高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.2 三角函数的概念优秀课后作业题

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5．2．2 同角三角函数的基本关系
【知识点梳理】
知识点一：同角三角函数的基本关系式
（1）平方关系：
（2）商数关系：
知识点诠释：
（1）这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角（使得函数有意义的前提下）关系式都成立；
（2）是的简写；
（3）在应用平方关系时，常用到平方根，算术平方根和绝对值的概念，应注意“”的选取．
知识点二：同角三角函数基本关系式的变形
1、平方关系式的变形：
，，
2、商数关系式的变形
，．
【方法技巧与总结】
（1）求值题型：已知一个角的某个三角函数值，求该角的其他三角函数值．
①已知一个角的一个三角函数值及这个角所在象限，此类情况只有一组解；
②已知一个角的一个三角函数值但该角所在象限没有给出，解题时首先要根据已知的三角函数值确定这个角所在的象限，然后分不同情况求解；
③一个角的某一个三角函数值是用字母给出的，这时一般有两组解．
求值时要注意公式的选取，一般思路是“倒、平、倒、商、倒”的顺序很容易求解，但要注意开方时符号的选取．
（2）化简题型：化简三角函数式的一般要求是：①化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的．②对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．③对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造，以降低函数次数，达到化简的目的．
（3）证明题型：证明三角恒等式和条件等式的实质是消除式子两端的差异，就是有目标的化简．化简、证明时要注意观察题目特征，灵活、恰当选取公式．证明恒等式常用以下方法：①证明一边等于另一边，一般是由繁到简．②比较法：即证左边－右边＝0或＝1（右边）．
【题型归纳目录】
题型一：已知某个三角函数值求其余的三角函数值
题型二：已知的值，求关于、的齐次式的值问题
题型三：与关系的应用
题型四：利用同角关系化简三角函数式
题型五：利用同角关系证明三角恒等式

【典型例题】
题型一：已知某个三角函数值求其余的三角函数值
例1．（2022·全国·高一课时练习）已知是第二象限角，，则等于（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】任意角的三角函数
∵，∴，
，是第二象限角∴.
故选：A
例2．（2022·全国·高一课时练习）已知角的终边在直线上，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题设知：，即，且，
所以，而终边在第二或四象限，
所以.
故选：C
例3．（2022·全国·高一课时练习）已知，，则的值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由，得．又，所以，．结合得，，所以．
故选：B．
变式1．（2022·全国·高一课时练习）已知，且，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，且，所以，
．
故选：C．
变式2．（2022·河南·新乡市第一中学高一阶段练习）（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
因为，所以，所以.
故选：B
变式3．（2022·浙江·杭州高级中学高一期末）已知，且，则的值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意得，则，
故选：D
变式4．（2022·新疆·柯坪湖州国庆中学高一期末）若为第三象限角，且，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意，.
故选：D
变式5．（2022·贵州·凯里一中高一期中）若，且满足，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由得，∴或，
因为，，所以.
由及得，∴，
所以．
故选：A
【方法技巧与总结】
利用同角三角函数基本关系式求值的常用技巧：
（1）巧用“1”进行变形，如等．
（2）平方关系式需开方时，应慎重考虑符号的选取．
题型二：已知的值，求关于、的齐次式的值问题
例4．（2022·全国·高一课时练习）已知，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，
故选：C．
例5．（2022·全国·高一课时练习）若，则的值是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，
所以

.
故选：A
例6．（2022·全国·高一课时练习）已知，则＝（    ）
A． B．2 C． D．6
【答案】A
【解析】因为
所以




故选：A
变式6．（2022·四川·德阳五中高一阶段练习）若函数的图象经过定点，且点在角的终边上，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】对于函数，
令，解得，所以，所以函数恒过定点，
又点在角的终边上，所以，
所以；
故选：A
变式7．（2022·云南德宏·高一期末）若，则（    ）
A． B．-3 C． D．3
【答案】B
【解析】由，
故选：B
变式8．（2022·辽宁·凌源市实验中学高一阶段练习）已知，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为
故
故选:C.
变式9．（2022·陕西汉中·高一期中）已知，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意得．
故选：C.
变式10．（2022·江西·赣州市赣县第三中学高一阶段练习）已知，则（    ）
A． B． C．2 D．3
【答案】B
【解析】．
故选：B．
【方法技巧与总结】
①减少不同名的三角函数，或化切为弦，或化弦为切，如涉及、的齐次分式问题，常采用分子分母同除以（），这样可以将被求式化为关于的式子，从而完成被求式的求值；
②在求形如的值，注意将分母的1化为代入，转化为关于的表达式后再求值．
题型三：与关系的应用
例7．（2022·全国·高一课时练习）已知，，则______．
【答案】
【解析】，解得.
因为，，所以.
所以，
又，所以．
故答案为：
例8．（2022·全国·高一课时练习）已知，则______．
【答案】
【解析】因为，平方得，所以，
所以．
故答案为：
例9．（2022·上海南汇中学高一阶段练习）已知，则的值为_____．
【答案】【解析】因，则，即，
而，，于是有，
所以.
故答案为：
变式11．（2022·辽宁·沈阳市第一二〇中学高一阶段练习）已知，则的值为___________.
【答案】
【解析】因为，
所以，所以，
所以，
因为，所以，
所以，
由，得，
所以，
故答案为：
变式12．（2022·全国·高一课时练习）已知，则sin αcos α的值为_____．
【答案】
【解析】，两边平方得：，即，解得：.
故答案为：
变式13．（2022·吉林·梅河口市第五中学高一期中）已知，则_________．
【答案】
【解析】由题意得，
所以，
所以
因为，所以，
所以，又，
解得，
所以.
故答案为：
变式14．（2022·浙江省桐庐中学高一阶段练习）已知，，则 __________ .
【答案】
【解析】因为，所以，即，
因为，
所以，
所以.
故答案为：.
【方法技巧与总结】
三角函数求值中常见的变形公式
（1），，三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”，它们的关系是：；.
（2）求或的值，要根据的范围注意判断它们的符号．
题型四：利用同角关系化简三角函数式
例10．（2022·江苏·高一）若0<α<，则＋的化简结果是_________.
【答案】2cos
【解析】原式
，
∵，∴，∴，，
∴原式.
故答案为：.
例11．（2022·安徽省舒城中学高一开学考试）化简
(1)
(2)
(3)
【解析】（1）
；
（2）；
（3）
.
例12．（2022·全国·高一课时练习）已知．
(1)求的值；
(2)求的值．
【解析】（1）解法一：∵，，
∴，
分子分母同时除以，得，
即，解得．
解法二：∵，∴，
即，∴
∴．
（2）∵，∴．
变式15．（2022·全国·高一课时练习）化简：．
【解析】




．
变式16．（2022·全国·高一课时练习）已知关于的方程的两个根为，，，求：
(1)的值；
(2)方程的两根及此时的值．
【解析】（1）.
（2）由（1）得，
所以，解得，
所以方程的两根为，
又因为，
所以，此时；或，此时．
变式17．（2022·全国·高一课时练习）化简：
(1)；
(2)．
【解析】(1)cos40°﹣sin40°；
(2)原式=


.
【方法技巧与总结】
化简要求
（1）项数尽量少；（2）次数尽量低；（3）分母、根式中尽量不含三角函数；（4）尽量不含根式；（5）能求值的尽可能求值．
题型五：利用同角关系证明三角恒等式
例13．（2022·全国·高一）（1）化简：tan（其中α为第二象限角）；
（2）求证：1．
【解析】（1）；
（2）左边右边.
例14．（2022·全国·高一课时练习）求证：
(1)；
(2).
【解析】（1）

.
所以原式成立.
（2）.
所以原式成立.
例15．（2022·全国·高一课时练习）求证：
(1)
(2)
【解析】（1）根据同角的三角函数关系进行转化证明即可．
(1)左边右边.
即证.
(2)左边
右边.
即证：.
变式18．（2022·全国·高一专题练习）求证：sin4α+cos4α＝1﹣2sin2αcos2α
【解析】证明：左边＝（sin2α+cos2α）2﹣2sin2αcos2α＝1﹣2sin2αcos2α＝右边，
则sin4α+cos4α＝1﹣2sin2αcos2α．
变式19．（2022·全国·高一课时练习）求证：
(1)＝；
(2)
【解析】（1）左边=
=右边.
（2）左边=

=右边.
变式20．（2022·全国·高一课时练习）求证：＝.
【解析】证明：∵右边＝
＝
＝
＝＝＝左边，
∴＝.
变式21．（2022·江苏·高一课时练习）（1）求证：tan2αsin2α=tan2α-sin2α；
（2）已知tan2α=2tan2β+1，求证：2sin2α=sin2β+1.
【解析】解析：（1）tan2αsin2α=tan2α（1-cos2α）=tan2α-tan2αcos2α=tan2α-sin2α，则原等式得证.
（2）因为tan2α=2tan2β+1，所以+1=2，即，
从而2cos2α=cos2β，
于是2-2sin2α=1-sin2β，也即2sin2α=sin2β+1，则原等式得证.
【方法技巧与总结】
证明三角恒等式时，可以从左边推到右边，也可以从右边推到左边，本着化繁就简的原则，即从较繁的一边推向较简的一边；还可以将左、右两边同时推向一个中间结果；有时候改证其等价命题更为方便．但是，不管采取哪一种方式，证明时都要“盯住目标，据果变形”．化简证明过程中常用的技巧有：弦切互化，运用分式的基本性质变形，分解因式，回归定义等．
【同步练习】
一、单选题
1．（2022·安徽省舒城中学高一开学考试）已知，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，且，所以，
所以，
故选：A
2．（2022·全国·高一课时练习）已知，，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以，
因为，所以，
整理得，解得或，
由，得，，所以，
所以，所以．
故选：B.
3．（2022·全国·高一课时练习）化简的结果是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】．
故选：D
4．（2022·河南驻马店·高一期末）已知，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，，
则可解得，所以.
故选：A.
5．（2022·江西九江·高一期末）化简：（是第二、三象限角）（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】．
当是第二、第三象限角时， 原式．
故选：C．
6．（2022·河南·南阳中学高一阶段练习）已知，，则下列结论正确的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以，
可得，
因为，所以，所以，故A错误，
又由，可得所以，故D错误，
联立方程组，解得，故B正确，
由，故C错误.
故选：B.
7．（2022·四川省成都市新都一中高一期中（理））已知，，且，设，则的值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，，
所以是方程的两个根，
则，，
∵，
化简得：或，
∵，即，
∴．
则，
，
故选：A．
8．（2022·辽宁·大连二十四中高一期中）已知中，若，则（    ）
A． B． C．或 D．或
【答案】A
【解析】，
或，

或，
，
故选：A．
二、多选题
9．（2022·广西钦州·高一期末）已知，，则下列结论正确的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【解析】由 …①，以及  ，
对等式①两边取平方得 ， …②，
，，由②， ，
由①② ， 可以看作是一元二次方程 的两个根，
解得 ， ，
故A正确，B正确，C错误，D正确；
故选：ABD.
10．（2022·海南鑫源高级中学高一期末）若，则正确的结论为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【解析】依题意，，
，所以，
将代入得，，
所以AC选项正确，BD选项错误.
故选：AC
11．（2022·福建·莆田一中高一开学考试）的值可能为（    ）
A．3 B． C．1 D．
【答案】ABCD
【解析】由题得，
当在第一象限时，原式；
当在第二象限时，原式；
当在第三象限时，原式；
当在第四象限时，原式.
故选：ABCD
12．（2022·全国·高一课时练习）已知，，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】因为，所以，解得，故A正确；
又因为，，所以，，，
所以，故B错误；

，故C正确；

，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题
13．（2022·河南信阳·高一期中）如果，且，那么的值是_________ .
【答案】
【解析】由，得
代入整理得：
，或
又，，，
，则．
故答案为：．
14．（2022·全国·高一课时练习）如果，那么___________.
【答案】1
【解析】由，
得．
故答案为：1．
15．（2022·全国·高一课时练习）已知，则 _____.
【答案】
【解析】因为 ，所以
故答案为：
16．（2022·全国·高一）若，则__．
【答案】1
【解析】因为，所以，
所以，
所以，
所以，
故答案为：1.
四、解答题
17．（2022·湖南·株洲市南方中学高一阶段练习）（1）已知，求的值
（2）已知，当时，求的值.
【解析】（1）由，可得，所以
则
.
（2）因为，可得，
所以
因为且，所以，可得
又由，所以，
联立方程组，解得，
所以.
18．（2022·全国·高一课时练习）已知，.求：
(1)；
(2).
【解析】（1）∵，
∴，即，则，
∴，
而，故，，
∴，则.
（2）.
19．（2022·全国·高一课时练习）在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面横线中，并解答.
若，且___________，求的值.
【解析】若选条件①，
由两边平方得，
∴，即，
可得，即，
得，解得或.
若选条件②，
∵，
∴，
即，化简得，
∴，即，
得，解得或.
20．（2022·江西·南昌二中高一阶段练习）已知．
(1)求的值；
(2)求的值．
【解析】(1)
，
解得：
(2)

21．（2022·宁夏·银川二中高一期末）（1）已知，求的值；
（2）已知，且，求的值.
【解析】（1）由知
  原式=
（2）    
又         
原式===
22．（2022·江西南昌·高一期末）人脸识别技术应用在各行各业，改变着人类的生活，所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别人脸对象的身份.在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用的测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.假设二维空间两个点，，曼哈顿距离.
余弦相似度：.
余弦距离：.
(1)若，，求A，B之间的和余弦距离；
(2)已知，，，若，，求的值.
【解析】（1），
，所以余弦距等于；
（2）由得

,
同理：由得，
故，
即，
则.