得n＝. “奔驰定理”与三角形“四心”：已知点O在△ABC内部，有以下四个推论：(1)若O为△ABC的重心，则＋＋＝0.(2)若O为△ABC的外心，则sin 2A·＋sin 2B·＋sin 2C·＝0.(3)若O为△ABC的内心，则a·＋b·＋c·＝0.备注：若O为△ABC的内心，则sin A·＋sin B·＋sin C·＝0也对．(4)若O为△ABC的垂心，则tan A·＋tan B·＋tan C·＝0. 1．点P在△ABC内部，满足＋2＋3＝0，则S△ABC∶S△APC为(　　)A．2∶1  B．3∶2  C．3∶1  D．5∶3答案　C解析　根据奔驰定理得，S△PBC∶S△PAC∶S△PAB＝1∶2∶3.∴S△ABC∶S△APC＝3∶1.2．点O为△ABC内一点，若S△AOB∶S△BOC∶S△AOC＝4∶3∶2，设＝λ＋μ，则实数λ和μ的值分别为(　　)A.，  B.，  C.，  D.，答案　A解析　根据奔驰定理，得3＋2＋4＝0，即3＋2(＋)＋4(＋)＝0，整理得＝＋，故选A.3.设点P在△ABC内且为△ABC的外心，∠BAC＝30°，如图．若△PBC，△PCA，△PAB的面积分别为，x，y，则x＋y的最大值是________．答案　解析　根据奔驰定理得，＋x＋y＝0，即＝2x＋2y，平方得2＝4x22＋4y22＋8xy| |·||·cos∠BPC，又因为点P是△ABC的外心，所以| |＝||＝||，且∠BPC＝2∠BAC＝60°，所以x2＋y2＋xy＝，(x＋y)2＝＋xy≤＋2，解得0<x＋y≤，当且仅当x＝y＝时取等号．所以(x＋y)max＝.