第23讲 相似与圆九年级数学人教版下册 学案

第23讲  相似与圆

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1.垂径定理及其推论.

2.圆周角定理及其推论.

3.切线的判定及其性质.

4.切线长定理.

5.三角形相似的判定及其性质.

【板块一】  求线段比值

方法技巧

1.构造A型或X型相似求比值.

2.用等线段代换求比值.

3.利用两比值相乘求比值.

题型一  直接计算法求比值

【例1】如图，已知BC⊥AC，圆心O在AC上，点M与点C分别是AC与⊙O的交点，点D是MB与⊙O的交点，点P是AD延长线与BC的交点，且＝.

(1)求证：PD是⊙O的切线；

(2)若AD＝12，AM＝MC，求的值.

题型二  构造A型或X型相似求比值.

【例2】如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，CO的延长线交AB于点D.

(1)求证：AO⊥BC；

(2)若BC＝6，AB＝3，求的值.

题型三  先等量代换后用三角形相似求比值

【例3】如图，AB为⊙O的直径，半径OD⊥AB，C为上－点，CD交AB于点F.若F为AO的中点，求的值.

题型四  运用乘积求比值(·＝)

【例4】如图，AB是⊙O的直径，点C，E在⊙O上，过点C作AB的垂线分别交AB，AE于点H，D.若＝，AE＝4BE，求的值.

针对练习1

1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，⊙O是Rt△ABC的外接圆，过点C作⊙O的切线交BA的延长线于点E，BD⊥CE于点D，连接DO交BC于点M.

(1)求证：BC平分∠DBA；

(2)若＝，求的值.

2. 如图，△ABC内接于. AH⊥BC于点H，连接OC，过点A作的切线，交CB的延长线于点E.

（1）求证：∠BAH=∠ACO；

（2）若AC=24，AH=18，OC=13，求的值.

3. 如图，以Rt△ABC斜边AB上一点O为圆心，OB为半径的圆切AC于点D，与AB交于另一点E，BC交于点F，连接OD，BD.

（1）求证：∠AOD=2∠CBD；

（2）若，求的值.

4. 如图，在△ABC中，AB=AC=BC，以AB为直径作，交BC于点D，交CA的延长线于点E，过点D作DH⊥AC于点H，连接DE交线段OA于点F.

（1）求证：DH为的切线；

（2）若A为EH的中点，求的值.

【板块二】求线段长

方法技巧

1.用方程思想求线段长.

2.用全等（或相似）找线段之间的关系.

3.用特殊边角关系找线段之间的关系.

题型一  用全等找线段关系，列方程求解

【例1】如图，∠ABD=90°，AB是的直径，交AD于点C.CE∥AB交于点E，AE=2AC.AB=.求CD的长.

题型二  用相似找线段关系，列方程求解

【例2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点O是AC上一点，以OC为半径作与AB相切于点D，交AC于点E，OB交CD于点F.

（1）求证：OB·DE=；

（2）若，AB=10，求半径.

题型三  利用特殊边角关系找联系

【例3】如图，点O，E分别为△ABC的外心和内心，AB=AC，AE的延长线交于点D，交BC于点F.

（1）求证：BD=DE；

（2）若∠BAC=30°，BD=，求OE的长.

针对练习2

1.如图，AB是的直径，点C在上，CD是的切线，AD⊥CD，垂足为D，E是AB延长线上点.CE交于点F，连接OC，AC.

（1）求证：AC平分∠DAO；

（2）连接BF，若∠DAO=105°，∠E=30°，AC=4+，求BF的长.

2.如图，△ABC内接于，AB是的直径，I是△ABC内一点，AI的延长线交BC于点D，交于点E，连接BE，BI，BE=EI，BI平分∠ABC，若OI⊥AE于点I，BA=，求CD的长.

3.   如图，A，B，C三点在上，直径BD平分∠ABC，过点D作DE//AB交弦BC于点E，在BC的延长线上取一点F，使得EF=DE.

（1）求证：DF是的切线；

（2）连接AF交DE于点M，若AD=4，DE=5，求DM的长.

【板块三】求线段之积

方法技巧

1.直接法：分别求出两条线段长.

2.整体法：利用三角形相似求两条线段之积.

题型一   利用母子相似求同一直线上两条线段之积

【例1】如图，在△ABP中，C是BP边上一点，∠PAC=∠PBA，是△ABC的外接圆，AD是的直径.

（1）求证：PA是的切线；

（2）过点C作CF⊥AD，垂足为点F，延长CF交AB于点G，∠P=45°，CP=AP，若AG·AB=15，求CP的长。

题型二   利用射影定理求同一直线上两条线段之积

【例2】在中，，AD⊥AB交BC延长线于点D，连接AO，AB=8.

（1）求BC·BD的值；

（2）若OA=5，求CD的长.

题型三   利用相似求不在同一条直线上两条线段之积

【例3】如图，AB，CD都是的直径，DB的延长线与过点C的切线交于点P，CE⊥AB，垂足为点E.AD=2，求CE·CP的值.

针对练习3

1.如图.CD为的直径，AD，AB，BC分别与相切于点D，E，C（AD<BC），连接DE并延长与直线BC相交于点P，连接OB.

（1）求证：BC=BP；

（2）若DE·OB=40，求AD·BC的值.

2.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6，点D在AB的延长线上，且BD=6，过点D作DE ⊥AD交AC的延长线于点E，以DE为直径的交AE于点F.

（1）求的半径；

（2）设CD交于点Q，求BQ·BE的值.

3.如图，I为△ABC的内心，AB=AC，BI的延长线交△ABC的外接圆于点D，∠BDC的平分线交AC于点E.若EC=1，AE=4.求BI·ID的值.

【板块四】经典图形研究

方法技巧

1．切割图（也叫弦切图）中相似问题（切割线定理）

2．切割线加垂直的图中，作高构造矩形求解．

3．双切图中隐含射影定理的结论（知二求五）．

题型一 切割图

【例1】如图，AB是⊙O的直径，AC为弦，过点C的切线与AB的延长线交于点P，弦CE=AC，连接EB并延长并CP于点H．

（1）求证：BH⊥CP；

（2）若AC=6，AB=，求PH的长．

题型二 切割图+垂直

【例2】如图，AB是⊙O的直径，AC为弦，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E，OE交AD于点F．若，求的值．

题型三 双切图

【例3】如图，PA是⊙O的切线，A是切点，AC是直径，AB是弦，连接PB，PC，PC交AB于点E，且PA=PB．

（1）求证：PB是⊙O的切线；

（2）若∠APC=3∠BPC，求的值．

题型四 多切线图

【例4】如图，⊙O是△ABC的内切圆，D，E，F为切点，AB=AC．

（1）求证：BD=DC；

（2）若，O的半径为1，求EF的长．

题型五 切径图（切线+过切点的直径）

【例5】如图，AB是⊙O的直径，AT是O的直径，BT交O于点C，D是O上一点，∠ATB=2∠CDO，AB=40，AT=30，求CD的长．

针对练习4

1．如图，已知AB，CD是⊙O的直径，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P，⊙O的弦DE交AB于点F，且DF=EF．

（1）求证：；

（2）连接EB交CD于点G，过点G作GH⊥AB于点H，若PC=，PB=4，求GH的长．

2．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线，交AC于点E，交AB的延长线于点F．

（1）求证：DE⊥AC；

（2）若AB=10，AE=8，求DF的长．

3．如图，AB，AC分别是⊙O的直径和弦，点D为劣弦AC上一点，弦DE⊥AB分别交⊙O于点D，E，交AB于点H，交AC于点F，P是ED延长线一点，且PC=PF．

（1）求证：PC是O的切线；

（2）若，求证：CF=EF；

（3）在（2）条件下，若OH=1，AH=2，直接写出线段PC的长．

4．如图，在四边形ABCD中，AB⊥AD，AB⊥BC，以AB为直径的⊙O与CD相切于点E，延长AB交DC延长线于点F，连接AC交OE于点G，设AB=4，BC=1

（1）求△ADF的周长；

（2）直接写出的值．