《高考数学二轮复习培优》第04讲 指数函数与对数函数

第四讲  指数函数及对数函数

A组题

1．（2018年全国Ⅲ卷理12）设，则（     ）

A.                             B.  

C.                              D.

【答案】B

【解析】∵，，

∴  ，

，

∵，，[来源:Z§xx§k.Com]

∴．故选：B．[来源:Z§xx§k.Com]

2.若， ， ，则（   ）

A.              B.           C.      D.

【答案】B

【解析】, , ,所以选B.

3.已知，则下列等式一定成立的是(    )

A．        B．          C．          D．

【答案】

【解析】由，，又得，故，选

4.. (2017年高考天津卷理)已知奇函数在R上是增函数，.若，，，则a，b，c的大小关系为（      ）

A． B． C． D．

【答案】

【解析】因为是奇函数且在上是增函数，所以在时，，

从而是上的偶函数，且在上是增函数，

，

，又，则，所以即，

，

所以，故选C．

5．(2017年高考北京卷文)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080．则下列各数中与最接近的是

（参考数据：lg3≈0.48）

（A）1033                                （B）1053

（C）1073                                （D）1093

【答案】D

【解析】试题分析：设 ，两边取对数，，所以，即最接近，故选D.

6．（2016年全国I高考）若，则

A.       B.     C.      D.

【解析】函数在上递增，故A错；选项B即，，函数在上递减，

   故B错；由得即，故D错，C对，选C.

7. 定义在上的函数满足且时，则（    ）

    A.            B.           C.            D.

【解析】的周期为，由，，

 由得故选C.

8．已知函数，若存在非零实数，使得成立，则实数的取值范围是(　　)A．      B．       C．     D．

【解析】由题，即方程存在非零根，则，当时，可得

     ，故选

9 ．已知定义在R上的函数(m为实数)为偶函数，记,，

  ，则的大小关系为(　 　)

A．        B．          C．         D．

【解析】为偶函数得，则在上递增，，

 ，，由得，故选C.

10．若，则的最小值是(　　 )

A．       B．        C．       D．

【解析】化简得，即

       则，故选

11．（2017年高考全国1卷理）设为正数，且，则（      ）

A．            B．         C．         D．

【答案】D

【解析】令，则，，

∴，则

，则，故选D.

12.（2016年浙江高考） 已知，若，，则      ，       .

【解析】由再结合，得

13.已知函数，若在上单调递增，则实数的取值范围为                ．

【解析】在上递增，需解得

14.函数在区间上的值域为，则的最小值为　　　　 .

【解析】的值域为，则，若得，若得，故

当，时，的最小值为.

15． 已知指数函数满足：，定义域为的函数是奇函数.

（1）确定的解析式及的值；

（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．

【解析】（1）可设，则，故.

    为定义在上奇函数，有解得

      （2）由（1），可判断在上恒减，

        恒成立即

         故即对恒成立，

        则，解得

B组题

1.设，则（ ）

A.           B.           C.             D.

【答案】D

【解析】因为,而,

所以,又,

所以,即, 所以有,选C．

2. 设, 则(    )

A．     B．   C．    D．

【解析】，，故，又，

     故，故选C.

3. 如图可能是下列哪个函数的图象(　　)

A. y=2x-x2-1                B.                C. y=(x2-2x)ex                D. y= 

【解析】选项D的函数定义域不满足；选项B为奇函数，图像关于原点对称，不满足；选项C的函数满足时，

       函数值为负，不满足；故选C.

4．已知函数的值域为，则

    实数的取值范围是(     )

  A．         B．        C．       D．

【解析】当时，所以要使的值域为，需满足在时的值域包含所有负数，所以，解得，故选B.

5.已知函数是定义域为的偶函数，且，若在上是减函数，记，则（  ）

A.           B．            C．           D．

【解析】由得：函数的周期为，因为在上是减函数，且是定义域为的偶函数，所以在上是增函数，且图像关于轴对称.，，，由题知：，故答案为B.

6.设函数则满足的取值范围是（    ）

   A.           B.          C.          D.

【解析】当时，，所以，即符合题意.当时，，

     若，则，即：，，所以.综上，故选C.

7.函数数列的前项和为， （为常数，且），，若则取值为(　　)  

     A．恒为正数        B．恒为负数       C．恒为零        D．可正可负

【解析】由数列的前项和得为等差数列，又可知为奇函数，且

    ，则在上递增. 因为，所以；

     因为，所以，同理.，因此

    恒为负值，故选B.

8．已知，，，则当的值为________时，取得最大值．

【解析】，取等号时，满足，又，

    解得

9.已知函数，在其图像上任取一点都满足方程

①函数一定具有奇偶性；    ② 函数是单调函数；

③     ④

以上说法正确的序号是               .

【解析】函数的图象是双曲线的一部分.易知（1）（2）不成立.（3）（4）可转化为双曲线的渐近线的斜率问题，（3）（4）都是满足条件的.正确答案是（3）（4）.

10.【2016山东滨州二模】已知函数，若存在互不相等的实数满足，则的取值范围是          ．

【解析】作出函数的图象如下，设，不妨设，由图可知，并且当时，，此时，当时，，此时，综上的取值范围是，故答案填．

11. 已知函数是偶函数.

 （1）求的值；

 （2）设，若函数与的图象有且只有一个公共点，求实数的取值范围.

【解析】（1）函数定义域为的偶函数，

        则由即，则.

      （2）函数与的图象有且只有一个公共点，  

     即方程，即只有一个根.

       即，设，，设

         可知：在上递增，在和上递减.

       ，，，

       ，则的取值范围是或.

C组题

1.已知函数，若，则的取值范围是(　　)

A．          B．        C．         D．

【解析】示意图象，可知在原点处切线效率为，则可确定，故选

2.设分别是方程和的根(其中)， 则的取值范围是(     )

     A.     B.       C.      D. 

【解析】据题意，为函数的图像与函数的图像的交点的横坐标，为函数的图像与函数的图像的交点的横坐标，据同底的指对函数互为反函数，所以有，结合的条件，可知，所以有，结合对勾函数的单调性，可知该式子的取值范围为，故选A

3. 若，则(    )

A.   B.    C． D.

【解析】构造函数，由可知在上先减后增，故选项A,B不确定；

       对选项C,D通过取对数后，构造函数，易知在上单调递减，则

       ，即，即，故选C.

4.已知函数与图象上存在关于轴对称的点，则的取值范围是（    ）

  A.       B.      C.        D.

【解析】由题可得存在满足

,令,因为函数和在定义域内都是单调递增的,所以函数在定义域内是单调递增的,又因为趋近于时,函数且在上有解(即函数有零点),

所以,故选B.

5. 函数定义域为，若满足①在上是单调函数，②存在，使在上的值域为，那么就称为“好函数”.现有函数是好函数，则实数的取值范围是（    ）

  A.                  B.             C.             D. 

【解析】可判断是单调函数，则是“好函数”只需方程恰有两个根，

 即，设，则在上恰有俩解需要解得选项A.

6.已知函数，对，使得，则的最小值为（     ）                                                       

 A .          B．          C．           D．

【解析】由可得：，令，则，，所以，所以，令，得，所以当时为减函数，当时为增函数，所以的最小值为.

7. 函数在上单调递减，则实数的取值范围是               .

【解析】设，则依题意，函数在上单调递减，

      当时，需要，得；当时，排除；当时，，得.

      综上：或

8.【2016年高考北京理数】设函数.

①若，则的最大值为______________；②若无最大值，则实数的取值范围是________.

【解析】如图作出函数与直线的图象，它们的交点是，，，由

知是函数的极大值点.

       ①当时，易知； ②当时，有最大值；只有当时，由，知无最大值，   综上：空填，

9. 设函数，当点是函数图象上的点时，点是函数图象上的点．

（Ⅰ）写出函数的解析式；

（Ⅱ）若当时，恒有，试确定的取值范围；

【解析】（1）设有代入得，

        点在图象上，有.

        （2）设，

        依题在恒成立.应有 ，即

 则可判断在上递减，故 解得：.

 10.已知函数，记是在区间上的最大值.

（1）证明：当时，；  （2）当，满足，求的最大值.

【解析】（1）由，得对称轴为直线，由，得，故在上

       单调，所以，当时，，

      所以

     （2）由得，且，得

          由，可知当时，，且在上

          的最大值为，即，故的最大值为