《高考数学二轮满分突破讲义》专题六 第2讲 隐圆问题

第2讲　隐圆问题

隐圆问题近几年在各地模考和高考的填空题和解答题中都出现过，难度为中、高档题．在题设中没有明确给出圆的相关信息，而是隐含在题目中的，要通过分析、转化，发现圆(或圆的方程)，从而最终利用圆的知识来求解，我们称这类问题为“隐圆”问题．

例1　(1)已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m,0)，B(m,0)，且m>0.若圆C上存在一点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值是(　　)

A．7  B．6  C．5  D．4

答案　B

解析　如图所示，圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1的半径为1，|OC|＝5，所以圆C上的点到点O距离的最大值为6，最小值为4，由∠APB＝90°可得，以AB为直径的圆和圆C有交点，连接OP，故|PO|＝|AB|＝m，故4≤m≤6.所以m的最大值是6.

(2)在平面直角坐标系xOy中，圆x2＋y2＝1交x轴于A，B两点，且点A在点B的左侧，若直线x＋y＋m＝0上存在点P，使得|PA|＝2|PB|，则m的取值范围为________．

答案　

解析　由题意得A(－1,0)，B(1,0)，设P(x，y)，

则由|PA|＝2|PB|，得

＝2，

即2＋y2＝，

因此圆2＋y2＝与直线x＋y＋m＝0有交点，即 ≤，解得－≤m≤1.

故m的取值范围为.

例2　(1)在平面直角坐标系xOy中，点A(－12,0)，B(0,6)，点P在圆O：x2＋y2＝50上，若·≤20，则点P的横坐标的取值范围是(　　)

A．[0，]   B．[－5，1]

C．[－，]   D．[－2,0]

答案　B

解析　设P(x，y)，由·≤20可得

(x＋6)2＋(y－3)2≤65，

则点P为圆O在圆(x＋6)2＋(y－3)2＝65内部及其上的点，

联立解得或

结合图形(图略)可知－5≤x≤1.

(2)已知等边三角形ABC的边长为2，点P在线段AC上，若满足·－2λ＋1＝0的点P恰有两个，则实数λ的取值范围是________．

答案　

解析　如图，以AB的中点O为坐标原点，AB所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(－1,0)，B(1,0)，设P(x，y)，则·－2λ＋1＝0，即为(－1－x)(1－x)＋y2－2λ＋1＝0，化简得x2＋y2＝2λ(λ>0)，故所有满足·－2λ＋1＝0的点P在以O为圆心，为半径的圆上．过点O作OM⊥AC，垂足为点M，由题意知，线段AC与圆x2＋y2＝2λ有两个交点，所以|OM|<≤|OA|，即<≤1，解得<λ≤.

发现隐圆的方法

(1)利用圆的定义或圆的几何性质确定隐圆．

(2)在平面上给定相异两点A，B，设点P在同一平面上且满足|PA|＝λ|PB|，当λ>0且λ≠1时，点P的轨迹是个圆，这个圆我们称作阿波罗尼斯圆．

(3)两定点A，B，动点P满足·＝λ，确定隐圆．

(4)两定点A，B，动点P满足|PA|2＋|PB|2是定值，确定隐圆．

1．已知圆O：x2＋y2＝1，圆M：(x－a)2＋(y－2)2＝2.若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得PA⊥PB，则实数a的取值范围为(　　)

A．[0，]   B．[－5，1]

C．[－，]   D．[－2,2]

答案　D

解析　由题意可知四边形PAOB为正方形，|OP|＝，

∴点P在以O为圆心，以为半径的圆上，

又P也在圆M上，∴|OM|≤2，

∴a2＋4≤8，∴－2≤a≤2.

2．已知圆O：x2＋y2＝5，A，B为圆O上的两个动点，且|AB|＝2，M为弦AB的中点，C(2，a)，D(2，a＋2)．当A，B在圆O上运动时，始终有∠CMD为锐角，则实数a的取值范围为__________________．

答案　(－∞，－2)∪(0，＋∞)

解析　由题意得|OM|＝＝2，所以点M在以O为圆心，半径为2的圆上．设CD的中点为N，则N(2，a＋1)，且|CD|＝2.因为当A，B在圆O上运动时，始终有∠CMD为锐角，所以以O为圆心，半径为2的圆与以N(2，a＋1)为圆心，半径为1的圆外离，所以>3，整理得(a＋1)2>1，解得a<－2或a>0，所以实数a的取值范围为(－∞，－2)∪(0，＋∞)．

3．已知圆C：(x－2)2＋y2＝2，直线l：y＝k(x＋2)与x轴交于点A，过l上一点P作圆C的切线，切点为T，若|PA|＝|PT|，则实数k的取值范围是______________．

答案　

解析　由题意知A(－2,0)，C(2,0)，设P(x，y)，

则由|PA|＝|PT|，得|PA|2＝2|PT|2＝2(|PC|2－2)，

故(x＋2)2＋y2＝2[(x－2)2＋y2－2]，

化简得(x－6)2＋y2＝36，

所以满足|PA|＝|PT|的点P在以(6,0)为圆心，6为半径的圆上，

由题意知，直线y＝k(x＋2)与圆(x－6)2＋y2＝36有公共点，所以d＝≤6，解得－≤k≤.

4．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：(x－a)2＋(y－a＋2)2＝1，点A(0,2)，若圆C上存在点M，满足|MA|2＋|MO|2＝10，则实数a的取值范围是________．

答案　[0,3]

解析　设M(x，y)，由|MA|2＋|MO|2＝10，

可得x2＋(y－1)2＝4，

∴M点在圆x2＋(y－1)2＝4上，

故圆x2＋(y－1)2＝4和圆(x－a)2＋(y－a＋2)2＝1相交或相切，∴1≤≤3，∴0≤a≤3.