第一次月考押题卷（测试范围：第一章、第二章）-高一数学新教材同步配套教学讲义（人教A版2019必修第一册）

第一次月考押题卷

（考试时间：120分钟  试卷满分：150分）

注意事项：

1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．

4．测试范围：第一章、第二章

5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

第Ⅰ卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，则下列选项中说法不正确的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由题意得，集合．所以，B错误；

由于空集是任何集合的子集，所以A正确；

因为，所以C、D中说法正确．

故选：B．

2．设全集，若，，则集合（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】因为全集，由，

得，又，

所以．

故选：D．

3．设：实数，满足且；：实数，满足；则是的（       ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】因为且，所以，即成立；

反之若，满足，如，但不满足 且，即不成立，

所以是的充分不必要条件．

故选：A．

4．若，下列命题正确的是（       ）

A．若，则 B．，若，则

C．若，则 D．，，若，则

【答案】C

【解析】对于A，当时，，故A错误；

对于B，当时，，故B错误；

对于C，若，则，故C正确；

对于D，当时，，故D错误，

故选：C．

5．若不等式的解集为R，则实数m的取值范围是（       ）

A． B．

C．或 D．

【答案】B

【解析】由题设，，

当时，恒成立，满足要求；

当，可得；

综上，．

故选：B

6．已知，，且，则的最小值是（       ）

A． B．2 C．9 D．4

【答案】A

【解析】由题意可得．因为，，所以，则，

当且仅当，时，等号成立．

故选：A

7．在R上定义运算．若不等式对任意实数x都成立，则实数a的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由，得，即，

令，此时只需，

又，

所以，即，解得．

故选：A．

8．若整数集的子集满足条件：对任何，，都有，就称是封闭集．下列命题中错误的是　　

A．若是封闭集且，则一定是无限集

B．对任意整数，，是封闭集

C．若是封闭集，则存在整数，使得中任何元素都是的整数倍

D．存在非零整数，和封闭集，使得，，但，的最大公约数

【答案】D

【解析】由封闭集定义可得，

若非零整数，则即，

进一步得和，

从而，，，都在中

可知A正确，

对于B，由，，

可得，

可知B正确，

对于D，设、，与为互质的整数，显然由B知，故D错误，C正确；

故选：D

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．已知不等式的解集为，其中，则以下选项正确的有（       ）

A． B．

C．的解集为 D．的解集为或

【答案】AD

【解析】因为不等式的解集为，

所以是方程的两个根，且，故A正确，

则，即，

因为，则，所以，故B错误；

不等式化为，

即，即，

因为，所以，则不等式的解集为或，故C错误，D正确．

故选：AD．

10．设集合，，则下列选项中，满足的实数a的取值范围可以是（　　）

A．{a|0≤a≤6} B．{a|a≤2或a≥4}

C．{a|a≤0} D．{a|a≥8}

【答案】CD

【解析】∵集合，满足，

∴或，解得或．

∴实数a的取值范围可以是{a|a≤0}或{a|a≥8}．

故选：CD．

11．下列叙述中正确的是（       ）

A．命题“，”的否定是“，”

B．“”是“”的充要条件

C．已知，则是的必要不充分条件

D．若“”的必要不充分条件是“”，则实数m的取值范是

【答案】ACD

【解析】对于A：命题“，”的否定是“，”，故A正确；

对于B：，当时，不成立；当，是也不一定成立；故B错误；

对于C：由推不出，但时成立，故C正确；

对于D：“”的必要不充分条件是“”，

则，解得，故D正确；

故选：ACD

12．已知，则（       ）

A．的最大值为

B．的最小值为4

C．的最小值为

D．的最小值为16

【答案】BCD

【解析】由得：，

因为，所以，所以，

由基本不等式可得：

当且仅当时，等号成立，此时，

解得：或，

因为，所以舍去，故的最大值为2，A错误；

由得：，

因为，所以，所以，

由基本不等式可得：，当且仅当时等号成立，

即，解得：或，

因为，所以舍去，

故的最小值为4，B正确；

由变形为，则，

由基本不等式得：，当且仅当时等号成立，

此时，令，则由，

解得：或（舍去）

所以的最小值为，C正确；

由可得：，

从而

当且仅当时，即，等号成立，

故最小值为16．

故选：BCD.

第Ⅱ卷

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知，，，，则实数_____，____，_____．

【答案】     6     9     8

【解析】，

由，解得．

由，解得，

故．

所以方程有两个相等的根为3，

所以，且，

解得，．

综上知，．，

故答案为：6，9，8

14．某年级先后举办了数学、历史、音乐讲座，其中有75人听了数学讲座，68人听了历史讲座，61人听了音乐讲座，17人同时听了数学、历史讲座，12人同时听了数学、音乐讲座，9人同时听了历史、音乐讲座，还有6人听了全部讲座，则听讲座人数为__________．

【答案】172

【解析】

，

（人．

故答案为：172

15．已知：或，：或，若是的必要条件，则实数的取值范围是 __．

【答案】

【解析】因为是的必要条件，所以，

即由或或；

时，，此时：，有成立；

②时，：且，；

③时，有，即，此时无解， ；

综上，．

故答案为：．

16．若对任意， 恒成立，则的最大值为_________．

【答案】

【解析】令，则，故，

对任意，，则恒成立，

∴

∴，此时，

∴，当时取等号，

此时成立，

∴的最大值为．

故答案为：．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸．

17．（10分）

已知全集，集合，．

（1）若，求；．

（2）若，求实数a的取值范围．

【解析】（1）时，，，又或，所以或．

（2）由得，若，即，则满足题意，若，则，无解，综上，．

18．（12分）

已知集合．

（1）若集合，且，求的值；

（2）若集合，且A∩C＝C，求a的取值范围．

【解析】（1）由x2﹣8x+12＝0得x＝2或x＝6，∴A＝{2，6}，

因为A＝B，所以，

解得，

故a＝5．

（2）因为A∩C＝C，所以C⊆A．

当C＝∅时，△＝1﹣24a＜0，解得a；

当C＝{2}时，1﹣24a＝0且22a﹣2+6＝0，此时无解；

当C＝{6}时，1﹣24a＝0．且62a﹣6+6＝0，此时无解或a＝0．

综上，a的取值范围为．

19．（12分）

已知全集，，，．

（1）当时，求阴影部分表示的集合；

（2）在①，②，③，这三个条件中任选一个补充到下列问题中并作答．

问题：设        ，，是否存在实数，使得是的必要不充分条件？若实数存在，求的取值范围；若实数不存在，说明理由．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

【解析】（1）或

当时，，则

所以阴影部分表示的集合

（2）由（1）可知，命题为

若选①，命题为

若是的必要不充分条件，则

所以或

则或

故存在满足题意，且的取值范围为．

若选②，命题为

若是的必要不充分条件，则

所以，且等号不同时成立，

解得

故不存在满足题意的实数

若选③，命题为

若是的必要不充分条件，则

所以且等号不同时成立，

解得

故存在满足题意，的取值范围为．

20．（12分）

为宣传2022年北京冬奥会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形，如图）上设计三个等高的宣传栏（栏面分别为一个等腰三角形和两个全等的直角梯形），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为．为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为．设直角梯形的高为．

（1）当时，求海报纸的面积；

（2）为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少（即矩形的面积最小）？

【解析】（1）宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为，直角梯形的高为，

则梯形长的底边，

海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为，

，，

故海报面积为．

（2）直角梯形的高为，宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为，

，

海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为，

海报宽，海报长，

故，

当且仅当，即，

故当海报纸宽为，长为，可使用纸量最少．

21．（12分）

设．

（1）若不等式对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；

（2）解关于x的不等式．

【解析】（1）由题意可得对一切实数成立，当时，不满足题意；当时，得．所以实数a的取值范围为．

（2）由题意可得，当时，不等式可化为，所以不等式的解集为，当时，，当时，，①当，解集，②当，解集为或，③当，解集为或．综上所述，当，不等式的解集为或，当，不等式的解集为，当，不等式的解集为或，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为．

22．（12分）

已知集合

（1）判断8，9，10是否属于集合A；

（2）已知集合，证明：“”的充分条件是“”；但“”不是“”的必要条件；

（3）写出所有满足集合A的偶数．

【解析】（1），，，，

假设，，则，且，

∴，则或，显然均无整数解，

∴，

综上，有：，，；

（2）集合，则恒有，

∴，即一切奇数都属于A，又，而

∴“”的充分条件是“”；但“”不是“”的必要条件；

（3）集合，成立，

①当m，n同奇或同偶时，均为偶数，为4的倍数；

②当m，n一奇，一偶时，均为奇数，为奇数，

综上，所有满足集合A的偶数为．