数学必修 第一册第一章 集合与常用逻辑用语1.4 充分条件与必要条件精品当堂达标检测题
展开1.4 充分条件与必要条件
【知识点梳理】
知识点一:充分条件与必要条件充要条件的概念
符号与的含义
“若,则”为真命题,记作:;
“若,则”为假命题,记作:.
充分条件、必要条件与充要条件
①若,称是的充分条件,是的必要条件.
②如果既有,又有,就记作,这时是的充分必要条件,称是的充要条件.
知识点诠释:对的理解:指当成立时,一定成立,即由通过推理可以得到.
①“若,则”为真命题;
②是的充分条件;
③是的必要条件
以上三种形式均为“”这一逻辑关系的表达.
知识点二:充分条件、必要条件与充要条件的判断
从逻辑推理关系看
命题“若,则”,其条件p与结论q之间的逻辑关系
①若,但,则是的充分不必要条件,是的必要不充分条件;
②若,但,则是的必要不充分条件,是的充分不必要条件;
③若,且,即,则、互为充要条件;
④若,且,则是的既不充分也不必要条件.
从集合与集合间的关系看
若p:x∈A,q:x∈B,
①若AB,则是的充分条件,是的必要条件;
②若A是B的真子集,则是的充分不必要条件;
③若A=B,则、互为充要条件;
④若A不是B的子集且B不是A的子集,则是的既不充分也不必要条件.
知识点诠释:充要条件的判断通常有四种结论:充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件.判断方法通常按以下步骤进行:
①确定哪是条件,哪是结论;
②尝试用条件推结论,
③再尝试用结论推条件,
④最后判断条件是结论的什么条件.
知识点三:充要条件的证明
要证明命题的条件是结论的充要条件,既要证明条件的充分性(即证原命题成立),又要证明条件的必要性(即证原命题的逆命题成立)
知识点诠释:对于命题“若,则”
①如果是的充分条件,则原命题“若,则”与其逆否命题“若,则”为真命题;
②如果是的必要条件,则其逆命题“若,则”与其否命题“若,则”为真命题;
③如果是的充要条件,则四种命题均为真命题.
【题型归纳目录】
题型一:充分条件与必要条件的判断
题型二:根据充分条件求参数取值范围
题型三:根据必要条件求参数取值范围
题型四:根据充要条件求参数取值范围
题型五:充要条件的证明
【典型例题】
题型一:充分条件与必要条件的判断
例1.(2022·湖南·永州市第二中学高一阶段练习)“a<-1”是“方程ax2+2x+1=0至少有一个实数根”的( )
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
讨论,,可得“方程ax2+2x+1=0至少有一个实数根”等价于“”再根据充分条件、必要条件的定义即可得出结果.
【详解】
当时,方程即为,解得;
当时,,得,;
所以“方程ax2+2x+1=0至少有一个实数根”等价于“”
“”能推出“方程至少有一个实数根”,反之不成立;
所以“”是“方程至少有一个实数根”的充分不必要条件.
故选:B.
例2.(2022·广东·化州市第三中学高一期末)已知命题p:x为自然数,命题q:x为整数,则p是q的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
根据两个命题中的取值范围,分析是否能得到pq和qp.
【详解】
若x为自然数,则它必为整数,即p⇒q.
但x为整数不一定是自然数,如x=-2,即qp.
故p是q的充分不必要条件.
故选:A.
例3.(2022·上海·上外附中高一期中)“”是关于的不等式的解集为R的( )
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件 D.非充分非必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
取,时可判断充分性;当不等式的解集为R时,分,,讨论可判断必要性.
【详解】
若,取时,不等式,此时不等式解集为;
当时,不等式的解集为,
当时,不等式的解集为,
当,且时,不等式,
所以,若关于的不等式的解集为R,则.
综上,“”是关于的不等式的解集为R的必要非充分条件.
故选:B
例4.(2022·湖南·高一期中)2022年3月21日,东方航空公司MU5735航班在广西梧州市上空失联并坠毁.专家指出:飞机坠毁原因需要找到飞机自带的两部飞行记录器(黑匣子),如果两部黑匣子都被找到,那么就能形成一个初步的事故原因认定.3月23日16时30分左右,广西武警官兵找到一个黑匣子,虽其外表遭破坏,但内部存储设备完整,研究判定为驾驶员座舱录音器.则“找到驾驶员座舱录音器”是“初步事故原因认定”的( )
A.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】
因为两部黑匣子都被找到,就能形成一个初步的事故原因认定,根据充分与必要条件的定义即可判断出结果.
【详解】
因为两部黑匣子都被找到,就能形成一个初步的事故原因认定,
则“找到驾驶员座舱录音器”不能形成“初步事故原因认定”;
而形成“初步事故原因认定”则表示已经“找到驾驶员座舱录音器”,
故“找到驾驶员座舱录音器”是“初步事故原因认定”的必要不充分条件,
故选:C.
例5.(2022·江苏·高一专题练习)设甲是乙的充分不必要条件,乙是丙的充要条件,丁是丙的必要不充分条件,则甲是丁的 ( ) 条件
A.充分不必要 B.必要不充分
C.充要 D.既不充分也不必要
【答案】A
【解析】
【分析】
记甲、乙、丙、丁各自对应的条件构成的集合分别为,,,,根据题目条件得到集合之间的关系,并推出ÜD,,所以甲是丁的充分不必要条件.
【详解】
记甲、乙、丙、丁各自对应的条件构成的集合分别为A,,,,
由甲是乙的充分不必要条件得,ÜB,
由乙是丙的充要条件得,,
由丁是丙的必要不充分条件得,ÜD,
所以ÜD,,故甲是丁的充分不必要条件.
故选:A.
【技巧总结】
1.判断充分条件、必要条件的注意点
(1)明确条件与结论.
(2)判断若p,则q是否成立时注意利用等价命题.
(3)可以用反例说明由p推不出q,但不能用特例说明由p可以推出q.
2.充分条件、必要条件的两种判断方法
(1)定义法:
①确定谁是条件,谁是结论;
②尝试从条件推结论,若条件能推出结论,则条件为充分条件,否则就不是充分条件;
③尝试从结论推条件,若结论能推出条件,则条件为必要条件,否则就不是必要条件.
(2)命题判断法:
①如果命题:“若p,则q”为真命题,那么p是q的充分条件,同时q是p的必要条件;
②如果命题:“若p,则q”为假命题,那么p不是q的充分条件,同时q也不是p的必要条件.
题型二:根据充分条件求参数取值范围
(多选题)例6.(2022·全国·高一专题练习)下列条件中是“”的充分条件的是( )
A.
B.
C.
D.且
【答案】ACD
【解析】
【分析】
根据充分条件的定义依次讨论各选项即可求解.
【详解】
对于A选项,因为,故,所以A选项正确;
对于B选项,因为,故不成立,故B选项错误;
对于C选项,因为,故,故C选项正确;
对于D选项,因为且,故,即:,故D选项正确.
所以A,C,D中的条件均是“”的充分条件,B中的条件不是“”的充分条件.
故选:ACD
例7.(2022·河南信阳·高一期末)若“”是“”的充分不必要条件,则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
转化“”是“”的充分不必要条件为Ü,分析即得解
【详解】
由题意,“”是“”的充分不必要条件
故Ü
故
故选:B
(多选题)例8.(2022·山东·烟台二中高一阶段练习)若不等式成立的充分条件是,则实数的取值可以是( )
A.2 B.1 C.0 D.1
【答案】CD
【解析】
【分析】
求出不等式成立的充要条件,然后根据充分条件求出参数范围,然后判断.
【详解】
,则,.
故选:CD.
例9.(2022·安徽宣城·高一期中)已知,,若是的充分不必要条件,则实数的取值范围是______
【答案】
【解析】
【分析】
根据是的充分不必要条件,可得,从而可得出答案.
【详解】
解:因为是的充分不必要条件,
所以,
所以.
故答案为:.
例10.(2022·湖南·麻阳苗族自治县第一中学高一期中)已知集合,或.
(1)当时,求;
(2)若,且“”是“”的充分不必要条件,求实数的取值范围.
【答案】(1)或
(2)
【解析】
【分析】
(1)借助数轴即可确定集合与集合的交集(2)由于Ü,根据集合之间的包含关系即可求解
(1)
当时,集合,
或 ,
或
(2)
若,且 “”是“”充分不必要条件,
因为Ü,则
解得.
故的取值范围是:
例11.(2022·新疆·兵团第十师北屯高级中学高一阶段练习)已知集合P={x|a+1≤x≤2a+1},
Q={x|-2≤x≤5}.
(1)若a=3,求;
(2)若“x∈P”是“x∈Q”充分不必要条件,求实数a的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
(1)将a=3代入求出集合P,Q,再由补集及交集的意义即可计算得解.
(2)由给定条件可得Ü,再根据集合包含关系列式计算作答.
(1)
因a=3,则P={x|4≤x≤7},则有或,又Q={x|-2≤x≤5},
所以.
(2)
“x∈P”是“x∈Q”充分不必要条件,于是得Ü,
当a+1>2a+1,即a<0时,,又,即Ü,满足Ü,则a<0,
当时,则有或,解得或,即,
综上得:,
所以实数a的取值范围是.
例12.(2022·黑龙江·哈师大附中高一期末)已知非空集合,.
(1)若,求;
(2)若“”是“”的充分不必要条件,求实数的取值范围.
【解析】
(1)由已知,或,
所以或;
(2)“”是“”的充分不必要条件,则,解得,
所以的范围是.
【技巧总结】
(1)化简p、q两命题,
(2)根据p与q的关系(充分、必要、充要条件)转化为集合间的关系,
(3)利用集合间的关系建立不等关系,
(4)求解参数范围.
题型三:根据必要条件求参数取值范围
例13.(2022·广东·梅州市梅州中学高一练习)已知集合,或,,若“”是“”的必要条件,则实数a的取值范围是___________.
【答案】或
【解析】
【分析】
根据充分条件和必要条件的概念可得集合A与B的包含关系,画出数轴即可得不等式组从而求出a的范围.
【详解】
∵“”是”的必要条件,∴,
当时,,则;
当时,根据题意作出如图所示的数轴,
由图可知或,解得或,
综上可得,实数a的取值范围为或.
例14.(2022·江西·丰城九中高一阶段练习)已知集合或,集合
(1)若,且,求实数的取值范围.
(2)已知集合,若是的必要不充分条件,判断实数是否存在,若存在求的范围
【答案】(1);
(2)存在,.
【解析】
【分析】
(1)由集合交运算可得,根据集合的包含关系并讨论是否为空集,列不等式组求参数范围;
(2)由题意,列不等式组求参数m范围.
(1)
由题设,又,
当时,,可得.
当时,,可得.
综上,a的范围.
(2)
由题意,而,
所以,结合(1)有(等号不同时成立),可得.
故存在实数且.
例15.(2022·徐州市第三十六中学(江苏师范大学附属中学)高一阶段练习)已知集合,,全集.
(1)当时,求;
(2)若“”是“”的必要条件,求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)或
【解析】
【分析】
(1)根据补集与交集的运算性质运算即可得出答案.
(2)若“”是“”的必要条件等价于.讨论是否为空集,即可求出实数的取值范围.
(1)
当时,集合,或,
.
(2)
若“”是“”的必要条件,则,
①当时,;
②,则且,.
综上所述,或.
例16.(2022·河北沧州·高一开学考试)已知或或,若是的必要不充分条件,求实数的取值范围.
【答案】.
【解析】
【分析】
由题设、间的关系可得,根据集合A、B的描述列方程组求m的参数即可.
【详解】
由是的必要不充分条件,
所以,则或,解得:.
的取值范围是.
【技巧总结】
(1)化简p、q两命题,
(2)根据p与q的关系(充分、必要、充要条件)转化为集合间的关系,
(3)利用集合间的关系建立不等关系,
(4)求解参数范围.
题型四:根据充要条件求参数取值范围
例17.(2022·全国·高一专题练习)方程至少有一个负实根的充要条件是( )
A. B. C. D.或
【答案】C
【解析】
【分析】
按和讨论方程有负实根的等价条件即可作答.
【详解】
当时,方程为有一个负实根,反之,时,则,于是得;
当时,,
若,则,方程有两个不等实根,,即与一正一负,
反之,方程有一正一负的两根时,则这两根之积小于0,,于是得,
若,由,即知,方程有两个实根,必有,此时与都是负数,
反之,方程两根都为负,则,解得,于是得,
综上,当时,方程至少有一个负实根,反之,方程至少有一个负实根,必有.
所以方程至少有一个负实根的充要条件是.
故选:C
例18.(2022·广西钦州·高一期末)若“”是“”的充要条件,则实数m的取值是_________.
【答案】0
【解析】
【分析】
根据充要条件的定义即可求解.
【详解】
,
则{x|}={x|},
即.
故答案为:0.
例19.(2022·全国·高一课时练习)若“”是“”的充要条件,则的值为________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意可知,由此求出的值,即可求出结果.
【详解】
由题意可知,,解得,所以.
故答案为:.
【点睛】
本题主要考查了充要条件的应用,属于基础题.
例20.(2022·江苏·高一单元测试)已知
(1)是否存在m∈R使是的充要条件?若存在,求出m范围;若不存在,说明理由;
(2)是否存在m∈R使是的必要条件?若存在,求出m范围;若不存在,说明理由.
【答案】(1)不存在,理由见解析;(2)存在,.
【解析】
【分析】
(1)依题意,即可得到方程组,由方程组无解即可判断;
(2)依题意可得,再对与分两种情况讨论,即可求出参数的取值范围;
【详解】
解:,.
(1)要使是的充要条件,
则,即 此方程组无解,
则不存在实数,使是的充要条件;
(2)要使是的必要条件,则,
当时,,解得;
当时,,解得,
要使,则有
解得,
所以,
综上可得,当实数时,是的必要条件.
例21.(2022·全国·高一专题练习)已知命题,命题.
(1)若是的充分条件,求实数的取值范围.
(2)是否存在实数,使得是的充要条件?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
【解析】
(1)集合,集合.
因为是的充分条件,所以,
∴集合可以分为或两种情况来讨论:
当时,满足题意,此时,解得:;
当时,要使成立,
需满足,
综上所得,实数的取值范围或.
(2)假设存在实数,使得是的充要条件,那么,
则必有,解得,综合得无解.
故不存在实数,使得,
即不存在实数,使得是的充要条件.
【点睛】
本题考查充分必要条件,集合间的关系,根据集合间的关系求参数的范围,属于中档题.
【技巧总结】
(1)化简p、q两命题,
(2)根据p与q的关系(充分、必要、充要条件)转化为集合间的关系,
(3)利用集合间的关系建立不等关系,
(4)求解参数范围.
题型五:充要条件的证明
例22.(2022·福建福州·高一期中)证明:“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件.
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】
根据充要条件的定义,分别证明充分性和必要性即可求证.
【详解】
充分性:若,则关于的方程有一正一负根,证明如下:
当时,,
所以方程有两个不相等的实根,
设两根分别为,,则,所以方程有一正一负根,
故充分性成立,
必要性:若“关于的方程有一正一负根”,则,证明如下:
设方程一正一负根分别为,,则,
所以,所以若“关于的方程有一正一负根”,则,
故必要性成立,
所以“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件.
例23.(2022·全国·高一课时练习)求方程至少有一个负根的充要条件.
【答案】且
【解析】
【分析】
利用充要条件的定义以及根与系数的关系即可求解.
【详解】
必要性:设,为方程的两根.
∵,∴,
∴方程至少有一个负根应满足:
当正负根各有一个时,则,即,解得.
当有两个负根时,则
解得,
充分性:当且,
当时,,此时两根均为负;
当时,,此时方程正负根各有一个,
综上所述,方程至少有一个负根的充要条件是且.
例24.(2022·全国·高一课时练习)若a,,p:,q:.判断p是否为q的充要条件.
【答案】p是q的充要条件
【解析】
【分析】
利用充要条件的定义判断即可
【详解】
p是q的充要条件.理由:
若,则,即;
若,则,即,故,
所以p是q的充要条件.
例25.(2022·江苏·高一课时练习)求证:一元二次方程x2+px+q=0有两个异号实数根的充要条件是q<0.
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】
充分性:根据q<0,得出Δ=p2-4q>0,即充分性满足;必要性:利用两根之积即可证明.
【详解】
证明 ①充分性:
因为q<0,所以方程x2+px+q=0的Δ=p2-4q>0,
故方程x2+px+q=0有两个不相等的实数根.
设方程的两根为x1,x2.
因为x1·x2=q<0,所以方程x2+px+q=0有两个异号实数根.
②必要性:
因为方程x2+px+q=0有两个异号实数根,
设两根为x1,x2,所以x1·x2<0.
因为x1·x2=q,所以q<0.
由①②,命题得证.
【技巧总结】
(1)证明充分性;
(2)证明必要性.
【同步练习】
一、单选题
1.(2022·浙江浙江·高一期中)已知命题p:“”,命题q:“”.则p是q的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
分析得到命题p:“或”再判断即可
【详解】
命题p:令,可得,即,故或,解得或,
故p是q的必要不充分条件
故选:B
2.(2022·湖南·麻阳苗族自治县第一中学高一期中)王昌龄是盛唐著名的边塞诗人,被誉为“七绝圣手”,其《从军行》传诵至今,“青海长云暗雪山,孤城遥望玉门关. 黄沙百战穿金甲,不破楼兰终不还”,由此推断,其中最后一句“攻破楼兰”是“返回家乡”的( )
A.必要条件 B.充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
利用充分必要条件判断即可得解.
【详解】
由题意可知:“返回家乡”则可推出“攻破楼兰”,
故“攻破楼兰”是“返回家乡”必要条件,
故选:.
3.(2022·安徽·合肥市第十中学高一期中)设集合,则“”是“”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
根据集合的包含与充分必要条件的关系判断.
【详解】
由题意集合是集合的真子集,因此“”是“”的必要不充分条件,
故选:B.
4.(2022·新疆吐鲁番·高一期末)下列各题中,p是q的充要条件的是( )
A.p:, q:
B.p:, q:
C.p:四边形是正方形,q:四边形的对角线互相垂直且平分
D.p:两个三角形相似,q:两个三角形三边成比例
【答案】D
【解析】
【分析】
根据充分条件、必要条件的判定方法,逐项判定,即可求解.
【详解】
对于A中,当时,满足,所以充分性不成立,
反之:当时,可得,所以必要性成立,
所以是的必要不充分条件,不符合题意;
对于B中,当时,可得,即充分性成立;
反之:当时,可得,即必要性不成立,
所以是的充分不必要条件,不符合题意;
对于C中,若四边形是正方形,可得四边形的对角线互相垂直且平分,即充分性成立;
反之:若四边形的对角线互相垂直且平分,但四边形不一定是正方形,即必要性不成立,
所以是的充分不必要条件,不符合题意;
对于D中,若两个三角形相似,可得两个三角形三边成比例,即充分性成立;
反之:若两个三角形三边成比例,可得两个三角形相似,即必要性成立,
所以是的充分必要条件,符合题意.
故选:D.
5.(2022·湖北·宜昌市一中高一期中)设是一元二次方程的根,,则p是q的( )
A.充分不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】
代入进入方程,可证明充分性;将代入因式分解,可证明必要性
【详解】
由题意,若是一元二次方程的根,故,即p可以推出q,充分性成立;
反之,若,则,即
,即是一元二次方程的根,即q可以推出p,必要性成立;即p是q的充要条件,故选:C
6.(2022·全国·高一单元测试)已知,为任意实数,则的必要不充分条件是( )
A.且 B.或
C.且 D.或
【答案】B
【解析】
【分析】
由充分必要条件的定义及特例即得.
【详解】
由且可推出,故A错误;
若或不成立即且,则,即不成立,所以由可得或;令,满足或,不成立即由或推不出,故B正确;令,成立,显然且不成立,或也不成立,故CD错误.故选:B
7.(2022·全国·高一期末)若不等式成立的充分条件为,则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由已知中不等式成立的充分条件是,令不等式的解集为A,可得,可以构造关于a的不等式组,解不等式组即可得到答案.
【详解】
解:不等式成立的充分条件是,
设不等式的解集为A,则,
当时,,不满足要求;
当时,,
若,则,解得.
故选:A.
8.(2022·河南·南阳中学高一阶段练习)在整数集中,被4除所得余数的所有整数组成一个“类”,记为,即,.给出如下四个结论:①;②;③;④“整数,属于同一‘类’”的充要条件是“”.其中正确的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】C
【解析】
【分析】
根据“类”的定义计算后可判断①②④的正误,根据集合的包含关系可判断③的正误,从而可得正确的选项.
【详解】
因为,故,故①错误,
而,故,故②正确.
若整数,属于同一“类”,设此类为,
则,故即,
若,故为4的倍数,故除以4的余数相同,故,属于同一“类”,
故整数,属于同一“类”的充要条件为,故④正确.
由“类”的定义可得,
任意,设除以4的余数为,则,
故,所以,
故,故③正确.
故选:C.
【点睛】
方法点睛:对于集合中的新定义问题,注意根据理解定义并根据定义进行相关的计算,判断两个集合相等,可以通过它们彼此包含来证明.
二、多选题
9.(2022·黑龙江·齐齐哈尔市第一中学校高一阶段练习)下列说法正确的是( )
A.“”是“”的必要不充分条件
B.“且”是“”的充分不必要条件
C.当时,“”是“方程有解”的充要条件
D.若P是q的充分不必要条件,则q是p的必要不充分条件
【答案】ABD
【解析】
【分析】
对命题进行正反逻辑推理,并结合四种条件的定义即可判断答案.
【详解】
对A,由得到x=0或x=2.所以由可以得到,反之,若x=0,满足成立,但显然得不到.所以A正确;
对B,由且显然可以得到,但若,满足,但不满足且.所以B正确;
对C,时,方程有解.所以由得不到方程有解,反之方程有解,也无法得到.所以C错误.
对D,若p是q的充分不必要条件,则q是p的必要不充分条件.所以D正确.
故选:ABD.
10.(2022·广东·揭阳华侨高中高一阶段练习)已知p:或,q:,则a取下面那些范围,可以使q是p的充分不必要条件( )
A. B.
C. D.
【答案】AB
【解析】
【详解】
p:或,q:,q是p的充分不必要条件,故,范围对应集合是集合的子集即可,对比选项知AB满足条件.
故选:AB.
11.(2022·安徽·高一期中)已知是的充分不必要条件,是的充分条件,是的必要条件,是的必要条件,下列命题正确的是( )
A.是的必要不充分条件 B.是的充要条件
C.是的充分不必要条件 D.是的充要条件
【答案】BD
【解析】
【分析】
根据充分条件、必要条件的定义逐项判断可得出结论.
【详解】
由题意得,,,,,,所以,,,
所以是的充要条件,是的充要条件,是的充要条件,
故选:BD.
12.(2022·江苏·高一单元测试)已知p:;q:.若p是q的必要不充分条件,则实数a的值可以是( )
A.﹣2 B. C. D.
【答案】BC
【解析】
根据集合关系将条件进行化简,利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论.
【详解】
由题意得,
当时,,
当时,,
因为p是q的必要不充分条件,所以Ü A,
所以时满足题意,当或时,也满足题意,解得或,
故选:BC.
【点睛】
本题考查利用集合间的关系判断命题间充分必要条件,属于中档题.
三、填空题
13.(2022·江苏·高一专题练习)已知,或,则p是q的________条件.
【答案】充分不必要
【解析】
【分析】
根据给定条件,利用充分条件、必要条件的定义直接判断作答.
【详解】
命题“若p,则q”:假设不正确,即且,则有与已知矛盾,即假设是错的,
于是得q是正确的,因此,“若p,则q”是真命题,即p是q的充分条件,
命题“若q,则p”:显然当时,有,而满足或,
于是得“若q,则p”是假命题,即p不是q的必要条件,
所以是q的充分不必要条件.
故答案为:充分不必要
14.(2022·安徽宣城·高一期中)已知,,若是的充分不必要条件,则实数的取值范围是______
【答案】
【解析】
【分析】
根据是的充分不必要条件,可得,从而可得出答案.
【详解】
解:因为是的充分不必要条件,
所以,
所以.
故答案为:.
15.(2022·上海虹口·高一期末)设:;:.若是的充分条件,则实数m的取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据给定条件可得所对集合包含于所对集合,再利用集合的包含关系列式作答.
【详解】
令所对集合为:,所对集合为:,
因是的充分条件,则必有,
于是得,解得,
所以实数m的取值范围为.
故答案为:
16.(2022·上海市大同中学高一阶段练习)已知或,或,若是的必要条件,则实数的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
【分析】
是的必要条件,即,分,两种情况讨论分析,即得解
【详解】
设或,或
若是的必要条件,则
(1)当时,即,此时,成立;
(2)当时,即,若,此时,无解.
综上:
故答案为:
四、解答题
17.(2022·江苏·徐州市第七中学高一期中)已知集合,.
(1)若,求实数的取值范围;
(2)若是的充分条件,求的取值范围.
【解析】
(1)解:因为,,且 ,
所以BÍA,则,
解得,
所以实数的取值范围是;
(2)因为是的充分条件,
所以AÍB,
则,
解得,
所以的取值范围是 .
18.(2022·广东·化州市第三中学高一阶段练习)已知其中.
(1)若是的充分不必要条件,求实数的取值范围;
(2)若是的必要不充分条件,求实数的取值范围.
【解析】
(1)设命题p:A={x|x 2>0},即p:A={x|x>2},命题q:B={x|ax 4>0},
因为p是q的充分不必要条件,所以A⫋B,.
即解得a>2
所以实数a的取值范围为
(2)
由(1)得p:A={x|x>2},q:B={x|ax 4>0},
因为是的必要不充分条件,
所以B⫋A,
①当a=0时,B=,满足题意;
②当a>0时,由B⫋A,得.>2,即0 ③当a<0时,显然不满足题意.
综合①②③得,实数a的取值范围为
19.(2022·甘肃·静宁县第一中学高一阶段练习)在下列命题中,试判断是的什么条件.
(1)p:x2>0,q:x>0;
(2):与都是奇数;:是偶数;
(3):一元二次方程有两个实数根,:;
【答案】(1)必要不充分条件;
(2)充分不必要条件;
(3)必要不充分条件;
【解析】
【分析】
根据充分、必要条件的知识进行逐一分析,由此确定正确结论.
(1)
由于,所以是的必要不充分条件.
(2)
由于,所以是的充分不必要条件.
(3)
对于,一元二次方程有两个实数根,则,
所以是的必要不充分条件.
20.(2022·河南驻马店·高一期末)已知集合,.
(1)若,求实数t的取值范围;
(2)若“”是“”的必要不充分条件,求实数t的取值范围.
【解析】
(1)解:由得解,所以,又
若,分类讨论:
当,即解得,满足题意;
当,即,解得时,
若满足,则必有或;
解得.
综上,若,则实数t的取值范围为.
(2)解:由“”是“”的必要不充分条件,则集合Ü,
若,即,解得,
若,即,即,则必有,解得,
综上可得,,
综上所述,当“”是“”的必要不充分条件时,即为所求.
21.(2022·江苏扬州·高一期末)已知集合,.
(1)若a=1,求;
(2)给出以下两个条件:①A∪B=B;②““是“”的充分不必要条件.
在以上两个条件中任选一个,补充到横线处,求解下列问题:
若_____________,求实数a的取值范围.(如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分)
【解析】
(1)当时,集合,因为,
所以;
(2)若选择①,则由A∪B=B,得.
当时,即,解得,此时,符合题意;
当时,即,解得,所以,解得:;
所以实数的取值范围是.
若选择②,则由““是“”的充分不必要条件,得A⫋B.
当时,,解得,此时A⫋B,符合题意;
当时,,解得,所以且等号不同时取,解得;
所以实数的取值范围是.
22.(2022·江苏·高一)已知集合
(1)判断8,9,10是否属于集合A;
(2)已知集合,证明:“”的充分条件是“”;但“”不是“”的必要条件;
(3)写出所有满足集合A的偶数.
【答案】(1),,;(2)证明见解析;(3)所有满足集合A的偶数为.
【解析】
【分析】
(1)由,即可证,若,而,列方程组判断是否存在整数解,即可判断10是否属于A.
(2)由,结合集合A的描述知,由(1),而,即可证结论;
(3)由集合A的描述:,讨论m,n同奇或同偶、一奇一偶,即可确定的奇偶性,进而写出所有满足集合A的偶数.
【详解】
(1),,,,
假设,,则,且,
∴,则或,显然均无整数解,
∴,
综上,有:,,;
(2)集合,则恒有,
∴,即一切奇数都属于A,又,而
∴“”的充分条件是“”;但“”不是“”的必要条件;
(3)集合,成立,
①当m,n同奇或同偶时,均为偶数,为4的倍数;
②当m,n一奇,一偶时,均为奇数,为奇数,
综上,所有满足集合A的偶数为.
【点睛】
关键点点睛:根据集合的性质,应用因式分解、恒等转化、代数式的奇偶性讨论,判断元素与集合的关系,证明条件间的充分、必要关系,确定满足条件的数集.
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