《高考数学二轮复习培优》第02讲函数的奇偶性单调性周期性综合

第二讲 函数的奇偶性单调性周期性综合

A组

一、选择题

1．（2018年全国卷Ⅱ理科）已知是定义域为的奇函数，满足．若，则（   ）

A．           B．0       C．2      D．50

【答案】C

【解析】是定义域为的奇函数，且

2．(2017年高考全国1卷理)函数在单调递减，且为奇函数．若，则满足的的取值范围是(     )

A．   B．    C．    D．

【答案】D

【解析】由已知，使成立的满足，所以由得，即使成立的满足，选D.

3．已知函数的定义域为,当时,, 当时,, 当时,, 则（   ）

A．                B．               

C．               D．

【答案】A

【解析】

，故选A.

4．定义在上的函数满足．当时，，当时，，则的值为（    ）

A.336       B.337       C.1676      D.2017

【答案】B

【解析】

函数的周期,所以，，，，，即，，所以，故选B.

5．已知是定义在R上周期为2的奇函数，当时，， 则（   ）

A．1            B．-1           

C．          D．

【答案】B

【解析】

是定义在上的周期为的奇函数，所以，故选B.

6．已知函数的周期为2，当时，那么函数的图象与函数的图象的交点共有（   ）

A．10个     B．9个    C．8个    D．1个

【答案】A

【解析】

作图如下，由图可得函数的图象与函数的图象的交点共有，故选A.

7．已知函数的定义域为.当时， ；当 时，；当时， ，则=（    ） 

A．-2             B．-1             C．0            D．2

【答案】D

【解析】

因为当时，，所以当时，函数是周期为1的周期函数，所以，又因为当时，，所以，故选D．

8．已知定义在上的函数满足，，则（   )

A．      B．       C．        D．

【答案】B

【解析】

，且，又，，由此可得，，是周期为的函数，，，故选B.

9．已知在R上是奇函数，且满足，当时，，则（   ）

A．            B．         C．             D．

【答案】A

【解析】

因为，所以，的周期为，因此 ，故选A．

10．定义在上的函数满足时，，则的值为（   ）

A.-2        B.0         C.2        D.8

【答案】A

【解析】

由已知可得的周期

，故选A.

11．已知函数的定义域为,当时,, 当时,, 当时,, 则（   ）

A．                B．                C．               D．

【答案】A

【解析】

当时,,所以选A.

12．已知在R上是奇函数，且满足，当时，，则（   ）

A．-12                   B．-16               C．-20             D．0

【答案】A

【解析】

，，又，所以.

13．已知定义在上的奇函数满足，且，则（   ）

A．0               B．-1                 C．1               D．2

【答案】B

【解析】

因为，则，所以函数的周期为．，，则，又函数为奇函数且，所以，，所以，选B．

二、填空题

14．已知的定义域为，且对一切正实数x，y都成立，若，则_______。

【答案】1

【解析】 在条件中，令，得，

，又令， 得，

15．定义在上的奇函数，对于，都有，且满足，，则实数的取值范围是         .

【答案】或

【解析】

由，因此函数图象关于直线对称，又是奇函数，因此它也是周期函数，且，∵，∴，∴，即，解得.

16．已知是定义在R上的函数，且满足：，，则的值为              ；

【答案】2018

【解析】紧扣已知条件，并多次使用，发现是周期函数，显然，

于是，

 所以，故是以8为周期的周期函数，

从而；

17．对于函数,给出下列命题：① 在同一直角坐标系中, 函数与的图象关于直线对称；

②若,则函数的图象关于直线对称；

③若,则函数是周期函数；

④若,则函数的图象关于对称.

其中所有正确命题的序号是         ．

【答案】③④

【解析】

很明显①不满足题意；②不满足题意；③由可得知周期为的周期函数；④由得可知函数是奇函数，则图象关于对称，符合题意．故③④正确．

18．有下列4个命题:

①若函数定义域为R,则是奇函数;

②若函数是定义在R上的奇函数,,,则图像关于对称;

③已知和是函数定义域内的两个值,若,则在定义域内单调递减;

④若是定义在R上的奇函数, 也是奇函数,则是以4为周期的周期函数．

其中,正确命题是              （把所有正确结论的序号都填上）．

【答案】①④

【解析】

①所以函数是是奇函数，②若图像关于对称则应有，由可得所以不一定成立，③值的取法应该是任意的，④因为是定义在R上的奇函数, 也是奇函数,

所以由可得，将代入可得即，所以是以4为周期的周期函数；故填①④．

三、解答题

19．已知函数．

（1）若，求实数的取值范围；

（2）若是以2为周期的偶函数，且当时，有，当时，求函数的解析式．

【解析】

（1）由得，

由，得，

因为，所以，

解得，由，得．

所以实数的取值范围是．

（2）依题意得，当时，，因此.

B组

一、选择题

1．已知定义在上的函数满足：的图象关于点对称，且当时恒有，当时，，则（   ）

A．                   B．                   

C．                  D．

【答案】A

【解析】

的图象关于点对称，则关于原点对称. 当时恒有即函数的周期为.所以.

2．已知定义在上的函数的图像关于轴对称，且满足，若当时，，则的值为（     ）

A．3      B．     C．     D．

【答案】D

【解析】

定义在上的函数的图像关于轴对称，所以函数该函数是偶函数，满足函数满足，所以该函数的周期是2，，，的若当时，则,故选D．

3．已知函数是定义在上的偶函数，若对任意，都有，且当时，，则下列结论不正确的是（   ）

A.函数的最小正周期为                

B.

C.                              

D.函数在区间上单调递减

【答案】B

【解析】

因为函数是定义在上的偶函数， 所以，可得函数的最小正周期为，A正确；，C正确；而，B错；故选B.

4．函数对于任意实数满足条件，若，则（   ）

A．                      B．                        C．                       D．

【答案】D

【解析】

由题意得,，则，那么故选D．

5．若是R上周期为5的奇函数，且满足（     ）

A．        B．          C．        D．

【答案】A

【解析】

由题意，得，则；故选A．

6．已知定义在实数集上的函数满足：① ；②；③当时，，则、、满足（  ）

A．   B．

C．   D．

【答案】D

【解析】

由可得,即函数是周期为的周期函数且函数在区间上是单调递增,由题设可得,故应选D．

7．函数的定义域为，以下命题正确的是（    ）

①同一坐标系中，函数与函数的图象关于直线对称；

②函数的图象既关于点成中心对称，对于任意，又有，则的图象关于直线对称；

③函数对于任意，满足关系式，则函数是奇函数.

A．①②      B．①③        C．②③       D．①②③

【答案】

【解析】

①正确，因为函数与关于轴对称，而和都是与向右平移1个单位得到的，所以关于直线对称；②正确，因为函数关于点成中心对称，所以，而，所以，即，又根据，可得函数的周期,又有，所以，所以函数关于直线对称；③正确，因为，所以函数关于点对称，而函数是函数向左平移3个单位得到，所以函数是奇函数.故3个命题都正确，故选D.

8．已知定义在上的函数满足条件，且函数为奇函数，则下面给出的命题中错误的是（   ）

A．函数是周期函数，且周期T=3     B．函数在上有可能是单调函数

C．函数的图像关于点对称    D．函数是偶函数

【答案】B

【解析】

对于A：∵∴函数是周期函数且其周期为3，A对；对于B：由D得：∵偶函数的图象关于轴对称，∴在R上不是单调函数，B不对．对于C：∵是奇函数∴其图象关于原点对称，又∵函数的图象是由向左平移个单位长度得到，∴函数的图象关于点对称，故C对；对于D：由C知，对于任意的，都有，用换，可得：，∴对于任意的都成立，令，则，∴函数是偶函数，D对．故选：B．

9．定义在实数集上的函数满足，.现有以下三种叙述：①是函数的一个周期；②的图象关于直线对称；③是偶函数.其中正确的是（   ）

A．②③      B. ①②      C．①③       D. ①②③

【答案】D

【解析】

由可得，用代替可得，联立可得，所以是以为最小正周期的函数，所以是它的一个周期；在中用代替可得，所以其图象关于直线对称；

10．已知函数对任意都有，的图象关于点对称，且，则（   ）

A．0         B．-16       C．-8        D．-4

【答案】D

【解析】

因为的图象关于点对称，所以函数的图像关于点对称，即函数是奇函数，令，得，

即，解得，

即，等价于，所以函数的周期,那么，故选D.

二、填空题

11.已知函数是定义域为R的偶函数，时，是增函数，若，，且，则的大小关系是_______。

【答案】

【解析】分析：且，

 又时，是增函数，是偶函数，

 ，故

12．已知，有下列4个命题：

①若，则的图象关于直线对称；

②与的图象关于直线对称；

③若为偶函数，且，则的图象关于直线对称；

④若为奇函数，且，则的图象关于直线对称.

其中正确的命题为         .（填序号）

【答案】①②③④

【解析】

利用奇偶函数的定义和性质，得与的关系，再利用函数图象关于直线对称的条件可以探讨各命题是否正确．因为，令，所以函数的图象自身关于直线对称,①对.因为的图象向右平移个单位，可得的图象，将的图象关于轴对称得的图象，然后将其图象向右平移个单位得的图象，所以的图象关于直线对称,②对．因为，所以，因为为偶函数，，所以，所以的图象自身关于直线对称,③对．因为为奇函数，且，所以，故的图象自身关于直线对称,④对．

13．设偶函数对任意，都有，且当时，，则的值是____________．

【答案】

【解析】

因为所以的周期

三、解答题

14．设是定义在上的奇函数，且对任意实数，恒有．当时，．

（1）求证：是周期函数；

（2）当时，求的解析式；

（3）计算．

【解析】

（1），，是周期为的周期函数．

（2）当时，，由已知得．

又是奇函数，，，

又当时，，，

又是周期为的周期函数，

，

从而求得时，．

（3），又是周期为的周期函数，

又，

．

C组

一、选择题

1．定义在上的偶函数满足，且在上为增函数，，，，则下列不等式成立的是（    ）

A．      B．        C．        D．

【答案】B

【解析】

因为定义在上的偶函数在上为增函数，所以在上单调递减，又，所以，又，所以．

2．定义在上的函数满足下列三个条件： ①； ②对任意，都有；③的图像关于轴对称．则下列结论中正确的是（   ）

A．    

B．  

C．      

D．

【答案】D

【解析】

先由，得函数周期为6，得到；再利用的图象关于轴对称得到的图象关于轴对称，进而得到；最后利用条件（2）得出

因为，

所以；

即函数周期为6，故；

又因为的图象关于y轴对称，

所以的图象关于x=3对称，

所以；

又对任意，都有；

所以．

故选D．

3．定义在R上的函数的图象关于点成中心对称，对任意的实数都有，且则的值为（  ）

A．       B．       C．      D．

【答案】B

【解析】

，

∴，则

∴是周期为3的周期函数．

则，

,

∵函数的图象关于点成中心对称，

∴，

∵,

∴，

∴．

故选：B．

4．已知定义在上的函数的图象关于点对称, 且满足,又,则（   ）

A．        B．        C．        D．

【答案】D

【解析】

由得，又，

，，的图象关于点对称，所以

，由可得

，故选D.

5．定义在上的偶函数满足，对且，都有，则有（   ）

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】

因为，所以，及是周期为的函数，结合是偶函数可得，，再由且，得在上递增，因此，即，故选A．

6．定义在上的函数对任意都有，且函数的图像关于原点对称，若，则不等式的解集是（   ）

A．      B．     

C．     D．

【答案】C

【解析】

不妨取的解集为，故选C.

7．已知为定义在上的偶函数，当时，有，且当时，，给出下列命题：①；②函数在定义域上是周期为2的函数；③直线与函数的图象有2个交点；④函数的值域为．其中正确的是（   ）

A．①，②          B．②，③          C．①，④              D．①，②，③，④

【答案】C

【解析】

由当时，有知当时有正周期，又为定义在上的偶函数，且当时，，所以，所以①正确，排除B；若函数在定义域上是周期为的函数，则，同时因为当时，有，所以，显然矛盾，所以②错误，这样就排除A,D；综上故选C.

8．函数是定义在上周期为的奇函数, 若,则有（   ）

A．                     B．

C．                         D．

【答案】B

【解析】

，故选B.

二、填空题

9．设函数是定义在上的偶函数，且对任意的，都有，已知当时，，有以下结论：

①2是函数的一个周期；

②函数在上单调递减，在上单调递增；

③函数的最大值是1，最小值是0；

④当时，．

其中，正确结论的序号是         ．（请写出所有正确结论的序号）

【答案】①②④

【解析】

,当时，单调递增；根据函数是定义在上的偶函数得当时，单调递减，所以函数在上单调递减，在上单调递增；当时，，所以函数的最大值是1，最小值是；当时，；综上正确结论的序号是①②④

10．已知是定义在实数集上的函数，且,则         ．

【答案】

【解析】

，

．

三、解答题

11．已知定义在上的函数的图象关于原点对称，且函数在上为减函数．

（1）证明：当时，；

（2）若，求实数的取值范围．

【解析】

（1）∵定义在上的函数的图象关于原点对称，∴为奇函数．

函数在上为减函数.

若，则，∴，

∴，∴成立．

若，则，∴．

∴，∴成立．

综上，对任意，当时，有恒成立

（2）依题意可知，得，

解得，故所求实数的取值范围是.