高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第二章 一元二次函数、方程和不等式2.1 等式性质与不等式性质精品当堂达标检测题

2.1 等式性质与不等式性质

【知识点梳理】

知识点一、符号法则与比较大小

实数的符号：

任意，则（为正数）、或（为负数）三种情况有且只有一种成立.

两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质：

①两个同号实数相加，和的符号不变

符号语言：；

②两个同号实数相乘，积是正数

符号语言：； 

③两个异号实数相乘，积是负数

符号语言：

④任何实数的平方为非负数，0的平方为0

符号语言：，.

比较两个实数大小的法则：

对任意两个实数、

①；

②；

③.

对于任意实数、，，，三种关系有且只有一种成立.

知识点诠释：这三个式子实质是运用实数运算来比较两个实数的大小关系.它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据.

知识点二、不等式的性质

不等式的性质可分为基本性质和运算性质两部分

基本性质有：

(1)对称性：

(2)传递性：

(3)可加性：(c∈R)

(4)可乘性：a>b，

运算性质有：

(1)可加法则：

(2)可乘法则：

(3)可乘方性：

知识点诠释：不等式的性质是不等式同解变形的依据.

知识点三、比较两代数式大小的方法

作差法：

任意两个代数式、，可以作差后比较与0的关系，进一步比较与的大小.

①；

②；

③.

作商法：

任意两个值为正的代数式、，可以作商后比较与1的关系，进一步比较与的大小.

①；

②；

③.

中间量法：

若且，则（实质是不等式的传递性）.一般选择0或1为中间量.

【题型归纳目录】

题型一：用不等式(组)表示不等关系

题型二：作差法比较两数(式)的大小

题型三：利用不等式的性质判断命题真假

题型四：利用不等式的性质证明不等式

题型五：利用不等式的性质比较大小

题型六：利用不等式的基本性质求代数式的取值范围

【典型例题】

题型一：用不等式(组)表示不等关系

例1．（2022·湖南·衡阳市田家炳实验中学高一阶段练习）铁路乘车行李规定如下：乘动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过Mcm.设携带品外部尺寸长、宽、高分别为a、b、c（单位：cm），这个规定用数学关系式可表示为（     ）

A．a + b + c ≤M B．a +b +c >M C．a + b + c ≥M D．a + b+ c <M

例2．（2022·贵州毕节·高一阶段练习）某学生月考数学成绩 x不低于100分，英语成绩 y 和语文成绩 z 的总成绩高于200分且低于240分，用不等式组表示为（       ）

A． B．

C． D．

例3．（2022·江苏淮安·高一期中）某公司准备对一项目进行投资，提出两个投资方案：方案为一次性投资万；方案 为第一年投资万，以后每年投资万.下列不等式表示“经过年之后，方案的投入不大于方案的投入”的是（       ）

A． B．

C． D．

例4．（2022·全国·高一课时练习）请根据“糖水加糖变得更甜了”提炼出一个不等式：______（设糖水为a克，含糖为b克，加入的糖为m克）．

例5．（2022·辽宁葫芦岛·高一期末）社会实践活动是青年学生按照学校培养目标的要求，利用节假日等课余时间参与社会政治、经济、文化生活的教育活动.通过社会实践活动，可以使学生丰富对国情的感性认识，加深对社会、对人民群众的了解，从而增强拥护和执行党的基本路线的自觉性；可以使学生在接触实际的过程中巩固和深化课堂知识，锻炼和增强解决实际问题的能力.某学校要建立社会实践活动小组，小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：①男学生人数多于女学生人数；②女学生人数多于教师人数；③教师人数的两倍多于男学生人数.若男学生人数为，则女学生人数的最小值为___________；若男学生人数未知，则该小组人数的最小值为___________.

【方法技巧与总结】

将不等关系表示成不等式(组)的思路

(1)读懂题意，找准不等式所联系的量.

(2)用适当的不等号连接.

(3)多个不等关系用不等式组表示.

题型二：作差法比较两数(式)的大小

例6．（2022·安徽·高一期中）已知，，，则的大小关系为（       ）

A． B． C． D．无法确定

例7．（2022·全国·高一课时练习）若，则下列不等式中一定成立的是（       ）

A． B． C． D．

例8．（2022·新疆克孜勒苏·高一期中）已知 ， ，则 _______ ．（填“>”或“<”）

例9．（2022·广西·高一阶段练习）（1）比较与的大小；

（2）已知，求证：．

例10．（2022·全国·高一课时练习）已知，试比较 的大小.

【方法技巧与总结】

作差法比较大小的步骤

题型三：利用不等式的性质判断命题真假

例11．（2022·四川成都·高一期末（文））若a，b为实数，下列命题正确的是（       ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

例12．（2022·陕西·咸阳市高新一中高一期中）如果，那么（       ）

A．  B．  C． D．

例13．（2020·新疆师范大学附属中学高一期末）若，则下列说法正确的是（       ）

A．若，，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则<

例14．（多选题）（2022·湖北·测试·编辑教研五高一阶段练习）下列命题为真命题的是（       ）

A．若，则

B．若，则

C．若，则

D．若，则

【方法技巧与总结】

运用不等式的性质判断真假的技巧

(1)首先要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不凭想当然随意捏造性质.

(2)解决有关不等式选择题时，也可采用特值法进行排除，注意取值一定要遵循以下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算.

题型四：利用不等式的性质证明不等式

例15．（2022·湖南·高一课时练习）利用不等式的性质证明下列不等式：

(1)若，，则；

(2)若，，则．

例16．（2022·全国·高一课时练习）已知，，，求证：

(1)；

(2).

例17．（2022·全国·高一课时练习）已知下列三个不等式：①，②，③，以其中两个作为条件，余下一个作为结论，可组成几个真命题？请证明你的结论.

例18．（2022·全国·高一课时练习）若，则.

(1)若存在常数，使得不等式对任意正数，恒成立，试求常数的值，并证明不等式：；

(2)证明不等式：.

【方法技巧与总结】

对利用不等式的性质证明不等式的说明

(1)不等式的性质是证明不等式的基础，对任意两个实数a，b有a-b>0⇒a>b；a-b=0⇒a=b；a-b<0⇒a<b.这是比较两个实数大小的依据，也是证明不等式的基础.

(2)利用不等式的性质证明不等式，关键要对性质正确理解和运用，要弄清楚每一条性质的条件和结论，注意条件的加强和减弱、条件和结论之间的相互联系.

(3)比较法是证明不等式的基本方法之一，是实数大小比较和实数运算性质的直接应用.

题型五：利用不等式的性质比较大小

例19．（2022·内蒙古·赤峰二中高一阶段练习（理））下列命题正确的是（       ）

A．若，则

B．若，则

C．若，则

D．若，则

例20．（2022·内蒙古·赤峰市元宝山区第一中学高一期中）若，则下列不等式不能成立的是（       ）

A． B． C． D．

例21．（多选题）（2022·江苏·扬州大学附属中学高一期中）已知，，下列不等式中正确的是（       ）

A． B． C． D．

例22．（多选题）（2022·广东·小榄中学高一阶段练习）对于实数，下列命题正确的是（       ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，，则

例23．（多选题）（2022·贵州贵阳·高一期末）下列说法正确的有（       ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

例24．（多选题）（2022·广东·深圳科学高中高一期中）下列说法正确的是（       ）

A．若，则 B．若，，则

C．，则 D．若，则

【方法技巧与总结】

注意点：

①记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用；

②应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则

题型六：利用不等式的基本性质求代数式的取值范围

例25．（2020·广东·新会陈经纶中学高一期中）已知，，则的取值范围是   

例26．（2022·徐州市第三十六中学（江苏师范大学附属中学）高一阶段练习）已知，则的取值范围为          

例27．（2022·吉林延边·高一期末）已知，，则的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

例28．（2020·浙江台州·高一期中）已知且，则的取值范围是         

例29．（多选题）（2022·新疆·乌鲁木齐市第70中高一阶段练习）已知实数x，y满足，则（       ）

A． B． C． D．

例30．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（文））已知且满足，则的取值范围是              

例31．（2022·福建·厦门市国祺中学高一期中）若，，，则t的取值范围为______．

例32．（2022·全国·高一期中）已知，且，则的取值范围是___________.

例33．（2022·湖北·车城高中高一阶段练习）（1）已知，，求和的取值范围；

（2）已知，，求的取值范围.

例34．（2022·湖北·武汉市钢城第四中学高一阶段练习）设，，求，，的范围.

【方法技巧与总结】

利用不等式的性质求取值范围的策略

建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围.如 已知20＜x＋y＜30，15＜x－y＜18，要求2x＋3y的范围，不能分别求出x，y的范围，再求2x＋3y的范围，应把已知的“x＋y”“x－y”视为整体，即2x＋3y＝(x＋y)－(x－y)，所以需分别求出(x＋y)，－(x－y)的范围，两范围相加可得2x＋3y的范围．“范围”必须对应某个字母变量或代数式，一旦变化出其他的范围问题，则不能再间接得出，必须“直来直去”，即直接找到要求的量与已知的量间的数量关系，然后去求．注意同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围.

【同步练习】

一、单选题

1．（2022·山西师范大学实验中学高二阶段练习）若，且，则下列不等式中一定成立的是（       ）

A． B． C． D．

2．（2022·宁夏·银川二中高二期中（理））已知且，则下列不等式中一定成立的是（       ）

A． B．

C． D．

3．（2022·湖北·随州市曾都区第一中学高一阶段练习）已知实数，满足，，则可能取的值为（     ）

A． B．0 C． D．

4．（2022·河南·夏邑第一高级中学高二期中（文））若a是实数，，，则P，Q的大小关系是（       ）

A． B．

C． D．由a的取值确定

5．（2022·重庆八中高三阶段练习）若a，b都是非零实数，满足，且，则下列不等式一定成立的是（       ）

A． B． C． D．

6．（2022·北京·北师大实验中学高二期中）古希腊时期，人们把宽与长之比为的矩形称为黄金矩形，把这个比值称为黄金分割比例.如图为希腊的一座古建筑，其中图中的矩形ABCD，EBCF，FGHC，FGJI，LGJK，MNJK均为黄金矩形，若M与K间的距离超过1.5米，C与F间的距离小于11米，则该古建筑中A与B间的距离可能是（       ）（参考数据：，，，，，）

A．30.3米 B．30.1米 C．29.2米 D．27.4米

7．（2020·湖北·襄阳市第二十四中学高一阶段练习）下列命题中，正确的是（       ）

A．若，， 则  B．若， 则

C．若，， 则 D．若，则

8．（2022·陕西·西安中学高二期末（文）），，，，设，则下列判断中正确的是（       ）

A． B． C． D．

二、多选题

9．（2022·海南中学高三阶段练习）若a，b，，则下列命题正确的是（       ）

A．若且，则 B．若，则

C．若且，则 D．

10．（2022·广东佛山·模拟预测）下列命题为真命题的是（       ）

A．若，，则 B．若，，则

C．若，则 D．若，，则

11．（2022·黑龙江·大庆外国语学校高一开学考试）若实数a，b，c，d满足，则以下不等式一定成立的是（       ）

A． B． C． D．

12．（2022·安徽·泾县中学高一阶段练习）已知实数满足，且，记，，则下列说法正确的是（       ）

A． B．

C． D．

三、填空题

13．（2022·新疆·莎车县第一中学高二期中（文））设，，，则，，的大小关系__________．

14．（2022·全国·高三专题练习）若，，设，则的最小值为__．

15．（2020·上海市晋元高级中学高一期中）给出下列命题：①若，，则；②若，，则；③对于正数，若，则.其中真命题的序号是__________.

16．（2022·全国·高一课前预习）已知，，且，记，，，则按从小到大的顺序排列是________.

四、解答题

17．（2022·河南·濮阳市油田第二高级中学高二阶段练习（文））（1），，其中x，y均为正实数，比较a，b的大小；

（2）证明：已知，且，求证：.

18．（2022·湖南·高一课时练习）回答下列问题：

(1)若，且，能否判断与的大小？举例说明．

(2)若，且，能否判断与的大小？举例说明．

(3)若，且，能否判断与的大小？举例说明．

(4)若，，且，，能否判断与的大小？举例说明．

19．（2022·湖南·高一课时练习）求证：

(1)若，且，则；

(2)若，且，同号，，则；

(3)若，且，则．

20．（2022·全国·高一课前预习）某人有楼房一幢，室内面积共，拟分割成大、小两类房间作为旅游客房，大房间面积为，可住游客5人，每名游客每天住宿费40元；小房间每间面积为，可住游客3人，每名游客每天住宿费50元；装修大房间每间需要1000元，装修小房间每间需要600元，如果他只能筹款8000元用于装修，试写出满足上述所有不等关系的不等式.

21．（2022·安徽·泾县中学高一阶段练习）（1）已知，求的取值范围；

（2）已知一桶食盐水中含有克食盐，克水，再在桶中添加克食盐和克水（假设食盐全部溶解，食盐水没有溢出）.请判断当满足什么样的关系式时，食盐水的浓度变大？变小？不变？

22．（2022·北京石景山·高一期末）若实数，，满足，则称比远离.

(1)若比远离，求实数的取值范围；

(2)若，，试问：与哪一个更远离，并说明理由.