九年级下册第5章 二次函数5.1 二次函数复习练习题

第5章   二次函数（培优卷）

一．选择题（每小题3分，共18分）

1.将二次函数化成的形式，则变化后正确的是（   ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】解：

故选：B．

2.函数的图象如图所示，关于x的一元二次方程的根的情况是（    ）

A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 

C．只有一个实数根 D．没有实数根

【答案】A

【解析】解：观察图象得：函数的最大值为4，

∴函数的图象与直线有一个交点，

∴方程有两个相等的实数根，

即方程有两个相等的实数根．

故选：A

3.二次函数的图象上，当x＜3时，随的增大而增大，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】解：二次函数的对称轴为直线x=，

∵x＜3时，y随x的增大而增大，

∴≥3．∴k≥5．

故选：D．

4.已知如图，在正方形ABCD中，点A、C的坐标分别是（﹣1，5）（2，0），点D在抛物线的图像上，则k的值是（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】作DM⊥x轴于M，AN⊥DM于N，

∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADC＝90°，AD＝DC，

∴∠ADN+∠CDM＝90°＝∠CDM+∠DCM，∴∠ADN＝∠DCM，

∵∠AND＝∠DMC＝90°，∴△ADN≌△DCM（AAS），∴AN＝DM，DN＝CM，

设D（a，b），

∵点A、C的坐标分别是（﹣1，5）（2，0），

∴，解得，∴D（3，4），

∵D在抛物线的图像上，∴+3k＝4，∴k=，

故选：B．

5.如图，抛物线的对称轴为直线x＝1，经过点（3，0）．下列结论：

①abc＞0；②；③3a+c＝0；④抛物线经过点，则；

⑤（m为任意实数）．

其中，正确结论的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【解析】解：①开口向下，故a<0，

又∵对称轴在y轴右边，即 ，∴

与y轴交点在原点上方，故c>0，∴abc<0，即①错误．

②∵二次函数的图象与x轴有两个交点，∴，故②正确．

③∵由图可知对称轴是直线，∴

∴二次函数解析式可化为

将点（3，0）代入得：，即：3a+c＝0．故③正确．

④∵抛物线的对称轴是直线x=1，且图象经过点，

∴根据对称性图象经过点．

由图可知当x>1时，y随着x的增大而减小，

又∵5>4，所以，故④错误．

⑤抛物线的对称轴是直线x=1，开口向下．

∴当x=1时，y有最大值．

∴当x=m时对应的函数值要小于或等于x=1时对应的函数值，

即，

∴．故⑤正确．

故正确的有：②③⑤，共3个．

故选C．

6.如图，在平面直角坐标系中，点，点，点，点从点出发沿路线以每秒1个单位的速度运动，点从点出发沿路线以每秒个单位的速度运动，当一个点到达终点时另一个点随之停止运动，设，运动时间为秒，则正确表达与的关系图象是（    ）

A．    B．    C．    D．

【答案】B

【解析】解：如图，∵点A（2，0），点B（0，2），

∴OA=2，OB=2，∴AB=4，∠BAO=60°，

过点C作CM⊥y轴于点M，

则OM=BM=，CM=3，∴OC=BC=2，

∴△OBC是等边三角形，∠BOC=60°，

∴点P在OA上运动用时2s，在AB上运动用时4s，点Q在OC上运动用时2s，在OC上运动用时2s，

即点P和点Q共运动4s后停止；由此可排除D选项．

当点P在线段OA上运动时，点Q在线段OC上运动，过点Q作QN⊥x轴于点N，

由点P，点Q的运动可知，OP=t，OQ=t，

∴∴

∴

即当0＜t＜2时，函数图象为抛物线，结合选项可排除A，C．

故选：B．

二．填空题（每小题2分，共20分）

7.已知二次函数图象的对称轴在轴右侧，且在对称轴左侧函数的值随的值增大而增大．请写出一个符合上述条件的二次函数的解析式_________．（只需写一个）

【答案】（答案不唯一）

【解析】解：依题意，二次函数的解析式，

故答案为：（答案不唯一）．

8.如图是一座抛物线形拱桥侧面示意图，水面宽AB与桥长CD均为36 m，桥拱顶部O离水面的距离为6 m，以桥拱顶点O为原点，桥面为x轴建立平面直角坐标系．OD的中点E到桥拱的距离EF为______ m．

【答案】1.5

【解析】解：根据题意，可设拱桥侧面所在二次函数表达式为：，

点B的坐标为（18，-6），

将B（18，-6）代入有：-6=324a，求得a=-，

∴，

当x=9时，y=-×92=-=-1.5，

∴点E到桥拱的距离EF为1.5m．

故答案为：1.5．

9.已知二次函数的图象如图所示，则点在第______象限．

【答案】三

【解析】∵抛物线的开口向上，∴ ，

∵对称轴在y轴右边，∴a，b异号即b＜0，

∵抛物线与y轴的交点在负半轴，∴ ，∴ ＜0，

∴点P（ab，c）在第三象限．

故答案为：三．

10.若抛物线与x轴交于A，B两点，其顶点C到x轴距离是8，则线段AB的长为______．

【答案】4

【解析】解：设抛物线的解析式为，

当y=0时，，解得：，

∴，

∴

故答案为：4．

11.抛物线经过两点，则关于x的不等式的解集为_____________．

【答案】

【解析】解：∵抛物线经过两点，

∴图像大致如下：

∴函数与交于，

∴关于x的不等式的解集为：．

故答案为：．

12.如图，将抛物线平移得到抛物线m．抛物线m经过点和原点O，它的顶点为P，它的对称轴与抛物线交于点Q，则图中阴影部分的面积为______________．

【答案】

【解析】连接，如图

∵平移后的抛物线m的函数解析式为，

∴，抛物线m的对称轴为直线，

当时，，则点，

由于抛物线向右平移3个单位，在向上平移个单位得到抛物线

所以．

故答案为：．

13.在二次函数中，当﹣3＜x＜3时y的取值范围为 _____．

【答案】

【解析】解：∵二次函数 ，

∴该函数图象开口向上，当x＝1有最小值﹣4，

∴当x＝﹣3时，y＝12，当x＝3时，y＝0，

∵﹣3＜x＜3，

∴y的取值范围为﹣4≤y＜12，

故答案为：﹣4≤y＜12．

14.如图一段抛物线：（0≤x≤3），记为，它与x轴交于点O和 ；将绕旋转180°得到，交x轴于；将绕旋转180°得到，交x轴于

，如此进行下去，直至得到，若点P（31，m）在第11段抛物线上，则m的值为_________．

【答案】2

【解析】解：

∴的顶点坐标为：，

由旋转得：的顶点坐标为：，

的顶点坐标为：，

的顶点坐标为：，

.... ，

∴的顶点坐标为：，抛物线开口朝下，

∴的解析式为：，

∵点P（31，m）在抛物线上，

∴；

故答案为：2．

15.在平面内考察一族抛物线，该抛物线与坐标轴有3个交点，作过这3点的圆，发现该圆恒过某点，此定点的坐标为____________.

【答案】

【解析】解：根据该抛物线与坐标轴有3个交点，

设交点坐标为，

，

当时，，，

设，即，

根据根与系数的关系得：，

当时，三个交点不满足题意，故，

又，存在点使得，

故四点共圆，即该圆恒过定点，

故答案为：．

16.如图，直线与y轴交于点B，与直线交于点A，以为边向左作菱形，抛物线的顶点在直线上移动．若抛物线与菱形的边，都有公共点，则h的取值范围是__________________．

【答案】

【解析】解：将与联立得

，解得，∴点A的坐标为（3，2）．

∵抛物线的顶点在直线上移动，∴，

∴抛物线的解析O（0，0），

则，解得，

当抛物线经过点A（3，2），

则，解得，

综上所述，h的取值范围是，

故答案为：

三．解答题（共62分）

17.（6分）如图是某建筑物的一处抛物线形拱门，拱门在竖直平面内与水平屋檐相交于A，B两点，A，B在x轴上，，拱门最高点C在y轴上，C到的距离为9m，拱门底部有两点D、E，，点E到直线的距离为7m，求的长．

【答案】24m

【解析】解：∵顶点

∴设抛物线解析式为，

∵点，点，∴把代入中，得

∴，∴该抛物线的解析式为

∵，点E到直线的距离为7m

∴设，则，∴，∴，∴

答：的长为24m.

18.（8分）已知：一次函数，二次函数为（b，c为常数）.

(1)如图，两函数图象交于点.求二次函数的表达式，并写出当时x的取值范围.

(2)请写出一组b，c的值，使两函数图象只有一个公共点，并说明理由.

【答案】(1)，-2＜x＜3；(2)b=2，c=-2，（答案不唯一）

【解析】（1）将（3，m）代入得m=6-2=4，

将（n,-6）代入得-6=2n-2，解得n=-2，

∴抛物线经过点（3，4），（-2，-6），

将（3，4），（-2，-6）代入得

，解得，∴，

由图象可得-2＜x＜3时，抛物线在直线上方，

∴时x的取值范围是-2＜x＜3．

（2）令，整理得，

当时，两函数图象只有一个公共点，

∴b=2，c=-2，满足题意．

19.（8分）已知抛物线．

(1)求证：无论m为何值，该抛物线与x轴总有两个交点；

(2)抛物线与x轴交于A、B两点，点A在点B的左侧，且，求m的值．

【答案】(1)见详解；(2)m＝6或m＝．

【解析】（1）证明：∵△＝，

∴无论m为何值时，该抛物线与x轴总有两个交点．

（2）解：令y＝0，则

解得x1＝3＋m，x2＝−3＋m．

∵该抛物线与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧，且3OA＝OB，

3×（−3＋m）＝3＋m或3×[−（−3＋m）]＝3＋m．

解得m＝6或m＝．

20.（10分）如图，已知抛物线的顶点M（0，4），与x轴交于A（－2，0）、B两点，

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图1，点C（0，2），P为抛物线上一点，过点P作PQy轴交直线BC于Q（P在Q上方），再过点P作PRx轴交直线BC于点R，若△PQR的面积为2，求P点坐标；

(3)如图2，在抛物线上是否存在一点D，使∠MAD＝45°，若存在，求出D点坐标，若不存在，请说明理由．

【答案】(1)；(2)P（1，3）；(3)存在，D点坐标为（，）．

【解析】（1）解：∵抛物线的顶点M（0，4），

∴设抛物线的解析式为：，

∵抛物线与x轴交于A（−2，0），∴4a＋4＝0，解得a＝−1，

∴抛物线的解析式为：；

（2）解：∵顶点M（0，4），A（−2，0），∴B（2，0），

∵点C（0，2），∴OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC＝45°，

∵PQy轴，PRx轴，∴∠PRQ＝∠OBC＝45°，∠PQR＝∠OCB＝45°，

∴∠PRQ＝∠PQR＝45°，∴PQ＝PR，

∵△PQR的面积为2，∴PR·PQ＝＝2，∴PQ＝2，

∵C（0，2），∴设直线BC的解析式为y＝kx＋2，

代入B（2，0）得：0＝2k＋2，解得：k＝－1，

∴直线BC的解析式为y＝−x＋2，

设P（m，），则Q（m，−m＋2），

∴PQ＝，解得：m＝1或0（舍去），∴P（1，3）；

（3）解：存在；

过点M作MN⊥AD于N，过点N分别作NE⊥y轴于E，NF⊥x轴于F，

∴NE⊥NF，∠MEN＝∠AFN＝90°，∴∠MNE＝∠ANF，

∵∠MAD＝45°，MN⊥AD，∴MN＝AN，∴△MNE≌△ANF（AAS），∴ME＝AF，NE＝NF，

设N（n，n），则ME＝4－n，AF＝n＋2，

∴4－n＝n＋2，解得：n＝1，∴N（1，1），

∵A（−2，0），设直线AN的解析式为y＝kx＋b，

∴，解得，

∴直线AN的解析式为y＝，

联立，解得：（舍去）或，

∴D点坐标为（，）．

21.（10分）某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．

(1)若每个房间定价增加30元，则这个宾馆这一天的利润为多少元？

(2)若宾馆某一天获利10640元，则房价定为多少元？

(3)房价定为多少时，宾馆的利润最大？

【答案】(1)8930元；(2)300元或400元；(3)房价定为350元时，利润最大

【解析】（1）若每个房间定价增加30元，则这个宾馆这一天的利润为（180+30﹣20）×（50﹣）=8930（元）；

（2）设每个房间的定价为a元，

根据题意，得：（a﹣20）（50﹣）=10640，

解得：a=300或a=400，

答：若宾馆某一天获利10640元，则房价定为300元或400元；

（3）设房价增加x元时，利润为w元，

则w=（180﹣20+x）（50﹣）=﹣=﹣，

∵﹣＜0，

∴当x=170时，即房价定为350元时，利润最大是10890元．

22.（10分）已知顶点为B（1，1）的抛物线C1：与y轴交于点A（0，2）．

(1)求抛物线的解析式；

(2)将抛物线的图象绕点C（）旋转180°得到抛物线，点P是抛物线上的一动点，求△PAB的面积的最小值；

(3)抛物线关于直线x＝m的轴对称图象交直线y＝x+1与E，F两点，且，求m的取值范围．

【答案】(1)；(2)；(3)

【解析】（1）解：将A（0，2）代入，∴b＝2，

∵顶点为B（1，1），∴a﹣2a+2＝1，解得a＝1，

∴；

（2）∵抛物线C1的图象绕点C（）旋转180°，

∴顶点B（1，1）绕点C（）旋转180°后的点为（﹣，﹣1），

∴抛物线的解析式为，

设直线AB的解析式为y＝kx+b，

∴，解得，∴y＝﹣x+2，

设，

∴过点P与AB平行的直线解析式为，

联立方程组，整理得，，

当x＝0时，P点到AB的距离最短，此时△PAB的面积最小，∴，

∴，∴△APB的面积最小值为；

（3）顶点B（1，1）关于直线x＝m的对称点为（2m﹣1，1），

∴对称后的抛物线解析式为，

联立方程组，

整理得，，

∵方程有两个不相等的实数根，

∴，解得，

∵，

∴，

∵4≤EF≤6，

∴4≤≤6，

解得≤m≤．

23.（10分）如图，已知抛物线经过点，，三点，点是直线绕点逆时针旋转后与轴的交点，点是线段上的一个动点，设点的坐标为，过点作轴的垂线交抛物线于点，交直线于点．

(1)求该抛物线所表示的二次函数的解析式；

(2)在点运动过程中，若存在以为直径的圆恰好与轴相切，求的值；

(3)连接，将绕平面内某点旋转后，得到，点、、的对应点分别是点、、，是否存在点使得旋转后得到的的两个顶点恰好落在抛物线上，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)；(2)2；(3)或

【解析】（1）设（），

将代入得：，解得：，

，即；

（2）在中，，，

由旋转可得：，为等腰直角三角形，

，，：，

设，（），

，，

以为直径的圆与轴相切，

，即，

解得：，（舍），（舍），（舍），

；

（3）设，∵，，，关于中心对称，

∴，，，

①若、在抛物线上，则、关于对称轴对称，对称轴：，

，解得：，

，即，解得：，，

②若、在抛物线上，

，解得：，

，

③、横坐标相同，所以不可能都在抛物线上，