高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质精品同步达标检测题

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5．4．1 正弦函数、余弦函数的图象
【知识点梳理】
知识点一：正弦函数图象的画法
1、描点法：
按照列表、描点、连线三步法作出正弦函数图象的方法．
2、几何法
利用三角函数线作出正弦函数在内的图象，再通过平移得到的图象．
3、五点法
先描出正弦曲线的波峰、波谷和三个平衡位置这五个点，再利用光滑曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线在一个周期内的图象．
在确定正弦函数在上的图象形状时，起关键作用的五个点是
知识点诠释：
（1）熟记正弦函数图象起关键作用的五点．
（2）若，可先作出正弦函数在上的图象，然后通过左、右平移可得到的图象．
知识点二：正弦曲线
（1）定义：正弦函数的图象叫做正弦曲线．
（2）图象

知识点诠释：
（1）由正弦曲线可以研究正弦函数的性质．
（2）运用数形结合的思想研究与正弦函数有关的问题，如，方程根的个数．
知识点三：用三角函数图象解三角不等式的方法
1、作出相应正弦函数或余弦函数在上的图象；
2、写出适合不等式在区间上的解集；
3、根据公式一写出不等式的解集．

【题型归纳目录】
题型一：五点作图法作正弦函数、余弦函数的简图
题型二：含绝对值的三角函数
题型三：解三角不等式问题
题型四：与三角函数有关的零点问题
题型五：识图问题

【典型例题】
题型一：五点作图法作正弦函数、余弦函数的简图
例1．（2022·湖南·高一课时练习）画出下列函数的简图：
(1)，；
(2)，．
【解析】(1)因为，，
取值列表：







0





0
1
0

0
描点连线，可得函数图象如图示：

(2)因为，
取值列表：







1
0


1
描点连线，可得函数图象如图示：

例2．（2022·全国·高一课时练习）分别作出下列函数的图象．
(1)y＝2cos x，x∈[0，2π]．
(2)y＝sin，x∈.
【解析】(1)①列表：
x
0

π
    
2π
cos x
1
0
－1
0
1
2cos x
2
0
－2
0
2
②描点连线如图．

(2)①列表：
x
－

    π
    π
π
x＋
0
    
π
    π
2π
sin
0
1
0
－1
0
②描点连线如图．

例3．（2022·全国·高一课时练习）在所给的平面直角坐标系中，利用五点法画出函数的图象．

【解析】列表：
x
0





0
1
0
-1
0

1
0
1
2
1
描点作图，如图所示：

变式1．（2022·全国·高一课时练习）作出函数在上的图象.
【解析】令，列表如下：
X
0




x





y
0

0

0
描点连线得图象如图所示.

变式2．（2022·全国·高一课时练习）已知函数，用五点法作出函数的图像.
【解析】列表描点作图

    

【方法技巧与总结】
1、五点作图法：作正弦曲线、余弦曲线要理解几何法作图，掌握五点法作图．“五点”即或的图象在内的最高点、最低点和与x轴的交点．
2、图象变换：平移变换、对称变换、翻折变换．
题型二：含绝对值的三角函数
例4．（2022·江苏·高一单元测试）作出函数，的大致图像．
【解析】函数，
其图如下所示：

例5．（2022·上海·高一课时练习）分别作出函数和的图像．
【解析】的图像为将在轴下方的图像沿轴翻折所得；
的图像为在轴右方的图像不变，再将轴右方的图像沿轴翻折所得，故有：

    

例6．（2022·上海·高一课时练习）作出函数在内的图像．
【解析】化简得到，画出函数图像，如图所示：

变式3．（2022·全国·高一课前预习）作函数的图象.
【解析】
故的图象实际就是的图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方后得到的图象，如图

【方法技巧与总结】
分类讨论解决绝对值问题
题型三：解三角不等式问题
例7．（2022·全国·高一课时练习）不等式的解集是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】

如图所示，不等式，的解集为
故选：A
例8．（2022·全国·高一课时练习）不等式的解集为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
函数图象如下所示：

，
不等式的解集为：．
故选：．
例9．（2022·甘肃·嘉峪关市第一中学高一期中）已知定义在区间的函数，则函数的解集是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】作出函数图像，如图，

所以由函数图像得的解集为
故选：C.
变式4．（2022·全国·高一课时练习）已知是定义在上的函数，的图象如图所示，那么不等式的解集是（    ）

A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】当时，，由可得，解得；
当时，，由可得，解得.
因此，不等式的解集为.
故选：C.
变式5．（2022·陕西·吴起高级中学高一阶段练习）不等式的解集为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为，
所以，
如图所示：

，
所以不等式的解集为.
故选：B
变式6．（2022·全国·高一课时练习）不等式的解集是________.
【答案】或
【解析】在内,直线,与函数的图像的交点的横坐标分别为,,,,
所以满足不等式的解集为.或
故答案为：或
变式7．（2022·全国·高一专题练习）函数的定义域为______．
【答案】
【解析】由题意得，解得，
令k=-1，解得，
令k=0，解得，
令k=1，解得，
综上，定义域为.
故答案为：
变式8．（2022·广西·钦州一中高一期中）函数的定义域为_____________ .
【答案】
【解析】对数的真数必须大于零
则
即

解之得：（）
故答案为：（）
变式9．（2022·全国·高一课时练习）求函数的定义域．
【答案】
【解析】要使函数有意义，需．
即，结合正弦函数的图象，可知，

在区间上，适合条件的x的取值范围是．
所以该函数的定义域是．
故答案为：.
【方法技巧与总结】
用三角函数的图象解（或）的方法
（1）作出直线，作出（或）的图象．
（2）确定（或）的x值．
（3）确定（或）的解集．
题型四：与三角函数有关的零点问题
例10．（2022·湖南·高一课时练习）函数，的图象与直线的交点有________个．
【答案】2
【解析】作，的图象及直线如下所示，知两函数图象有两个交点．

故答案为：2
例11．（2022·全国·高一单元测试）与交点个数为________个．
【答案】
【解析】作出函数与的大致图象，如图：

因为，，，，
且两个函数图象均关于原点对称，所以两个函数图象有个交点，
故答案为：
例12．（2022·上海·高一课时练习）若函数与x轴有5个交点，则实数a的取值范围是___________.
【答案】.
【解析】的图像如下图所示：

因为与轴有5个交点，
由图象可知：，
故答案为：.
变式10．（2022·全国·高一课时练习）若方程在上有两个不同的实数根，则实数a的取值范围为______．
【答案】
【解析】作出，与的大致图象，如图所示．
由图象，可知，即，故实数a的取值范围为．

故答案为：.
变式11．（2022·江苏·高一单元测试）已知关于的方程在上有两个不同的实数解，则实数的取值范围为______．
【答案】
【解析】由题意得：，因为，所以，画出函数图象如下：要想保证有两个不同的实数解，则只需与函数图象有两个交点，显然，解得：

故答案为：
变式12．（2022·全国·高一专题练习）设，函数，若方程有且只有两个不相等的实数根，则a的取值范围是_________
【答案】
【解析】由题意得，在上仅有两个不同的解，
即在上仅有两个不同的解，
即在上仅有两个不同的解，
设，则在上的图象与直线仅有两个交点，
作出及直线的图象如下图所示，

由图象可知，．
故答案为：．
变式13．（2022·上海·高一专题练习）方程有________个实数根．
【答案】6
【解析】作出函数与的图象如图：

因为时，，
时，，，
时，，，
时，，，
所以由图可知，函数与的图象有6个交点.
所以方程有6个实数根.
故答案为：6
变式14．（2022·上海·高一课时练习）求函数和的图像的交点个数．
【解析】由解得，又的值域为，
且在定义域上单调递增，
作出函数与的图象如图：
由图象可知两个图象的交点个数为3个，

变式15．（2022·海南华侨中学高一期末）已知函数.
(1)用“五点法”做出函数在上的简图；
(2)若方程在上有两个实根，求a的取值范围.
【解析】(1)列表：
x
0





1

1
3
1
作图：

(2)若方程在上有两个实根，
则与在上有两个不同的交点，
因为，所以
作出函数在的图象，如下图所示：

又，，，，
由图象可得，或，
故a的取值范围是.
变式16．（2022·江西·南昌市新建区第一中学高一阶段练习）已知函数.

（1）先列表，用“五点作图法”在给定的坐标系中，画出函数在上的图象；
（2）求方程在区间内的所有实数根之和.
【解析】（1），，列表如下：

0













1
2
0

0
1

(2)由图象可知方程有两根，且关于直线对称，所以.
【方法技巧与总结】
方程的根（或函数零点）问题：三角函数的图象是研究函数的重要工具，通过图象可较简便的解决问题，这正是数形结合思想方法的应用．
题型五：识图问题
例13．（2022·河南南阳·高一期末）已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（    ）

A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】对于A，，
所以函数为偶函数，故排除A；
对于D，，故排除D；
对于C，，
则，
所以函数为奇函数，故排除C.
故选：B.
例14．（2022·全国·高一课时练习）与图中曲线对应的函数可能是（    ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】对于A选项，当时，，A选项不满足条件；
对于B选项，当时，，，B选项不满足条件；
对于C选项，当时，，C选项不满足条件；
对于D选项，令，该函数的定义域为，
，故函数为偶函数，
当时，，D选项满足条件.
故选：D.
例15．（2022·全国·高一学业考试）函数的大致图象是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】函数是定义域上的奇函数
其图象关于原点对称，排除选项D；
当时，，此时，
∴当时，的图象在轴上方，排除选项B；
当时，，的图象在轴下方，排除选项C；
综上所述，函数的大致图象为选项A.
故选：A.
变式17．（2022·全国·高一课时练习）函数的部分图象是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】定义域为R.
∵，
∴为奇函数，其图像关于原点对称，排除A、B；
对于CD，令，解得：，即有三个零点，如图示，
取，有，
∵，∴.
排除C；
故选：D
变式18．（2022·浙江·高一期末）函数在上的图象可能是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】，是奇函数，排除AB，
在时，由复合函数单调性知是增函数，且，又增函数，且，
所以是增函数，而是增函数，所以是增函数，排除D．
故选：C．
变式19．（2022·全国·高一专题练习）分别对应于函数，，，的图象的正确顺序是（    ）．

A．①②③④ B．②①③④ C．①②④③ D．②①④③
【答案】A
【解析】根据题意，依次分析4个函数：
对于，其定义域为，有，是偶函数，与图象①对应；
对于，其定义域为，有，是奇函数，与图象②对应；
对于，其定义域为，与图象③对应；
对于，其定义域为，时，，时，，与图象④对应；
故选：A．
【方法技巧与总结】
利用排除法，从定义域、奇偶性、代数三个方面进行排除．
【同步练习】
一、单选题
1．（2022·上海理工大学附属中学高一期中）函数与函数的图像的交点个数是（    ）
A．3 B．6 C．7 D．9
【答案】C
【解析】的最小正周期是，，
时，，作出函数和的图象，只要观察的图象，由图象知它们有7个交点，
故选：C．

2．（2022·湖南·新邵县教研室高一期末）函数在的图象大致为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题意，关于原点对称，又，为奇函数，可排除C，D选项；
又时，可得，可排除A选项，B选项正确.
故选：B.
3．（2022·全国·高一课时练习）已知关于的方程在内有解，那么实数的取值范围（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】方程在内有解，即在内有解，
令，，则，
所以，解得.
故选：C.
4．（2022·江西省万载中学高一阶段练习）已知函数在上恰有三个零点，则的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，所以，
又函数在上恰有三个零点，等价于函数在区间上恰有三个零点，
由正弦函数的性质可知，，
所以，即的取值范围为.
故选：D.
5．（2022·全国·高一课时练习）函数的部分图象大致为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为，所以是奇函数，排除C，D．
当时，，排除B．
故选：A．
6．（2022·广东清远·高一期末）已知函数，的图象与直线有两个交点，则的最大值为（       ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】D
【解析】由可得，
所以当时，由与有两个交点可得的最大值为
所以则的最大值为
故选：D
7．（2022·全国·高一课时练习）函数零点的个数为（    ）
A．4 B．3 C．2 D．0
【答案】A
【解析】由，得，
所以函数零点的个数等于图象的交点的个数，
函数的图象如图所示，

由图象可知两函数图象有4个交点，
所以有4个零点，
故选：A
8．（2022·天津市红桥区教师发展中心高一期末）设且，若对恒成立，则a的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】当时，由函数与的图象可知不满足题意；

当时，函数单调递减，由图知，要使对恒成立，只需满足，得.

故选：C
二、多选题
9．（2022·全国·高一专题练习）函数的图象与直线的交点个数可能是（    ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】ABCD
【解析】由题意知，，
，
在坐标系中画出函数的图象如图所示：

由其图象知，当直线，时，，的图象，与直线有且仅有两个不同的交点．
当直线，或时，，的图象，与直线有且仅有三个不同的交点．
当直线，时，，的图象，与直线有且仅有一个不同的交点．
当直线，时，，的图象，与直线无交点．
故选：ABCD．
10．（2022·全国·高一课时练习）下列选项能使有意义的m的值为（    ）
A． B． C． D．或
【答案】BC
【解析】∵，
∴，
∴
解得.
∴选项BC能使有意义
故选：BC
11．（2022·江苏省盱眙中学高一阶段练习）函数，的图象与直线（为常数，且）的交点可能有（    ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】BC
【解析】如图画出函数，的图象，
当时，函数图象与直线有1个交点，
当时，函数图象与直线有2个交点，
当时，函数图象与直线有1个交点，
当时，函数图象与直线有2个交点，
当时，函数图象与直线有1个交点，

综上可知，函数图象与直线，有1个或2个交点.
故选:BC
12．（2022·全国·高一课时练习）关于函数，的图象与直线（为常数）的交点情况，下列说法正确的是（    ）
A．当或时，有0个交点 B．当或时，有1个交点
C．当时，有2个交点 D．当时，有2个交点
【答案】AB
【解析】根据函数的解析式作出函数的图象如图所示,

对于选项A，当或时，有0个交点，故A正确；
对于选项B，当或时，有1个交点，故B正确；
对于选项C，当时，只有1个交点，故C错误；
对于选项D，当时，只有1个交点，故D错误．
故选:AB．
三、填空题
13．（2022·全国·高一专题练习）已知函数，，则该函数的图像与直线的交点坐标是______．
【答案】
【解析】函数，的图象与直线的交点坐标即为方程组
，的解.
则，解得
函数，的图象与直线的交点坐标是.
故答案为：  .
14．（2022·全国·高一课时练习）用“五点法”作函数，的大致图像，所取的五点是______．
【答案】，，，，
【解析】因为，
所以，
所以由正弦函数“五点法”知，应取，
即，
所以得到五个点分别为：，，，，
故答案为：，，，，
15．（2022·全国·高一课时练习）函数的定义域是______．
【答案】
【解析】由题意知：，即，可得，
所以函数的定义域为，
故答案为：
16．（2022·湖南·新邵县教研室高一期末）若函数恰有三个不同的零点，则_________.
【答案】
【解析】

由题意得，在上有3个不同的实数根，即和在上有3个不同的交点，
令，则，画出函数的图象，结合图象可知，即.
故答案为：.
四、解答题
17．（2022·全国·高一课前预习）求函数的定义域.
【解析】要使函数有意义，则必有，即.
解得：，
所以该函数的定义域为：.
18．（2022·湖南·高一课时练习）作出下列函数在一个周期图象的简图：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)函数图象见解析
(2)函数图象见解析
(3)函数图象见解析
(4)函数图象见解析
【分析】
根据五点作图法列表、描点、连线即可得到函数图象；
(1)因为，取值列表：







0





0

0

0
描点连线，可得函数图象如图示：

(2)因为，取值列表：







0





0
2
0

0
描点连线，可得函数图象如图示：

(3)因为，取值列表：







0





1
3
1

1
描点连线，可得函数图象如图示：

(4)因为，取值列表：







0





2
0


2
描点连线，可得函数图象如图示：

19．（2022·全国·高一专题练习）已知函数.

（1）完成下列表格，并用五点法在下面直角坐标系中画出在上的简图；

0










（2）求不等式的解集.
【解析】（1）由函数，可得完成表格如下：

0





1



1
可得在的大致图象如下：

（2）由，可得，即，
当时，由，得.
又由函数的最小正周期为，
所以原不等式的解集为().
20．（2022·全国·高一课时练习）已知函数
（1）作出该函数的图象；
（2）若，求的值；
（3）若，讨论方程的解的个数．
【解析】（1）的函数图象如下：


（2）当时，，解得，
当时，，解得或，
综上，或或；
（3）方程的解的个数等价于与的图象的交点个数，
则由（1）中函数图象可得，
当或时，解的个数为0；
当或时，解的个数为1；
当时，解的个数为3．