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数学必修 第一册2.2 基本不等式精品课后练习题
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这是一份数学必修 第一册2.2 基本不等式精品课后练习题，文件包含22基本不等式解析版docx、22基本不等式原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共90页， 欢迎下载使用。
2.2 基本不等式
【知识点梳理】
知识点一：基本不等式
1.对公式及的理解.
（1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数；
（2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”.
2.由公式和可以引申出常用的常用结论
①（同号）；
②（异号）；
③或
知识点诠释： 可以变形为：，可以变形为：.
知识点二：基本不等式的证明
方法一：几何面积法
如图，在正方形中有四个全等的直角三角形.
设直角三角形的两条直角边长为、，那么正方形的边长为.这样，4个直角三角形的面积的和是，正方形的面积为.由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：.当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形缩为一个点，这时有.
得到结论：如果，那么（当且仅当时取等号“=”）
特别的，如果，，我们用、分别代替、，可得：
如果，，则，（当且仅当时取等号“=”）.
通常我们把上式写作：如果，，，（当且仅当时取等号“=”）
方法二：代数法
∵，
当时，；
当时，.
所以，（当且仅当时取等号“=”）.
知识点诠释：
特别的，如果，，我们用、分别代替、，可得：
如果，，则，（当且仅当时取等号“=”）.
通常我们把上式写作：
如果，，，（当且仅当时取等号“=”）.
知识点三：基本不等式的几何意义
如图，是圆的直径，点是上的一点，，，过点作交圆于点D，连接、.
易证，那么，即.
这个圆的半径为，它大于或等于，即，其中当且仅当点与圆心重合，即时，等号成立.
知识点诠释：
1.在数学中，我们称为的算术平均数，称为的几何平均数. 因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
2.如果把看作是正数的等差中项，看作是正数的等比中项，那么基本不等式可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.
知识点四：用基本不等式求最大（小）值
在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等.
① 一正：函数的解析式中，各项均为正数；
② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；
③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值.
知识点诠释：
1．两个不等式：与成立的条件是不同的，前者要求a，b都是实数，后者要求a，b都是正数.
2．两个不等式：与都是带有等号的不等式，对于“当且仅当……时，取“=”号这句话的含义要有正确的理解.
3．基本不等式的功能在于“和积互化”.若所证不等式可整理成一边是和，另一边是积的形式，则考虑使用平均不等式；若对于所给的“和式”中的各项的“积”为定值，则“和”有最小值，对于给出的“积式”中的各项的“和”为定值，则“积”有最大值.
4．利用两个数的基本不等式求函数的最值必须具备三个条件：
①各项都是正数；
②和（或积）为定值；
③各项能取得相等的值.
5．基本不等式在解决实际问题中有广泛的应用，在应用时一般按以下步骤进行：
①先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；
②建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；
③在定义域内，求出函数的最大或最小值；
④写出正确答案.
【题型归纳目录】
题型一：对基本不等式的理解及简单应用
题型二：利用基本不等式比较大小
题型三：利用基本不等式证明不等式
题型四：利用基本不等式求最值
1.直接法求最值
2.常规凑配法求最值
3.消参法求最值
4.换元求最值
5.“1”的代换求最值
6.法
7.条件等式求最值
题型五：利用基本不等式求解恒成立问题
题型六：基本不等式在实际问题中的应用
【典型例题】
题型一：对基本不等式的理解及简单应用
例1．（2022·全国·高一课时练习）若且，则下列不等式中恒成立的是（ ）．
A． B．
C． D．
例2．（2022·河南开封·高一阶段练习）若两个正数、满足，则下列各式中恒成立的是（ ）．
A． B． C． D．
例3．（2022·河北·沧州市一中高一阶段练习）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明，现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（ ）
A． B．
C． D．
例4．（2022·浙江·高三专题练习）已知正数，满足，则下列结论错误的是（ ）．
A． B．
C． D．
例5．（2022·江苏·高一专题练习）下列运用基本不等式求最值，使用正确的个数是（ ）
已知，求的最小值；解答过程：；
求函数的最小值；解答过程：可化得；
设，求的最小值；解答过程：，
当且仅当即时等号成立，把代入得最小值为4．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
例6．（2022·全国·高一专题练习）给出下面三个推导过程：
①∵a、b为正实数，∴＋＝2；
②∵a∈R，a≠0，∴＋a＝4；
③∵x、y∈R，xy＜0，∴＋＝－＝－2.
其中正确的推导为（ ）
A．①② B．①③
C．②③ D．①②③
【方法技巧与总结】
应用基本不等式时的三个关注点
(1)一正数：指式子中的a，b均为正数.
(2)二定值：只有ab为定值时才能应用基本不等式，因此有时需要构造定值.
(3)三相等：即“=”必须成立，求出的定值才是要求的最值.
题型二：利用基本不等式比较大小
例7．（2022·全国·高一专题练习）若a>0，b>0，则 与 的大小关系是_____.
例8．（2020·上海·高一专题练习）若，且，则中值最小的是__________
例9．（2022·全国·高一课时练习）若，，且，则在中最大的一个是_______.
例10．（2022·湖南·高一课时练习）已知，则与的大小关系是____________
例11．（2020·上海·高一课时练习）设a，，且，，则1，ab，的大小关系是________．
【方法技巧与总结】
利用基本不等式比较大小
在利用基本不等式比较大小时，应创设应用基本不等式的使用条件，合理地拆项、配凑或变形．在拆项、配凑或变形的过程中，首先要考虑基本不等式使用的条件，其次要明确基本不等式具有将“和式”转化为“积式”或者将“积式”转化为“和式”的放缩功能．
题型三：利用基本不等式证明不等式
例12．（2022·新疆乌鲁木齐·模拟预测（文））设a，b，c均为正数，且，证明：
(1)；
(2)．
例13．（2022·宁夏六盘山高级中学高二阶段练习（文））证明下列不等式：
(1)；
(2)（）.
例14．（2022·湖南·高一课时练习）设，为正实数，求证：．
例15．（2022·全国·高三专题练习）已知：，求证：.
例16．（2022·上海市徐汇中学高一阶段练习）已知，且，求证：
(1)；
(2).
【方法技巧与总结】
利用基本不等式证明不等式时应注意的问题
(1)注意基本不等式成立的条件；
(2)多次使用基本不等式，要注意等号能否成立；
(3)对不能直接使用基本不等式证明的可重新组合，形成基本不等式模型，再使用．
题型四：利用基本不等式求最值
1.直接法求最值
例17．（2022·全国·模拟预测（文））若实数a，b满足，则ab的最大值为（ ）
A．2 B．1 C． D．
例18．（2022·甘肃酒泉·模拟预测（理））若x，y为实数，且，则的最小值为（ ）
A．18 B．27 C．54 D．90
例19．（2022·四川·广安二中二模（文））若，且，则的最大值是_______________.
例20．（2022·全国·高三专题练习）已知正数、满足，则的最小值是___________.
2.常规凑配法求最值
例21．（2022·江西南昌·高一期末）当时，函数的最小值为___________．
例22．（2022·江苏·常州市北郊高级中学高一阶段练习）已知，且，则最大值为______．
例23．（2022·全国·高一专题练习）已知，则的最大值是______
例24．（2022·全国·高三专题练习）若，且，则的最小值为（ ）
A．3 B． C． D．
例25．（2022·河北邢台·高一阶段练习）若，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
例26．（2022·全国·高三专题练习（理））若 ，则有（ ）
A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值
3.消参法求最值
例27．（2022·安徽·泾县中学高一阶段练习）设正实数、、满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
例28．（2022·全国·高三专题练习（理））已知正实数a，b满足，则的最小值是（ ）
A．2 B． C． D．6
例29．（2022·浙江·高三专题练习）若正实数，满足，则的最大值为______．
4.换元求最值
例30．（2022·全国·高三专题练习）求下列函数的最小值
（1）；
（2）.
例31．（2020·上海·高一专题练习）求下列函数的最小值
（1）；
（2）；
（3）.
例32．（2022·全国·高三专题练习）若，且，则的最小值为_________
例33．（2022·天津南开·一模）若，，，，则的最小值为______．
5.“1”的代换求最值
例34．（2022·湖北宜昌·高一期中）已知 为正实数， 且 ， 则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
例35．（2022·浙江·金华市曙光学校高一阶段练习）已知 x，y＞0，当x+y＝2时，求的最小值（ ）
A． B． C． D．
例36．（2022·陕西·长安一中高一阶段练习）已知都是正数，且，则的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．3
例37．（2022·江西·高一期中）已知，，且，则的最小值是（ ）
A． B．2 C．9 D．4
例38．（2022·四川·树德中学高一阶段练习）已知正实数满足，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
例39．（2022·安徽宣城·高一期中）已知，，且，求的最小值为（ ）
A．25 B．18 C．13 D．12
例40．（2022·福建·厦门一中高一期中）已知p，q为正实数且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
例41．（2022·湖南·高一阶段练习）若，，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6.法
例42．（2022·全国·高三专题练习）已知，满足则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
7.条件等式求最值
例43．（2022·山东潍坊·二模）已知正实数a，b满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．2
例44．（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（文））已知，满足，则的最小值是（ ）
A． B． C．2 D．2
例45．（2022·山东泰安·模拟预测）已知，则的最小值是（ ）
A．2 B． C． D．3
例46．（2022·河北保定·二模）已知a，，且，则的最大值为（ ）
A．2 B．3 C． D．
【方法技巧与总结】
利用基本不等式求代数式的最值
(1)利用基本不等式求代数式的最值，要通过恒等变形以及配凑，使“和”或“积”为定值，从而求得代数式的最大值或最小值．
(2)若是求和式的最小值，通常化(或利用)积为定值；若是求积的最大值，通常化(或利用)和为定值，解答技巧都是恰当变形、合理拆分项或配凑因式．
题型五：利用基本不等式求解恒成立问题
例47．（2022·山东·牟平一中高一阶段练习）若存在，使成立，则的取值范围是___________.
例48．（2022·江苏·高一专题练习）若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是______．
例49．（2022·辽宁·高一期中）已知，，若不等式恒成立，则的最大值是______.
例50．（2022·全国·高一课时练习）设，且不等式恒成立，则实数k的最小值等于___________.
例51．（2022·江苏·高一专题练习）已知实数x、y满足，且不等式恒成立，则c的取值范围是
【方法技巧与总结】
利用基本不等式求解恒成立问题，通常通过分离参数转化为利用基本不等式求最值
题型六：基本不等式在实际问题中的应用
例52．（2020·全国·高一课时练习）为响应国家扩大内需的政策，某厂家拟在2019年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用t(t≥0)万元满足(k为常数)．如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1万件．已知2019年生产该产品的固定投入为6万元，每生产1万件该产品需要再投入12万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分)．
(1)将该厂家2019年该产品的利润y万元表示为年促销费用t万元的函数；
(2)该厂家2019年的年促销费用投入多少万元时厂家利润最大？
例53．（2021·广东·新会陈经纶中学高一期中）如图，公园的管理员计划在一面墙的同侧，用彩带围成四个相同的长方形区域.若每个区域的面积为m，要使围成四个区域的彩带总长最小，则每个区域的长和宽分别是多少米？求彩带总长的最小值.
例54．（2022·江苏南通·高一期末）为宣传2022年北京冬奥会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形，如图）上设计三个等高的宣传栏（栏面分别为一个等腰三角形和两个全等的直角梯形），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为.为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为.设直角梯形的高为.
(1)当时，求海报纸的面积；
(2)为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少（即矩形的面积最小）？
例55．（2022·贵州铜仁·高一期末）2020 年初至今，新冠肺炎疫情袭击全球，对人民生命安全和生产生活造成严重影响. 在党和政府强有力的抗疫领导下，我国控制住疫情后，一方面防止境外疫情输入，另一方面逐步复工复产，减轻经济下降对企业和民众带来的损失. 为降低疫情影响，某厂家拟在2022年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量) x万件与年促销费用m万元(m≥0)满足 x= 4−. 已知生产该产品的固定成本为 8万元，生产成本为16万元 / 万件，厂家将产品的销售价格定为万元 / 万件 (产品年平均成本)的1.5倍.
(1)将2022年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；
(2)该厂家2022年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？
【方法技巧与总结】
利用基本不等式解决实际问题的步骤
解实际问题时，首先审清题意，然后将实际问题转化为数学问题，再利用数学知识(函数及不等式性质等)解决问题.用基本不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：
(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数.
(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题.
(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值.
(4)正确写出答案.
【同步练习】
一、单选题
1．（2022·广东·梅州市梅江区梅州中学高一阶段练习）已知，则的最小值是( )
A．5 B．4 C．8 D．6
2．（2022·陕西安康·高一期中）若，，，则下列不等式恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·浙江浙江·高一期中）已知正数，满足，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2022·江西·芦溪中学高一阶段练习）下列结论中正确的是（ ）
A．若，则
B．
C．函数最小值为
D．若，则的最小值为
5．（2022·江苏·高一专题练习）若不等式对满足条件的恒成立，则实数k的最大值为（ ）
A．2 B．4
C．6 D．8
6．（2022·江苏·高一专题练习）设有三个推断：①的最小值为2；②时取等号的最小值为2；③，的最大值为以上三个推断中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．0
7．（2019·天津市红桥区教师发展中心高一期中）设是正实数，且，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·江苏·高一专题练习）已知，，若不等式恒成立，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2022·安徽·高一期中）下列不等式中正确的有（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
10．（2022·广东·化州市第三中学高一期中）已知，，则下列各式中一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
11．（2022·湖北十堰·高一阶段练习）已知，则（ ）
A．的最大值为
B．的最小值为4
C．的最小值为
D．的最小值为16
12．（2022·湖南·株洲二中高一阶段练习）早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算中项，几何中项以及调和中项毕达哥拉斯哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中，算术中项，几何中项的定义与今天大致相同，而今我们称为正数，的算术平均数，为正数，的几何平均数，并把这两者结合的不等式（，）叫做基本不等式，下列与基本不等式有关的命题中正确的是（ ）
A．若，，，则
B．若，，，则的最小值为
C．若，，，则的最小值为
D．若，，，则的最小值为2
三、填空题
13．（2018·浙江·长兴县教育研究中心高一期中）已知，，，则的最小值为__．
14．（2020·广东·新会陈经纶中学高一期中）已知，，且，则的最小值为_________
15．（2022·贵州·遵义市南白中学高一期末）已知正数x、y满足x+=4，则xy的最大值为_______.
16．（2020·江西·上高二中高一期末（理））已知，为正实数，且，则的最小值为___________.
四、解答题
17．（2022·江西省铜鼓中学高一阶段练习（文））（1）已知，且，求的最小值；
（2）已知是正数，且满足，求的最小值.
18．（2022·湖北·车城高中高一阶段练习）（1）已知，，，求的最小值；
（2）已知，求的最大值.
19．（2022·湖南·高一课时练习）如图，动物园要以墙体为背面，用钢筋网围成四间具有相同面积的矩形虎笼．
(1)现有可围长钢筋网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼的面积最大？
(2)若每间虎笼的面积为，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？
20．（2022·湖北·黄石市有色第一中学高一期中）（1）设，，且，求的取值范围；
（2）设，若，求的最大值．
21．（2022·湖南·高一课时练习）证明不等式：
(1)若，，，都是正数，求证：；
(2)若，，是非负实数，则；
(3)若，是非负实数，则；
(4)若，，则．
22．（2022·河南·高一期中）已知、、都是正数．
(1)求证：；
(2)若恒成立，求实数的取值范围．
2.2 基本不等式
【知识点梳理】
知识点一：基本不等式
1.对公式及的理解.
（1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数；
（2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”.
2.由公式和可以引申出常用的常用结论
①（同号）；
②（异号）；
③或
知识点诠释： 可以变形为：，可以变形为：.
知识点二：基本不等式的证明
方法一：几何面积法
如图，在正方形中有四个全等的直角三角形.
设直角三角形的两条直角边长为、，那么正方形的边长为.这样，4个直角三角形的面积的和是，正方形的面积为.由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：.当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形缩为一个点，这时有.
得到结论：如果，那么（当且仅当时取等号“=”）
特别的，如果，，我们用、分别代替、，可得：
如果，，则，（当且仅当时取等号“=”）.
通常我们把上式写作：如果，，，（当且仅当时取等号“=”）
方法二：代数法
∵，
当时，；
当时，.
所以，（当且仅当时取等号“=”）.
知识点诠释：
特别的，如果，，我们用、分别代替、，可得：
如果，，则，（当且仅当时取等号“=”）.
通常我们把上式写作：
如果，，，（当且仅当时取等号“=”）.
知识点三：基本不等式的几何意义
如图，是圆的直径，点是上的一点，，，过点作交圆于点D，连接、.
易证，那么，即.
这个圆的半径为，它大于或等于，即，其中当且仅当点与圆心重合，即时，等号成立.
知识点诠释：
1.在数学中，我们称为的算术平均数，称为的几何平均数. 因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
2.如果把看作是正数的等差中项，看作是正数的等比中项，那么基本不等式可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.
知识点四：用基本不等式求最大（小）值
在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等.
① 一正：函数的解析式中，各项均为正数；
② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；
③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值.
知识点诠释：
1．两个不等式：与成立的条件是不同的，前者要求a，b都是实数，后者要求a，b都是正数.
2．两个不等式：与都是带有等号的不等式，对于“当且仅当……时，取“=”号这句话的含义要有正确的理解.
3．基本不等式的功能在于“和积互化”.若所证不等式可整理成一边是和，另一边是积的形式，则考虑使用平均不等式；若对于所给的“和式”中的各项的“积”为定值，则“和”有最小值，对于给出的“积式”中的各项的“和”为定值，则“积”有最大值.
4．利用两个数的基本不等式求函数的最值必须具备三个条件：
①各项都是正数；
②和（或积）为定值；
③各项能取得相等的值.
5．基本不等式在解决实际问题中有广泛的应用，在应用时一般按以下步骤进行：
①先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；
②建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；
③在定义域内，求出函数的最大或最小值；
④写出正确答案.
【题型归纳目录】
题型一：对基本不等式的理解及简单应用
题型二：利用基本不等式比较大小
题型三：利用基本不等式证明不等式
题型四：利用基本不等式求最值
1.直接法求最值
2.常规凑配法求最值
3.消参法求最值
4.换元求最值
5.“1”的代换求最值
6.法
7.条件等式求最值
题型五：利用基本不等式求解恒成立问题
题型六：基本不等式在实际问题中的应用
【典型例题】
题型一：对基本不等式的理解及简单应用
例1．（2022·全国·高一课时练习）若且，则下列不等式中恒成立的是（ ）．
A． B．
C． D．
例2．（2022·河南开封·高一阶段练习）若两个正数、满足，则下列各式中恒成立的是（ ）．
A． B． C． D．
例3．（2022·河北·沧州市一中高一阶段练习）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明，现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（ ）
A． B．
C． D．
例4．（2022·浙江·高三专题练习）已知正数，满足，则下列结论错误的是（ ）．
A． B．
C． D．
例5．（2022·江苏·高一专题练习）下列运用基本不等式求最值，使用正确的个数是（ ）
已知，求的最小值；解答过程：；
求函数的最小值；解答过程：可化得；
设，求的最小值；解答过程：，
当且仅当即时等号成立，把代入得最小值为4．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
例6．（2022·全国·高一专题练习）给出下面三个推导过程：
①∵a、b为正实数，∴＋＝2；
②∵a∈R，a≠0，∴＋a＝4；
③∵x、y∈R，xy＜0，∴＋＝－＝－2.
其中正确的推导为（ ）
A．①② B．①③
C．②③ D．①②③
【方法技巧与总结】
应用基本不等式时的三个关注点
(1)一正数：指式子中的a，b均为正数.
(2)二定值：只有ab为定值时才能应用基本不等式，因此有时需要构造定值.
(3)三相等：即“=”必须成立，求出的定值才是要求的最值.
题型二：利用基本不等式比较大小
例7．（2022·全国·高一专题练习）若a>0，b>0，则 与 的大小关系是_____.
例8．（2020·上海·高一专题练习）若，且，则中值最小的是__________
例9．（2022·全国·高一课时练习）若，，且，则在中最大的一个是_______.
例10．（2022·湖南·高一课时练习）已知，则与的大小关系是____________
例11．（2020·上海·高一课时练习）设a，，且，，则1，ab，的大小关系是________．
【方法技巧与总结】
利用基本不等式比较大小
在利用基本不等式比较大小时，应创设应用基本不等式的使用条件，合理地拆项、配凑或变形．在拆项、配凑或变形的过程中，首先要考虑基本不等式使用的条件，其次要明确基本不等式具有将“和式”转化为“积式”或者将“积式”转化为“和式”的放缩功能．
题型三：利用基本不等式证明不等式
例12．（2022·新疆乌鲁木齐·模拟预测（文））设a，b，c均为正数，且，证明：
(1)；
(2)．
例13．（2022·宁夏六盘山高级中学高二阶段练习（文））证明下列不等式：
(1)；
(2)（）.
例14．（2022·湖南·高一课时练习）设，为正实数，求证：．
例15．（2022·全国·高三专题练习）已知：，求证：.
例16．（2022·上海市徐汇中学高一阶段练习）已知，且，求证：
(1)；
(2).
【方法技巧与总结】
利用基本不等式证明不等式时应注意的问题
(1)注意基本不等式成立的条件；
(2)多次使用基本不等式，要注意等号能否成立；
(3)对不能直接使用基本不等式证明的可重新组合，形成基本不等式模型，再使用．
题型四：利用基本不等式求最值
1.直接法求最值
例17．（2022·全国·模拟预测（文））若实数a，b满足，则ab的最大值为（ ）
A．2 B．1 C． D．
例18．（2022·甘肃酒泉·模拟预测（理））若x，y为实数，且，则的最小值为（ ）
A．18 B．27 C．54 D．90
例19．（2022·四川·广安二中二模（文））若，且，则的最大值是_______________.
例20．（2022·全国·高三专题练习）已知正数、满足，则的最小值是___________.
2.常规凑配法求最值
例21．（2022·江西南昌·高一期末）当时，函数的最小值为___________．
例22．（2022·江苏·常州市北郊高级中学高一阶段练习）已知，且，则最大值为______．
例23．（2022·全国·高一专题练习）已知，则的最大值是______
例24．（2022·全国·高三专题练习）若，且，则的最小值为（ ）
A．3 B． C． D．
例25．（2022·河北邢台·高一阶段练习）若，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
例26．（2022·全国·高三专题练习（理））若 ，则有（ ）
A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值
3.消参法求最值
例27．（2022·安徽·泾县中学高一阶段练习）设正实数、、满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
例28．（2022·全国·高三专题练习（理））已知正实数a，b满足，则的最小值是（ ）
A．2 B． C． D．6
例29．（2022·浙江·高三专题练习）若正实数，满足，则的最大值为______．
4.换元求最值
例30．（2022·全国·高三专题练习）求下列函数的最小值
（1）；
（2）.
例31．（2020·上海·高一专题练习）求下列函数的最小值
（1）；
（2）；
（3）.
例32．（2022·全国·高三专题练习）若，且，则的最小值为_________
例33．（2022·天津南开·一模）若，，，，则的最小值为______．
5.“1”的代换求最值
例34．（2022·湖北宜昌·高一期中）已知 为正实数， 且 ， 则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
例35．（2022·浙江·金华市曙光学校高一阶段练习）已知 x，y＞0，当x+y＝2时，求的最小值（ ）
A． B． C． D．
例36．（2022·陕西·长安一中高一阶段练习）已知都是正数，且，则的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．3
例37．（2022·江西·高一期中）已知，，且，则的最小值是（ ）
A． B．2 C．9 D．4
例38．（2022·四川·树德中学高一阶段练习）已知正实数满足，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
例39．（2022·安徽宣城·高一期中）已知，，且，求的最小值为（ ）
A．25 B．18 C．13 D．12
例40．（2022·福建·厦门一中高一期中）已知p，q为正实数且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
例41．（2022·湖南·高一阶段练习）若，，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6.法
例42．（2022·全国·高三专题练习）已知，满足则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
7.条件等式求最值
例43．（2022·山东潍坊·二模）已知正实数a，b满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．2
例44．（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（文））已知，满足，则的最小值是（ ）
A． B． C．2 D．2
例45．（2022·山东泰安·模拟预测）已知，则的最小值是（ ）
A．2 B． C． D．3
例46．（2022·河北保定·二模）已知a，，且，则的最大值为（ ）
A．2 B．3 C． D．
【方法技巧与总结】
利用基本不等式求代数式的最值
(1)利用基本不等式求代数式的最值，要通过恒等变形以及配凑，使“和”或“积”为定值，从而求得代数式的最大值或最小值．
(2)若是求和式的最小值，通常化(或利用)积为定值；若是求积的最大值，通常化(或利用)和为定值，解答技巧都是恰当变形、合理拆分项或配凑因式．
题型五：利用基本不等式求解恒成立问题
例47．（2022·山东·牟平一中高一阶段练习）若存在，使成立，则的取值范围是___________.
例48．（2022·江苏·高一专题练习）若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是______．
例49．（2022·辽宁·高一期中）已知，，若不等式恒成立，则的最大值是______.
例50．（2022·全国·高一课时练习）设，且不等式恒成立，则实数k的最小值等于___________.
例51．（2022·江苏·高一专题练习）已知实数x、y满足，且不等式恒成立，则c的取值范围是
【方法技巧与总结】
利用基本不等式求解恒成立问题，通常通过分离参数转化为利用基本不等式求最值
题型六：基本不等式在实际问题中的应用
例52．（2020·全国·高一课时练习）为响应国家扩大内需的政策，某厂家拟在2019年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用t(t≥0)万元满足(k为常数)．如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1万件．已知2019年生产该产品的固定投入为6万元，每生产1万件该产品需要再投入12万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分)．
(1)将该厂家2019年该产品的利润y万元表示为年促销费用t万元的函数；
(2)该厂家2019年的年促销费用投入多少万元时厂家利润最大？
例53．（2021·广东·新会陈经纶中学高一期中）如图，公园的管理员计划在一面墙的同侧，用彩带围成四个相同的长方形区域.若每个区域的面积为m，要使围成四个区域的彩带总长最小，则每个区域的长和宽分别是多少米？求彩带总长的最小值.
例54．（2022·江苏南通·高一期末）为宣传2022年北京冬奥会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形，如图）上设计三个等高的宣传栏（栏面分别为一个等腰三角形和两个全等的直角梯形），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为.为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为.设直角梯形的高为.
(1)当时，求海报纸的面积；
(2)为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少（即矩形的面积最小）？
例55．（2022·贵州铜仁·高一期末）2020 年初至今，新冠肺炎疫情袭击全球，对人民生命安全和生产生活造成严重影响. 在党和政府强有力的抗疫领导下，我国控制住疫情后，一方面防止境外疫情输入，另一方面逐步复工复产，减轻经济下降对企业和民众带来的损失. 为降低疫情影响，某厂家拟在2022年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量) x万件与年促销费用m万元(m≥0)满足 x= 4−. 已知生产该产品的固定成本为 8万元，生产成本为16万元 / 万件，厂家将产品的销售价格定为万元 / 万件 (产品年平均成本)的1.5倍.
(1)将2022年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；
(2)该厂家2022年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？
【方法技巧与总结】
利用基本不等式解决实际问题的步骤
解实际问题时，首先审清题意，然后将实际问题转化为数学问题，再利用数学知识(函数及不等式性质等)解决问题.用基本不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：
(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数.
(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题.
(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值.
(4)正确写出答案.
【同步练习】
一、单选题
1．（2022·广东·梅州市梅江区梅州中学高一阶段练习）已知，则的最小值是( )
A．5 B．4 C．8 D．6
2．（2022·陕西安康·高一期中）若，，，则下列不等式恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·浙江浙江·高一期中）已知正数，满足，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2022·江西·芦溪中学高一阶段练习）下列结论中正确的是（ ）
A．若，则
B．
C．函数最小值为
D．若，则的最小值为
5．（2022·江苏·高一专题练习）若不等式对满足条件的恒成立，则实数k的最大值为（ ）
A．2 B．4
C．6 D．8
6．（2022·江苏·高一专题练习）设有三个推断：①的最小值为2；②时取等号的最小值为2；③，的最大值为以上三个推断中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．0
7．（2019·天津市红桥区教师发展中心高一期中）设是正实数，且，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·江苏·高一专题练习）已知，，若不等式恒成立，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2022·安徽·高一期中）下列不等式中正确的有（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
10．（2022·广东·化州市第三中学高一期中）已知，，则下列各式中一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
11．（2022·湖北十堰·高一阶段练习）已知，则（ ）
A．的最大值为
B．的最小值为4
C．的最小值为
D．的最小值为16
12．（2022·湖南·株洲二中高一阶段练习）早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算中项，几何中项以及调和中项毕达哥拉斯哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中，算术中项，几何中项的定义与今天大致相同，而今我们称为正数，的算术平均数，为正数，的几何平均数，并把这两者结合的不等式（，）叫做基本不等式，下列与基本不等式有关的命题中正确的是（ ）
A．若，，，则
B．若，，，则的最小值为
C．若，，，则的最小值为
D．若，，，则的最小值为2
三、填空题
13．（2018·浙江·长兴县教育研究中心高一期中）已知，，，则的最小值为__．
14．（2020·广东·新会陈经纶中学高一期中）已知，，且，则的最小值为_________
15．（2022·贵州·遵义市南白中学高一期末）已知正数x、y满足x+=4，则xy的最大值为_______.
16．（2020·江西·上高二中高一期末（理））已知，为正实数，且，则的最小值为___________.
四、解答题
17．（2022·江西省铜鼓中学高一阶段练习（文））（1）已知，且，求的最小值；
（2）已知是正数，且满足，求的最小值.
18．（2022·湖北·车城高中高一阶段练习）（1）已知，，，求的最小值；
（2）已知，求的最大值.
19．（2022·湖南·高一课时练习）如图，动物园要以墙体为背面，用钢筋网围成四间具有相同面积的矩形虎笼．
(1)现有可围长钢筋网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼的面积最大？
(2)若每间虎笼的面积为，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？
20．（2022·湖北·黄石市有色第一中学高一期中）（1）设，，且，求的取值范围；
（2）设，若，求的最大值．
21．（2022·湖南·高一课时练习）证明不等式：
(1)若，，，都是正数，求证：；
(2)若，，是非负实数，则；
(3)若，是非负实数，则；
(4)若，，则．
22．（2022·河南·高一期中）已知、、都是正数．
(1)求证：；
(2)若恒成立，求实数的取值范围．
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