人教A版 (2019)必修 第一册3.1 函数的概念及其表示精品一课一练

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3.1 函数的概念及其表示
【知识点梳理】
知识点一：函数的概念
1．函数的定义
设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合A到集合B的一个函数．
记作：，．
其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．
知识点诠释：
（1）A、B集合的非空性；（2）对应关系的存在性、唯一性、确定性；（3）A中元素的无剩余性；（4）B中元素的可剩余性．
2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域
①构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全—致，即称这两个函数相等（或为同一函数）；
②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全—致，而与表示自变量和函数值的字母无关．
3．区间的概念
（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；
（2）无穷区间；
（3）区间的数轴表示．
区间表示：
；
； ；
； ．

知识点二：函数的表示法
1．函数的三种表示方法：
解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．优点：简明，给自变量求函数值．
图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系． 优点：直观形象，反应变化趋势．
列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系． 优点：不需计算就可看出函数值．
2．分段函数：
分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．
知识点三：函数定义域的求法
（1）确定函数定义域的原则
①当函数是以解析式的形式给出时，其定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合．具体地讲，就是考虑分母不为零，偶次根号的被开方数、式大于或等于零，零次幂的底数不为零以及我们在后面学习时碰到的所有有意义的限制条件．
②当函数是由实际问题给出时，其定义域不仅要考虑使其解析式有意义，还要有实际意义．
③当函数用表格给出时，函数的定义域是指表格中实数的集合．
（2）抽象函数定义域的确定
所谓抽象函数是指用表示的函数，而没有具体解析式的函数类型，求抽象函数的定义域问题，关键是注意对应法则．在同一对应法则的作用下，不论接受法则的对象是什么字母或代数式，其制约条件是一致的，都在同一取值范围内．
（3）求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示．
知识点四：函数值域的求法
实际上求函数的值域是个比较复杂的问题，虽然给定了函数的定义域及其对应法则以后，值域就完全确定了，但求值域还是特别要注意讲究方法，常用的方法有：
观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数的图象的“最高点”和“最低点”，观察求得函数的值域；
配方法：对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域方法求函数的值域；
判别式法：将函数视为关于自变量的二次方程，利用判别式求函数值的范围，常用于一些“分式”函数等；此外，使用此方法要特别注意自变量的取值范围；
换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，将复杂的函数化归为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围来求函数的值域．
求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，除了上述常用方法外，还有最值法、数形结合法等．总之，求函数的值域关键是重视对应法则的作用，还要特别注意定义域对值域的制约．
【题型归纳目录】
题型一：函数的概念
题型二：给出解析式求函数的定义域
题型三：抽象函数求定义域
题型四：给出函数定义域求参数范围
题型五：同一函数的判断
题型六：给出自变量求函数值
题型七：求函数的值域
题型八： 求函数的解析式
题型九： 分段函数求值、不等式问题
题型十： 区间的表示与定义
题型十一：函数的图象
【典型例题】
题型一：函数的概念
例1．（2022·浙江·余姚市实验高中高一开学考试）下列解析式中，y不是x的函数的是（       ）
A． B．
C． D．
【方法技巧与总结】
函数的定义（特别是它的“取元任意性，取值唯一性”）是解决某些问题的关键．
例2．（2022·全国·高一课时练习）下列图形能表示函数图象的是（       ）
A． B．
C． D．
例3．（2022·陕西·武功县普集高级中学高一阶段练习）下列对应中：
（1），其中，；
（2），其中，，；
（3），其中y为不大于x的最大整数，，；
（4），其中，，.
其中，是函数的是（       ）
A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（3）（4）
例4．（2022·四川省绵阳第一中学高一期中）下列是从集合A到集合B的函数的是（       ）
A．，对应法则
B．，，对应法则
C．，对应法则
D．，，对应法则
例5．（多选题）（2022·全国·高一课时练习）已知集合，，给出下列四个对应法则，其中能构成从集合M到集合N的对应关系的是（       ）
A． B． C． D．
例6．（多选题）（2022·江苏·高一期中）存在函数f(x)满足：对任意的实数x都有（       ）
A． B．
C． D．
例7．（2022·全国·高一课时练习）直线x＝a与函数的图象的交点个数是______．
题型二：给出解析式求函数的定义域
例8．（2022·四川省内江市第二中学高一开学考试）函数中，自变量的取值范围是（       ）
A． B． C．且 D．
【方法技巧与总结】
小结几类函数的定义域：
（1）如果是整式，那么函数的定义域是实数集R；
（2）如果是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合；
（3）如果是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合；
（4）如果是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；（即求各集合的交集）
（5）满足实际问题有意义．
当函数解析式是由多个式子构成时，要使这多个式子对同一个自变量x有意义，必须取使得各式有意义的各个不等式的解集的交集，因此，要列不等式组求解．
例9．（2022·全国·高一单元测试）函数的定义域为______．
例10．（2022·全国·高三专题练习）已知，则的定义域为  （       ）
A． B． C．且 D．且
例11．（2022·福建省安溪第一中学高一阶段练习）已知等腰三角形的周长为40，设其底边长为ycm，腰长为xcm.则函数的定义域为（       ）
A． B． C． D．
例12．（2022·全国·高一课时练习）已知矩形的周长为定值，设它的一条边长为，则矩形面积的函数的定义域为（       ）
A． B． C． D．
例13．（2022·全国·高一单元测试）函数的定义域为（       ）
A． B．
C． D．
例14．（2022·全国·高一课时练习）求下列函数的定义域.
(1)；
(2).




题型三：抽象函数求定义域
例15．（2022·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高三阶段练习）的定义域为，则的定义域为（       ）
A． B． C． D．
【方法技巧与总结】
求抽象函数的定义域，一要理解定义域的含义是的取值范围；二要运用整体思想，也就是在同一对应关系下括号内的范围是一样的．
例16．（2022·全国·高一期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（       ）
A． B． C． D．
例17．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为__________．
例18．（2022·全国·高一课时练习）已知函数的定义域为，求函数的定义域．




例19．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，求函数的定义域．




例20．（2022·全国·高一课时练习）若函数的定义域为，则函数的定义域为______；若函数的定义域为，则函数的定义域为______.
例21．（2022·全国·高一课时练习）（1）已知函数的定义域为，则函数的定义域为______；
（2）已知函数的定义域为，则的定义域为______．
题型四：给出函数定义域求参数范围
例22．（2022·浙江·玉环中学高一阶段练习）已知函数分别由下表给出：






















下列能满足的的值是（       ）
A． B． C． D．
【方法技巧与总结】
利用转化与化归思想．
例23．（2022·重庆八中高三开学考试）已知，若，则_____.
例24．（2022·四川省南充高级中学高一期中）若（其中a，b，c为常数），若，则______.
题型五：同一函数的判断
例25．（2022·天津南开·高一期末）下列各组函数是同一函数的是（       ）
①与；       ②与；
③与；       ④与
A．①② B．①③ C．③④ D．①④
【方法技巧与总结】
函数概念含有三个要素，即定义域，值域和对应法则，其中核心是对应法则，它是函数关系的本质特征．只有当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一函数，换言之就是：
（1）定义域不同，两个函数也就不同；
（2）对应法则不同，两个函数也是不同的．
（3）即使定义域和值域都分别相同的两个函数，它们也不一定是同一函数，因为函数的定义域和值域不能唯一地确定函数的对应法则．
例26．（2022·新疆·和硕县高级中学高一阶段练习）在下列四组函数中，与表示同一函数的是（       ）
A．， B．，
C．， D．，
例27．（多选题）（2022·全国·高一单元测试）下列函数中，与函数不是同一个函数的是（       ）
A． B． C． D．
例28．（多选题）（2022·重庆·巫山县官渡中学高一阶段练习）下列各组函数是同一函数的是（       ）
A．与 B．与
C．与 D．与
例29．（多选题）（2022·广东·梅州市梅江区梅州中学高一阶段练习）下列选项中能表示同一个函数的是（       ）
A．与 B．与
C．， D．，
题型六：给出自变量求函数值
例30．（2022·吉林油田高级中学高一开学考试）已知函数对任意x，，总有，若，则（       ）
A．－3 B．－2 C．－1 D．0
【方法技巧与总结】
求函数值时，遇到复合函数，一般有里层函数与外层函数之分，如f（g（x）），里层函数就是g（x），外层函数就是f（x），其对应关系可以理解为，类似的g（f（x））为，类似的函数，需要先求出最里层的函数值，再求出倒数第二层，直到最后求出最终结果．
例31．（2022·全国·高一课时练习）已知，．
（1）计算：____________；
（2）计算：____________．
例32．（2022·全国·高一专题练习）已知函数，，则______，______．
例33．（2022·广东·广州外国语学校高一阶段练习）已知函数．
(1)求的定义域；
(2)求的值；
(3)当时，求a的值．




例34．（2022·全国·高一课时练习）已知函数．
(1)求，的值；
(2)求证：的定值；
(3)求的值．




例35．（2022·全国·高一专题练习）已知函数，则____.
例36．（2022·黑龙江·哈九中模拟预测（文））已知函数对于任意的正实数x，y满足，且，则=______．
题型七：求函数的值域
例37．（2022·全国·高三专题练习）若函数的最大值为，最小值为，则（       ）
A．4 B．6
C．7 D．8
【方法技巧与总结】
求值域还是特别要注意讲究方法，常用的方法有：
观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数的图象的“最高点”和“最低点”，观察求得函数的值域；
配方法：对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域方法求函数的值域；
判别式法：将函数视为关于自变量的二次方程，利用判别式求函数值的范围，常用于一些“分式”函数等；此外，使用此方法要特别注意自变量的取值范围；
换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，将复杂的函数化归为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围来求函数的值域．
例38．（多选题）（2022·全国·高一课时练习）下列函数中，值域为的是（       ）
A． B． C． D．
例39．（多选题）（2022·江西景德镇·高一期中）定义，若函数，且在区间上的值域为，则区间长度可能为（       ）
A． B． C． D．
例40．（2022·全国·高一专题练习）函数的值域是_________.
例41．（2022·全国·高一课时练习）函数的值域是__________．
例42．（2022·安徽·合肥市第六中学高一阶段练习）已知，且，则的取值范围是___________.
例43．（2022·浙江省杭州学军中学高一期中）设非零实数a，b满足，若函数存在最大值M和最小值m，则_________.
例44．（2022·全国·高一课时练习）求下列函数的值域：
(1)；
(2)
(3)；
(4)．




例45．（2022·全国·高一专题练习）求的最小值.




例46．（2022·全国·高三专题练习）求函数的值域.




例47．（2022·上海·高一专题练习）已知函数的值域为[1，3]，求的值




例48．（2022·全国·高一课前预习）求下列函数的值域：
(1)y＝2x＋1；
(2)y＝x2－4x＋6，x∈[1，5)；
(3)y＝；
(4)y＝x＋．




例49．（2022·全国·高一课时练习）求下列函数的值域：
(1)；
(2)；
(3)．
(4)．




例50．（2022·全国·高一课时练习）函数；
①的值域是__________；
②的值域是__________．
题型八： 求函数的解析式
例51．（2022·全国·高一课时练习）已知是一次函数，，，则（       ）
A． B． C． D．
【方法技巧与总结】
（1）解析式类型已知的，如本例（1），一般用待定系数法，对于二次函数问题要注意对一般式，顶点式和两点式的选择．
（2）已知求的问题，方法一是用配凑法；方法二是用换元法．
（3）函数方程问题，需建立关于的方程组，如本例（3），若函数方程中同时出现、，则一般用代之，构造另一个方程．
例52．（2022·全国·高一课时练习）已知函数，则函数的解析式为（       ）
A． B．
C． D．
例53．（2022·广西北海·高二期末（文））若函数，且，则实数的值为（       ）
A． B．或 C． D．3
例54．（2022·全国·高一专题练习）已知，则有（       ）
A． B．
C． D．
例55．（2022·全国·高一课时练习）已知，则的值域为______.
例56．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f(x)满足3f(x﹣1)+2f(1﹣x)=2x，则f(x)的解析式为___________.
例57．（2022·全国·高一单元测试）若函数，则______．
例58．（2022·全国·高一课时练习）（1）已知是二次函数，且满足，，求函数的解析式；
（2）已知，求函数的解析式；
（3）已知是R上的函数，，并且对任意的实数x，y都有，求函数的解析式.




例59．（2022·全国·高一课时练习）（1）已知，求的解析式；
（2）已知，求函数的解析式；
（3）已知是二次函数，且满足，，求函数的解析式；
（4）已知，求的解析式．




例60．（2022·全国·高一课时练习）设是一次函数，且，求的解析式.




例61．（2022·全国·高一课时练习）已知函数.求函数的解析式；




例62．（2022·全国·高一课时练习）已知，求的解析式.




例63．（2022·江苏·高一专题练习）求下列函数的解析式：
(1)已知f＝x2＋，求f(x)的解析式；
(2)已知求f(x)的解析式.




题型九： 分段函数求值、不等式问题
例64．（2022·黑龙江哈尔滨·高三开学考试）已知函数，则（       ）
A．0 B． C． D．1
【方法技巧与总结】
分段函数问题往往需要进行分类讨论，根据分段函数在其定义域内每段的解析式不同，然后分别解决，即分段函数问题，分段解决．
（1）由实际问题决定的分段函数，要写出它的解析式，就是根据实际问题需要分成几类，就分成几段，求解析式时，先分段分别求出它的解析式，在综合在一起即可．
（2）注意分段函数的解析式，最后要把各段综合在一起写成一个函数，分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数．
例65．（2022·全国·高一课时练习）已知函数
(1)求，，的值；
(2)若，求实数a的值；
(3)若，求实数m的取值范围．




例66．（2022·全国·高一课时练习）已知函数的解析式.
(1)求；
(2)若，求a的值；
(3)画出的图象，并写出函数的值域（直接写出结果即可）.




例67．（2022·云南玉溪·高一期中）已知函数.
(1)求.
(2)若f（a）≤5，求a的取值范围.




例68．（2022·辽宁·东港市第二中学高一开学考试）已知函数，若，则（       ）
A． B． C． D．
例69．（2022·江苏宿迁·高一期中）设函数，则满足的 x 的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
例70．（2022·全国·高一课时练习）已知函数，则的解集为（       ）
A． B．
C． D．
例71．（2022·全国·高一专题练习）设函数，若，则实数的值为_____．
例72．（2022·全国·高一课时练习）已知函数，则___________.
题型十： 区间的表示与定义
例73．（2022·江苏·高一）下列集合不能用区间的形式表示的个数为（       ）
①；②；③；④；⑤；⑥．
A．2 B．3 C．4 D．5
【方法技巧与总结】

例74．（2022·全国·高一课时练习）用区间表示下列集合.
（1）______；
（2）______.
例75．（2022·全国·高一课时练习）将下列集合用区间表示出来．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)或．




例76．（2022·全国·高一课时练习）已知区间，则的取值范围为______．
例77．（2022·全国·高一课时练习）将集合用区间表示为___________.
题型十一：函数的图象
例78．（2022·全国·高一专题练习）某人去上班，先快速走，后中速走．如果表示该人离单位的距离，表示出发后的时间，那么下列图象中符合此人走法的是（       ）
A． B．
C． D．
【方法技巧与总结】
先把要画的函数图象进行变形，依据所学习过的基本函数图象，通过函数图象的平移、对称和翻折得到要求的图象．
例79．（2022·全国·高一专题练习）如图1，四边形ABCD中，AB∥CD，．动点P从点B出发，沿折线方向以a单位/秒的速度匀速运动，在整个运动过程中，△BCP的面积S与运动时间t（秒）的函数图象如图2所示，则四边形ABCD的面积是______．

例80．（2022·全国·高一单元测试）画出下列函数的图象，并说出函数的定义域､值域：
(1)；
(2)；
(3)；
(4).




例81．（2022·全国·高一课时练习）作出下列函数的图象：
(1)；
(2)．




【同步练习】
一、单选题
1．（2022·全国·高一单元测试）函数的定义域是（       ）
A． B． C． D．
2．（2022·广西·兴安县第二中学高一期中）下列各组函数是同一函数的是（       ）
①与；       ②与；
③与；               ④与.
A．①② B．①③ C．②③④ D．①③④
3．（2022·全国·高一专题练习）某人去上班，先快速走，后中速走．如果表示该人离单位的距离，表示出发后的时间，那么下列图象中符合此人走法的是（       ）
A． B．
C． D．
4．（2022·陕西·长安一中高一阶段练习）如果函数对任意满足，且，则（       ）
A．2022 B．2024 C．2020 D．2021
5．（2022·全国·高一专题练习）拟定从甲地到乙地通话m分钟的话费（单位：元）由函数给出，其中是不小于m的最小整数，例如，，那么从甲地到乙地通话5分钟的话费为（       ）
A．3.71元 B．4.24元 C．4.7元 D．7.95元
6．（2022·浙江衢州·高一期中）已知函数满足，，则（       ）
A． B． C． D．
7．（2022·全国·高一课时练习）函数的值域是（       ）
A． B． C． D．
8．（2022·天津南开·高一期末）定义区间，，，的长度均为，用表示不超过的最大整数，例如，，记，设，，若用表示不等式解集区间的长度，则当时有（       ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2022·湖北·宜昌市一中高一期中）已知，则（       ）
A． B． C． D．
10．（2022·安徽·东至县第三中学高一期中）给出下列四个命题是真命题的是：（       ）
A．函数与函数表示同一个函数；
B．函数与直线（常数）有且仅有一个交点；
C．函数的图象可由的图象向右平移1个单位得到；
D．若函数的定义域为，则函数的定义域为．
11．（2022·全国·高一单元测试）已知函数关于函数的结论正确的是（       ）
A．的定义域为R B．的值域为
C．若，则x的值是 D．的解集为
12．（2022·广东·大埔县虎山中学高一阶段练习）已知定义域为的函数，若对任意，存在正数，都有成立，则称函数是定义域为上的“有界函数”．已知下列函数：
（1）；（2）；（3）；（4）．
其中“有界函数”是（       ）
A．（1） B．（2） C．（3） D．（4）
三、填空题
13．（2022·江西省铜鼓中学高一期末）函数对于任意实数x满足条件，若，则______.
14．（2022·山东·陵城一中高一期中）某市出租车收费标准：路程不超过2千米，收费为8元；路程超过2千米但不超过8千米的部分，每千米车费为元；路程超过8千米的部分，每千米车费为元,若该乘客所付车费为元，求出租车行驶的路程是____________．
15．（2022·浙江·玉环中学高一阶段练习）已知函数，则满足等式的实数的取值范围是______．
16．（2022·全国·高一课时练习）已知，则_____________．
四、解答题
17．（2022·全国·高一课时练习）在①，②，且，③恒成立，且这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答.问题：已知二次函数的图像经过点（1，2），______.
(1)求的解析式；
(2)求在上的值域.




18．（2022·全国·高一课时练习）已知，.
(1)求，的值；
(2)求，的值；
(3)求，的值域.




19．（2022·全国·高一专题练习）已知函数是定义在上的函数，且对任意，都有，，求.




20．（2022·吉林·长春外国语学校高一开学考试）求解下列问题：
(1)已知函数的定义域为，求函数的定义域.
(2)已知是一次函数，且满足，求.




21．（2022·全国·高一课时练习）（1）已知，求函数的解析式；
（2）已知是二次函数，且满足，，求函数的解析式；
（3）已知，求函数的解析式；
（4）已知的定义在R上的函数，，且对任意的实数x，y都有，求函数的解析式．




22．（2022·全国·高一课时练习）设函数的定义域与函数的定义域的交集为D，若对任意的，都有，则称函数是集合M的元素．
(1)判断函数和是不是集合M中的元素，并说明理由；
(2)设函数，且（k，b为常数，且k≠0），试求函数的解析式；
(3)已知 ，，试求实数a，b应满足的关系．