《高考数学二轮复习培优》第06讲导数构造辅导助函数问题选择填空题专练

第六讲 导数构造辅导助函数问题选择填空题专练

A组

一、选择题

1．已知是函数的导函数，当时 ，成立，记，则（   ）

A．        B．         

C．        D．

【答案】C

【解析】

，所以函数在上单调递减，又，所以，选C.

2．已知定义域为的奇函数的导函数为，当时，，若，，，则的大小关系是（   ）

A．              B．

C．              D．

【答案】D

【解析】

构造函数，则，由已知，为偶函数，所以，又，即，当时，，即，所以函数在单调递减，又，所以

，即．

3．定义在上的函数，是它的导函数，且恒有成立.则有（   ）

A．        B．

C．       D．

【答案】A

【解析】

由且，则，设，则，所以在上是增函数，所以，即，即．故选A．

4．函数是定义在上的可导函数，其导函数为且有，则不等式的解集为（   ）

A．        B．

C．        D．

【答案】A

【解析】

依题意，有，故是减函数，原不等式化为，即.

5．定义域为的可导函数的导函数为，满足，且，则不等式的解集为（   ）

A．                     B．                  C．              D．

【答案】C

【解析】

构造函数，在上单调递减，故等价于.

6．设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（2）＝0，当x>0时，有<0恒成立，则不等式x2f（x）>0的解集是（   ）

A．（－2,0）∪（2，＋∞）                      B．（－2,0）∪（0,2）

C．（－∞，－2）∪（2，＋∞）                  D．（－∞，－2）∪（0,2）

【答案】D

【解析】

因为当时，有恒成立，即恒成立，所以在内单调递减．因为，所以在内恒有；在内恒有．又因为是定义在上的奇函数，所以在内恒有；在内恒有．又不等式的解集，即不等式的解集．故答案为：，选D.

7．设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是(   )

A．      B． 

C．     D．

【答案】B

【解析】

考虑取特殊函数，是奇函数，且，，当时，>0，满足题设条件.直接研究函数，图象如下图，可知选B答案.

8．定义在的函数的导函数为,对于任意的,恒有,则的大小关系是（    ）

A．      B．      C．      D．无法确定

【答案】B

【解析】

构造函数，因，故在上单调递增，则，即，也即，所以，应选B。

9．已知定义在实数集上的函数满足，且的导函数满足，则不等的解集为（   ）

A．    B．    C．    D．

【答案】D

【解析】

令，则；，，

可构造函数，，为减函数．

又，可得；，使成立，

即；

10．设，，，则（   ）

A．                B．                C．             D．

【答案】D

【解析】

令，则，因此在上单调递，减，从而，选D.

11．已知在上非负可导，且满足，对于任意正数，若，则必有（   ）

A．            B．

C．             D．

【答案】D

【解析】

构造函数,则由可知函数是单调递减函数,因为,所以,即,也即,因此应选D．

12．已知定义在R上的函数的导函数为，且满足，则下列结论正确的是（     ）

A.    B.

C.     D.  

【答案】A

【解析】

令

∵f′（x）＞f（x），∴g′（x）＞0，g（x）递增，∴g（1）＞g（0），即，

∴f（1）＞ef（0），

二、填空题

13．定义在上的函数满足：，，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为        ．

【答案】

【解析】

设，则，，，，在定义域上单调递增，，，又，，．故答案为．

B组

一、选择题

1．已知函数对定义域内的任意都有，且当时其导函数满足，若，则（      ）

A.      B.

C.      D.

【答案】C

【解析】

∵函数f（x）对定义域R内的任意x都有f（x）=f（4-x），∴f（x）关于直线x=2对称；

又当x≠2时其导函数f′（x）满足xf′（x）＞2f′（x）⇔f′（x）（x-2）＞0，

∴当x＞2时，f′（x）＞0，f（x）在（2，+∞）上的单调递增；

同理可得，当x＜2时，f（x）在（-∞，2）单调递减；

∵2＜a＜4，∴，

∴2＜4- ＜3，又4＜＜16，f（）=f（4- ），f（x）在（2，+∞）上的单调递增；

∴f（）＜f（3）＜f（）

2．已知为定义在上的可导函数，且对于恒成立（为自然对数的底），则（   ）

A．            

B．

C．            

D．与大小不确定

【答案】C

【解析】

令，则，所以在上单调递减。有即，所以，故选C.

3．已知函数满足，且的导函数，则的解集为（   ）

A．     B.      

C．        D．

【答案】B

【解析】

令F（x）=f（x）-x，则

F'（x）=f'（x）-＜0，

∴函数F（x）在R上单调递减函数，

∵，

∴f（x）-x＜f（1）-，

即F（x）＜F（1），

根据函数F（x）在R上单调递减函数可知x＞1

4．已知在实数集R上的可导函数，满足是奇函数，且，则不等式的解集是（   ）

A.（-∞，2）            B.（2，+∞）

C.（0，2）              D.（-∞，1）

【答案】A

【解析】

令,则,因,故,所以,函数是单调递减函数,又因为是奇函数,所以且,所以原不等式可化为,由函数的单调性可知,应选A.

5．若,则(     )

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】

设当时，函数单调递减，由可得

6．设函数在上存在导数，，有，在上，若，则实数的取值范围为（   ）

A、           B、

C、          D、

【答案】B

【解析】

令，为奇函数，在上 ， 在上递减，在上也递减，由 知，在 上递减，可得，即实数的取值范围为，故选B.

7．已知定义在上的函数和满足，且，则下列不等式成立的是（    ）

A．            B．

C．            D．

【答案】D

【解析】

因为，所以，所以，又，得；令，又因为，所以，所以在上单调递减；所以

，故选D.

8．设函数是奇函数的导函数，当时，，则使得成立的的取值范围是（   ）

A.     B.      C.       D.

【答案】B

【解析】

根据已知条件可构造函数，则为偶函数，由可知可求得导函数，因为当时，，所以，则当时，，所以在区间上有，在区间上有，又，可知的解集应该为，所以本题的正确选项为B.

9．定义在上的可导函数满足，且，则的解集为（   ）

A．                                   B．

C．                                 D．

【答案】A

【解析】

因为，所以，令，则为上的减函数，又因为，所以，所以的解为即的解集为，故选A.

10．设函数在R上的导函数为，在上，且，有，则以下大小关系一定正确的是（   ）

A.                   B.

C.                D.

【答案】C

【解析】

由，可得，设则，所以是上的奇函数，又在上，即，所以在上是减函数，又是上的奇函数，所以是上的减函数，所以，即，因此，故答案填.

11．已知是函数()的导函数，当时，，记 ，则（   ）

A．      B．       C．       D．

【答案】C

【解析】

由题意得，设，则，所以当时，函数的单调递减函数，又，所以，即，故选C.

二、填空题

12．已知定义在R上的可导函数满足，若，则实数的取值范围是__________．

【答案】

【解析】

令,则,故函数在上单调递减,又由题设可得,故,即,答案为．

C组

一、选择题

1．已知定义在R上的可导函数的导函数为，满足，且为偶函数，，则不等式的解集为（    ）

A.         B.          C.        D.

【答案】B

【解析】

因为为偶函数，所以，因此．令，则原不等式即为．又，，所以，所以函数在R是减函数，所以由得，故选B．

2．定义在上的单调递减函数，若的导函数存在且满足，则下列不等式成立的是（    ）

A．       B．          C．         D．

【答案】C

【解析】

因为在上函数单调递减，则．又因，所以，且．设，所以，即函数在上单调递增．所以，即，，，故选C．

3．已知函数的导数为，且对恒成立，则下列函数在实数集内一定是增函数的为（   ）

A．              B．               

C．            D．

【答案】D

【解析】

设,则,

对恒成立,且在上递增,故选D.

4．已知是上的减函数，其导函数满足，那么下列结论中正确的是（   ）

A．， 

B．当且仅当，

C．，             

D．当且仅当，

【答案】C

【解析】

因为，是定义在上的减函数，，所以，所以，所以，所以函数在上单调递增，而时，，则，当时，故，又是定义在上的减函数，所以时，也成立，∴对任意成立．

5．设，则，，的大小关系是（    ）

A．     B．

C．     D．

【答案】A

【解析】

令，则，所以函数为增函数，所以，所以，即，所以；又因为，所以，故应选.

6．设奇函数在上存在导数,且在上,若,则实数的取值范围为（   ）

A．           B．             

C．           D．

【答案】B

【解析】

令，因为，所以函数的奇函数，因为时，，所以函数在为减函数，又题意可知，，所以函数在上为减函数，所以，即，所以，所以，故选B.

7．设为函数的导函数，已知，则下列结论正确的是(    )

A．在单调递增       B．在单调递减

C．在上有极大值     D．在上有极小值

【答案】不

【解析】

由，得，从而，令，则，∴，

令，则（），

令，即，因此当时，是增函数，

令，即，因此当时，是减函数，

由，得，

∴在上有极大值，也是最大值．

∴，即，当且仅当时，，

∴在上为减函数．

故选B．

8．已知定义在上的函数，满足；(其中是的导函数，是自然对数的底数)，则的范围为(   )

A.             B.            C.             D.

【答案】B

【解析】

设，则，所以函数在区间上单调递增，所以，即；令，则，所以函数在区间上单调递减，所以，即，综上，故选B.

9．若函数是定义在上的偶函数，当时，，且，则不等式的解集为（   ）

A．       B．      C．      D．

【答案】D

【解析】

当时,构造函数,,所以函数在上为减函数,由于,所以函数为奇函数,所以函数在上为减函数.且,所以不等式解集为.故选D.

10．已知定义在上的可导函数满足：，则与的大小关系是（     ）

A．>             B．<

C． =            D． 不确定

【答案】A

【解析】

设因为所以为R上的减函数，又因为所以，即所以>.故选A.

二、填空题

11．已知函数是上的奇函数，是上的偶函数，且有，当时，有，则的解集为           .

【答案】

【解析】

构造函数,则函数是上的奇函数. 且,当时，有，即,所以函数在上为增函数,且,则函数在上为增函数,且,的解为或.的解集为.