2022-2023学年贵州省铜仁市德江县九年级（上）期中数学试卷(解析版)

这是一份2022-2023学年贵州省铜仁市德江县九年级（上）期中数学试卷(解析版)，共26页。试卷主要包含了选择题，四象限，则m的值可以是，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年贵州省铜仁市德江县九年级第一学期期中数学试卷
一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）本题每小题均有A/B/C/D四个备选答案，其中只有一个是正确的，请你将正确答案的序号填涂在相应的答题卡上.
1．若反比例函数y＝的图象在二、四象限，则m的值可以是（　　）
A．﹣1 B．2 C．1 D．0
2．已知a，d，c，b是成比例线段，其中a＝3cm，b＝2cm，c＝6cm，则d的长度为（　　）
A．4cm B．1cm C．9cm D．5cm
3．用配方法解方程：x2﹣4x+2＝0，下列配方正确的是（　　）
A．（x﹣2）2＝2 B．（x+2）2＝2 C．（x﹣2）2＝﹣2 D．（x﹣2）2＝6
4．已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+1＝0有实数根，则m的取值范围是（　　）
A．m＜2 B．m≤2 C．m＜2且m≠1 D．m≤2且m≠1
5．如图，在直角坐标系中，点A是x轴正半轴上的一个定点，点B是双曲线y＝（x＞0）上的一个动点，当点B的横坐标逐渐增大时，△OAB的面积将会（　　）

A．逐渐增大 B．不变
C．逐渐减小 D．先增大后减小
6．铜仁市某鞋厂10月份的运动鞋产量为24万双，因销量较好，11月份、12月份均增大产量，使第四季度的总产量达到88万双．设该厂11、12月份的运动鞋产量的月平均增长率为x，根据题意可列方程为（　　）
A．88（1+x）2＝24
B．88（1﹣x）2＝24
C．24（1+x）2＝88
D．24+24（1+x）+24（1+x）2＝88
7．如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（　　）

A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABC C．＝ D．＝
8．函数y＝ax﹣a与y＝（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
9．如图，已知每个小正方形的边长均为1，△ABC与△DEF的顶点都在小正方形的顶点上，那么△DEF与△ABC相似的是（　　）

A． B．
C． D．
10．在平面直角坐标系中，直线y＝x与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（4，2），直线y＝x+b（b＞0）与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点C，与y轴交于点B．记y＝（x＞0）的图象在点A，C之间的部分与线段OA、OB、BC围成的区域（不含边界）为W，若区域W内恰有4个整点（点的横坐标和纵坐标均为整数），则b的取值范围是（　　）

A．≤b≤2 B．＜b≤2 C．2≤b＜ D．2≤b≤
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）
11．一元二次方程2x（x﹣3）＝5（x+2）﹣7的一般形式是　 　．
12．如果一个反比例函数图象与正比例函数y＝2x图象有一个公共点A（1，a），那么这个反比例函数的解析式是　 　．
13．已知线段AB＝20cm，点C是线段AB的黄金分割点，则较长线段AC的长为　 　cm．
14．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣4x﹣7＝0的两个实数根，则x12+4x1x2+x22的值是　 　．
15．如图，在钝角三角形ABC中，AB＝6cm，AC＝12cm，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止．点D运动的速度为1cm/秒，点E运动的速度为2cm/秒．如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是　 　．

16．已知正方形ABCD的边长为4，E为CD上一点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，过点D作DG⊥AF，交AF于点H，交BF于点G，N为EF的中点，M为BD上一动点，分别连接MC，MN．若＝，则MC+MN的最小值为 　 　．

三、解答题：（本大题共5个小题，第17题8分，18-21题每小题8分，共48分）解题要有主要过程.
17．用适当的方法解下列方程：
（1）2x2+7x﹣4＝0；
（2）（x﹣3）2+2x（x﹣3）＝0．
18．如图，点D为△ABC边AB上一点，AD＝2，BD＝6，AC＝4．求证：△ACD∽△ABC．

19．已知反比例函数的图象经过点A（2，6）．
（1）求这个函数的表达式；
（2）点B（10，），C（﹣3，﹣5）是否在这个函数的图象上？
20．如图，在平面直角坐标系中，给出了格点△ABC（顶点均在正方形网格的格点上），已知点A的坐标为（﹣4，3）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1．
（2）以点O为位似中心，在给定的网格中画△A2B2C2，使△ABC与△A2B2C2位似，且位似比为1：2．

21．已知关于x的一元二次方程：x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）＝0．
（1）求证：这个方程总有两个实数根；
（2）若等腰△ABC的一边长a＝4，另两边长b、c恰好是这个方程的两个实数根，求△ABC的周长．
四、（本大题满分12分）
22．2020年突如其来的新型冠状病毒疫情，给生鲜电商带来了意想不到的流量和机遇，据统计某生鲜电商平台1月份的销售额是225万元，3月份的销售额是324万元．
（1）若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？
（2）经市场调查发现，某水果在“盒马鲜生”平台上的售价为24元/千克时，每天能销售300千克，售价每降低2元，每天可多售出100千克，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，已知该水果的成本价为12元/千克，若使销售该水果每天获利4000元，则售价应降低多少元？
五、（本大题满分12分）
23．如图，直线y＝kx+b与双曲线y＝相交于A（1，2），B两点，与x轴相交于点C（4，0）．
（1）分别求直线AC和双曲线对应的函数表达式；
（2）连接OA，OB，求△AOB的面积；
（3）直接写出当x＞0时，关于x的不等式kx+b＞的解集．

六、（本大题满分14分）
24．【问题情境】
如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，F是AC边上一动点（点F不与点A，C重合），以CF为边在△ABC外作正方形CDEF，连接AD，BF．

【探究展示】
（1）①猜想：图1中，线段BF，AD的数量关系是 　 　，位置关系是 　 　．
②如图2，将图1中的正方形CDEF绕点C顺时针旋转α，BF交AC于点H，交AD于点O，①中的结论是否仍然成立？请说明理由．
【拓展延伸】
（2）如图3，将【问题情境】中的等腰直角三角形ABC改为直角三角形ABC，∠ACB＝90°，正方形CDEF改为矩形CDEF，连接BF并延长，交AC于点H，交AD于点O，连接BD，AF．若AC＝4，BC＝3，CD＝，CF＝1，求BD2+AF2的值．



参考答案
一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）本题每小题均有A/B/C/D四个备选答案，其中只有一个是正确的，请你将正确答案的序号填涂在相应的答题卡上.
1．若反比例函数y＝的图象在二、四象限，则m的值可以是（　　）
A．﹣1 B．2 C．1 D．0
【分析】根据反比例函数y＝的图象在二、四象限，可知3﹣2m＜0，从而可以求得m的取值范围，然后即可解答本题．
解：∵反比例函数y＝的图象在二、四象限，
∴3﹣2m＜0，
解得，m＞，
故选：B．
【点评】本题考查反比例函数的性质、反比例函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
2．已知a，d，c，b是成比例线段，其中a＝3cm，b＝2cm，c＝6cm，则d的长度为（　　）
A．4cm B．1cm C．9cm D．5cm
【分析】根据四条线段a，d，c，b成比例和比例线段的定义，得出a：d＝c：b，再代值计算即可．
解：∵a，d，c，b是成比例线段，
∴a：d＝c：b，
∴d＝，
∵a＝3cm，b＝2cm，c＝6cm，
∴d＝1cm．
故选：B．
【点评】本题考查了比例线段，写比例式的时候一定要注意顺序，再根据比例的基本性质进行求解．
3．用配方法解方程：x2﹣4x+2＝0，下列配方正确的是（　　）
A．（x﹣2）2＝2 B．（x+2）2＝2 C．（x﹣2）2＝﹣2 D．（x﹣2）2＝6
【分析】在本题中，把常数项2移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数﹣4的一半的平方．
解：把方程x2﹣4x+2＝0的常数项移到等号的右边，得到x2﹣4x＝﹣2，
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2﹣4x+4＝﹣2+4，
配方得（x﹣2）2＝2．
故选：A．
【点评】配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
4．已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+1＝0有实数根，则m的取值范围是（　　）
A．m＜2 B．m≤2 C．m＜2且m≠1 D．m≤2且m≠1
【分析】根据二次项系数非零及根的判别式△≥0，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围．
解：∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+1＝0有实数根，
∴，
解得：m≤2且m≠1．
故选：D．
【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，根据二次项系数非零及根的判别式△≥0，找出关于m的一元一次不等式组是解题的关键．
5．如图，在直角坐标系中，点A是x轴正半轴上的一个定点，点B是双曲线y＝（x＞0）上的一个动点，当点B的横坐标逐渐增大时，△OAB的面积将会（　　）

A．逐渐增大 B．不变
C．逐渐减小 D．先增大后减小
【分析】∵△OAB的OA长度已经确定，∴只要知道点B到OA边的距离d就可知道△OAB 的面积变化情况【△OAB 的面积＝0A•d】，而点B到OA边的距离d即为点B的纵坐标，∵点B是双曲线（x＞0）上的一个动点，在（x＞0）第一象限y随x的增大y值越来越小，即d值越来越小，故△OAB 的面积减小．
解：设B（x，y）．
∴S△OAB＝0A•y；
∵OA是定值，点B是双曲线（x＞0）上的一个动点，双曲线（x＞0）在第一象限内是减函数，
∴当点B的横坐标x逐渐增大时，点B的纵坐标y逐渐减小，
∴S△OAB＝0A•y会随着x的增大而逐渐减小．
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数的性质：对于反比例函数y＝，当k＞0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小；当k＜0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x增大而增大．
6．铜仁市某鞋厂10月份的运动鞋产量为24万双，因销量较好，11月份、12月份均增大产量，使第四季度的总产量达到88万双．设该厂11、12月份的运动鞋产量的月平均增长率为x，根据题意可列方程为（　　）
A．88（1+x）2＝24
B．88（1﹣x）2＝24
C．24（1+x）2＝88
D．24+24（1+x）+24（1+x）2＝88
【分析】由该鞋厂10月份的运动鞋产量及11、12月份的运动鞋产量的月平均增长率，可得出该鞋厂11月份的运动鞋产量为24（1+x）万双，12月份的运动鞋产量为24（1+x）2万双，结合该鞋厂第四季度的总产量为88万双，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
解：∵铜仁市某鞋厂10月份的运动鞋产量为24万双，该厂11、12月份的运动鞋产量的月平均增长率为x，
∴该鞋厂11月份的运动鞋产量为24（1+x）万双，12月份的运动鞋产量为24（1+x）2万双．
根据题意得：24+24（1+x）+24（1+x）2＝88．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
7．如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（　　）

A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABC C．＝ D．＝
【分析】分别利用相似三角形的判定方法判断得出即可．
解：A、当∠ABP＝∠C时，又∵∠A＝∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项不符合题意；
B、当∠APB＝∠ABC时，又∵∠A＝∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项不符合题意；
C、当＝时，又∵∠A＝∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项不符合题意；
D、无法得到△ABP∽△ACB，故此选项符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定，正确把握判定方法是解题关键．
8．函数y＝ax﹣a与y＝（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】先根据一次函数的性质判断出a取值，再根据反比例函数的性质判断出a的取值，二者一致的即为正确答案．
解：A、由函数y＝ax﹣a的图象可知a＞0，﹣a＞0，由函数y＝（a≠0）的图象可知a＞0，矛盾；
B、由函数y＝ax﹣a的图象可知a＜0，﹣a＞0，由函数y＝（a≠0）的图象可知a＜0，一致；
C、由函数y＝ax﹣a的图象可知a＜0，﹣a＜0，由函数y＝（a≠0）的图象可知a＞0，矛盾；
D、由函数y＝ax﹣a的图象可知a＞0，﹣a＜0，由函数y＝（a≠0）的图象可知a＜0，矛盾；
故选：B．
【点评】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．
9．如图，已知每个小正方形的边长均为1，△ABC与△DEF的顶点都在小正方形的顶点上，那么△DEF与△ABC相似的是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】首先由勾股定理求得各三角形的三边长，然后根据三组对应边的比相等的两个三角形相似，即可求得答案．注意排除法在解选择题中的应用．
解：AB＝＝，BC＝2，AC＝＝，
A、∵ED＝＝2，EF＝＝，DF＝1，
∴，
∴△DEF与△ABC不相似；
B、∵DE＝＝，EF＝＝，DF＝1，
∴，
∴△DEF与△ABC相似；
C、∵DE＝3，EF＝＝，DF＝＝，
∴，
∴△DEF与△ABC不相似；
D、∵DE＝＝，EF＝＝，DF＝2，
∴，
∴△DEF与△ABC不相似．
故选：B．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与勾股定理．此题难度适中，注意掌握三组对应边的比相等的两个三角形相似定理的应用．
10．在平面直角坐标系中，直线y＝x与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（4，2），直线y＝x+b（b＞0）与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点C，与y轴交于点B．记y＝（x＞0）的图象在点A，C之间的部分与线段OA、OB、BC围成的区域（不含边界）为W，若区域W内恰有4个整点（点的横坐标和纵坐标均为整数），则b的取值范围是（　　）

A．≤b≤2 B．＜b≤2 C．2≤b＜ D．2≤b≤
【分析】画图根据区域W内恰有4个整点，确定b的取值范围．
解：∵点（2，4）在y＝（x＞0）的图象上，
当直线l：y＝x+b过（1，2）时，b＝，
当直线l：y＝x+b过（2，3）时，b＝2，
∴区域W内恰有4个整点，b的取值范围是＜b＜≤2．
综上所述，区域W内恰有4个整点，b的取值范围是＜b＜≤2．
故选：B．

【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，本题理解整点的定义是关键，并利用数形结合的思想．
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）
11．一元二次方程2x（x﹣3）＝5（x+2）﹣7的一般形式是　2x2﹣11x﹣3＝0　．
【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
解：一元二次方程2x（x﹣3）＝5（x+2）﹣7的一般形式是2x2﹣11x﹣3＝0．
【点评】去括号的过程中要注意符号的变化，以及注意不能漏乘，移项时要注意变号．
12．如果一个反比例函数图象与正比例函数y＝2x图象有一个公共点A（1，a），那么这个反比例函数的解析式是　y＝　．
【分析】根据题意可以求得点A的坐标，再将点A的坐标代入反比例函数解析式即可解答本题．
解：将x＝1代入y＝2x，得y＝2，
∴点A（1，2），
设反比例函数解析式为y＝，
∵一个反比例函数图象与正比例函数y＝2x图象有一个公共点A（1，2），
∴2＝．
解得，k＝2，
即反比例函数解析式为y＝，
故答案为：y＝．
【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，求出相应的函数解析式．
13．已知线段AB＝20cm，点C是线段AB的黄金分割点，则较长线段AC的长为　（10﹣10）　cm．
【分析】根据黄金分割点的定义，知较长线段AC＝×原线段，从而求出结果．
解：∵线段AB＝20cm，C为AB的黄金分割点，
∴较长线段AC＝20×＝（10﹣10）cm．
故答案为：（10﹣10）．
【点评】考查了黄金分割，如果点C为AB的黄金分割点，那么较长线段AC＝AB，较短线段BC＝AB，是应该熟记的内容．
14．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣4x﹣7＝0的两个实数根，则x12+4x1x2+x22的值是　2　．
【分析】根据根与系数的关系求解．
解：根据题意得x1+x2＝4，x1x2＝﹣7
所以，x12+4x1x2+x22＝（x1+x2）2+2x1x2＝16﹣14＝2
故答案为2．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2＝﹣，x1•x2＝．
15．如图，在钝角三角形ABC中，AB＝6cm，AC＝12cm，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止．点D运动的速度为1cm/秒，点E运动的速度为2cm/秒．如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是　3秒或4.8秒　．

【分析】如果以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，由于A与A对应，那么分两种情况：①D与B对应；②D与C对应．根据相似三角形的性质分别作答．
解：如果两点同时运动，设运动t秒时，以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，
则AD＝t，CE＝2t，AE＝AC﹣CE＝12﹣2t．
①当D与B对应时，有△ADE∽△ABC．
∴AD：AB＝AE：AC，
∴t：6＝（12﹣2t）：12，
∴t＝3；
②当D与C对应时，有△ADE∽△ACB．
∴AD：AC＝AE：AB，
∴t：12＝（12﹣2t）：6，
∴t＝4.8．
故当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是3秒或4.8秒．
【点评】主要考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例．本题分析出以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，有两种情况是解决问题的关键．
16．已知正方形ABCD的边长为4，E为CD上一点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，过点D作DG⊥AF，交AF于点H，交BF于点G，N为EF的中点，M为BD上一动点，分别连接MC，MN．若＝，则MC+MN的最小值为 　　．

【分析】由正方形的性质，可得A点与C点关于BD对称，则有MN+CM＝MN+AM≥AN，所以当A、M、N三点共线时，MN+CM的值最小为AN，先证明△DCG∽△FCE，再由＝，可知＝，分别求出DE＝1，CE＝3，CF＝12，即可求出AN．
解：如图，连接AM，

∵四边形ABCD是正方形，
∴A点与C点关于BD对称，
∴CM＝AM，
∴MN+CM＝MN+AM≥AN，
∴当A、M、N三点共线时，MN+CM的值最小，
∵AD∥CF，
∴∠DAE＝∠F，
∵∠DAE+∠DEH＝90°，
∵DG⊥AF，
∴∠CDG+∠DEH＝90°，
∴∠DAE＝∠CDG，
∴∠CDG＝∠F，
∴△DCG∽△FCE，
∵＝，
∴＝，
∵正方形边长为4，
∴CF＝12，
∵AD∥CF，
∴＝＝，
∴DE＝1，CE＝3，
在Rt△CEF中，EF2＝CE2+CF2，
∴EF＝＝3，
∵N是EF的中点，
∴EN＝，
在Rt△ADE中，EA2＝AD2+DE2，
∴AE＝＝，
∴AN＝，
∴MN+MC的最小值为，
故答案为：，
【点评】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握正方形的性质，用轴对称求最短距离的方法，灵活应用三角形相似、勾股定理是解题的关键．
三、解答题：（本大题共5个小题，第17题8分，18-21题每小题8分，共48分）解题要有主要过程.
17．用适当的方法解下列方程：
（1）2x2+7x﹣4＝0；
（2）（x﹣3）2+2x（x﹣3）＝0．
【分析】（1）利用解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答；
（2）利用解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答．
解：（1）2x2+7x﹣4＝0，
（2x﹣1）（x+4）＝0，
∴2x﹣1＝0或x+4＝0，
∴x1＝，x2＝﹣4；
（2）（x﹣3）2+2x（x﹣3）＝0，
（x﹣3）（x﹣3+2x）＝0，
∴x﹣3＝0或3x﹣3＝0，
∴x1＝3，x2＝1．
【点评】考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
18．如图，点D为△ABC边AB上一点，AD＝2，BD＝6，AC＝4．求证：△ACD∽△ABC．

【分析】直接利用：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似去证明即可．
解：∵AD＝2，BD＝6，
∴AB＝8，
∴，，
∴，
又∵∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
19．已知反比例函数的图象经过点A（2，6）．
（1）求这个函数的表达式；
（2）点B（10，），C（﹣3，﹣5）是否在这个函数的图象上？
【分析】（1）首先设这个反比例函数的解析式为y＝（k≠0），再把点A（2，6）的坐标代入函数关系式，即可算出k的值，进而可得函数关系式；
（2）只要把点B（10，），C（﹣3，﹣5）分别代入（1）中求出的函数关系式，满足关系式，就是函数图象上的点，反之则不在．
解：（1）设这个反比例函数的解析式为y＝（k≠0），依题意得：
6＝，
∴k＝12，
故这个反比例函数解析式为y＝；

（2）由（1）求得：y＝，
当x＝10时，y＝，
当x＝﹣3时，y＝﹣4，
∴点B（10，）在这个函数图象上，C（﹣3，﹣5）不在这个函数的图象上．
【点评】此题主要考查了利用待定系数法求反比例函数解析式，正确求出函数解析式是解题关键．
20．如图，在平面直角坐标系中，给出了格点△ABC（顶点均在正方形网格的格点上），已知点A的坐标为（﹣4，3）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1．
（2）以点O为位似中心，在给定的网格中画△A2B2C2，使△ABC与△A2B2C2位似，且位似比为1：2．

【分析】（1）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．
（2）利用位似变换的性质分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可．
解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；

（2）如图所示，△A2B2C2即为所求；
【点评】本题考查作图﹣位似变换，轴对称变换等知识，解题的关键是掌握位似变换，轴对称变换的性质，正确作出作图．
21．已知关于x的一元二次方程：x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）＝0．
（1）求证：这个方程总有两个实数根；
（2）若等腰△ABC的一边长a＝4，另两边长b、c恰好是这个方程的两个实数根，求△ABC的周长．
【分析】（1）先计算△，化简得到Δ＝（2k﹣3）2，易得△≥0，然后根据△的意义即可得到结论；
（2）利用求根公式计算出方程的两根x1＝2k﹣1，x2＝2，则可设b＝2k﹣1，c＝2，然后讨论：当a、b为腰；当b、c为腰，分别求出边长，但要满足三角形三边的关系，最后计算周长．
【解答】（1）证明：Δ＝（2k+1）2﹣4×1×4（k﹣）
＝4k2﹣12k+9
＝（2k﹣3）2，
∵无论k取什么实数值，（2k﹣3）2≥0，
∴△≥0，
∴无论k取什么实数值，方程总有实数根；

（2）解：∵x＝，
∴x1＝2k﹣1，x2＝2，
∵b，c恰好是这个方程的两个实数根，设b＝2k﹣1，c＝2，
当a、b为腰，则a＝b＝4，即2k﹣1＝4，解得k＝，此时三角形的周长＝4+4+2＝10；
当b、c为腰时，b＝c＝2，此时b+c＝a，故此种情况不存在．
综上所述，△ABC的周长为10．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．也考查了三角形三边的关系以及分类讨论思想的运用．
四、（本大题满分12分）
22．2020年突如其来的新型冠状病毒疫情，给生鲜电商带来了意想不到的流量和机遇，据统计某生鲜电商平台1月份的销售额是225万元，3月份的销售额是324万元．
（1）若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？
（2）经市场调查发现，某水果在“盒马鲜生”平台上的售价为24元/千克时，每天能销售300千克，售价每降低2元，每天可多售出100千克，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，已知该水果的成本价为12元/千克，若使销售该水果每天获利4000元，则售价应降低多少元？
【分析】（1）设月平均增长率为x，根据该平台1月份和3月份的销售额，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）设售价应降低y元，则每天可售出（300+50y）千克，根据总利润＝每千克的利润×销售数量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论．
解：（1）设月平均增长率为x，
依题意，得：225（1+x）2＝324，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：月平均增长率是20%．
（2）设售价应降低y元，则每天可售出300+＝（300+50y）千克，
依题意，得：（24﹣12﹣y）（300+50y）＝4000，
整理，得：y2﹣6y+8＝0，
解得：y1＝2，y2＝4，
∵要尽量减少库存，
∴y＝4．
答：售价应降低4元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
五、（本大题满分12分）
23．如图，直线y＝kx+b与双曲线y＝相交于A（1，2），B两点，与x轴相交于点C（4，0）．
（1）分别求直线AC和双曲线对应的函数表达式；
（2）连接OA，OB，求△AOB的面积；
（3）直接写出当x＞0时，关于x的不等式kx+b＞的解集．

【分析】（1）将已知点坐标代入函数表达式，即可求解；
（2）直线AC：y＝﹣x+与双曲线：y＝（x＞0）相交于A（1，2），B两点，联立方程组，求出点B的坐标为（3，），根据组合法（即基本图形面积的和差）即可以解决问题；
（3）根据图象即可解决问题．
解：（1）将A（1，2），C（4，0）代入y＝kx+b，
得，
解得：，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x+，
将A（1，2）代入y＝（x＞0），
得m＝2，
∴双曲线的解析式为y＝（x＞0）；
（2）∵直线AC的解析式为y＝﹣x+与y轴交点D，
∴点D的坐标为（0，），
∵直线AC：y＝﹣x+与双曲线：y＝（x＞0）相交于A（1，2），B两点，
∴，
∴，，
∴点B的坐标为（3，），
∴△AOB的面积＝4×﹣4×﹣×1＝；
（3）观察图象，
∵A（1，2），B（3，），
∴当x＞0时，关于x的不等式kx+b＞的解集是1＜x＜3．
【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，主要考查了待定系数法求一次函数和反比例函数解析式、三角形面积等；解题时着重使用一次函数，体现了方程思想，综合性较强．
六、（本大题满分14分）
24．【问题情境】
如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，F是AC边上一动点（点F不与点A，C重合），以CF为边在△ABC外作正方形CDEF，连接AD，BF．

【探究展示】
（1）①猜想：图1中，线段BF，AD的数量关系是 　BF＝AD　，位置关系是 　BF⊥AD　．
②如图2，将图1中的正方形CDEF绕点C顺时针旋转α，BF交AC于点H，交AD于点O，①中的结论是否仍然成立？请说明理由．
【拓展延伸】
（2）如图3，将【问题情境】中的等腰直角三角形ABC改为直角三角形ABC，∠ACB＝90°，正方形CDEF改为矩形CDEF，连接BF并延长，交AC于点H，交AD于点O，连接BD，AF．若AC＝4，BC＝3，CD＝，CF＝1，求BD2+AF2的值．

【分析】（1）①证明△BCF≌△ACD（SAS），由全等三角形的性质可得出BF＝AD，延长BF交AD于点G，求出∠AGF＝90°，可得BF⊥AD；
②证明△BCF≌△ACD（SAS），可得BF＝AD，求出∠AOH＝90°，可得BF⊥AD；
（2）连接DF，证明△BCF∽△ACD，进而得到∠AOH＝90°，则BF⊥AD，由BD2＝OB2+OD2，AF2＝OA2+OF2，AB2＝OA2+OB2，DF2＝OF2+OD2，可得BD2+AF2＝AB2+DF2，再分别求出AB，DF即可求解．
【解答】（1）解：①∵△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，
∴AC＝BC，
∵四边形CDEF是正方形，
∴CF＝CD，
∵∠ACB＝∠ACD＝90°，
∴△BCF≌△ACD（SAS），
∴BF＝AD，
延长BF交AD于点G，
∵∠CAD＝∠CBA，
∴∠CAD+∠AFG＝∠FBC+∠BFC＝90°，
∴∠AGF＝90°，
∴BF⊥AD；
故答案为：BF＝AD，BF⊥AD；
②BF＝AD，BF⊥AD仍然成立，理由如下：
证明：∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，
∴AC＝BC，
∵四边形CDEF是正方形，
∴CD＝CF，∠FCD＝90°，
∴∠ACB+∠ACF＝∠FCD+∠ACF，即∠BCF＝∠ACD，
∴△BCF≌△ACD（SAS），
∴BF＝AD，∠CBF＝∠CAD，
又∵∠BHC＝∠AHO，∠CBH+∠BHC＝90°，
∴∠CAD+∠AHO＝90°，
∴∠AOH＝90°，
∴BF⊥AD；
（2）证明：连接DF，

∵四边形CDEF是矩形，
∴∠FCD＝90°，
又∵∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠FCD，
∴∠ACB+∠ACF＝∠FCD+∠ACF，
即∠BCF＝∠ACD，
∵AC＝4，BC＝3，CD＝，CF＝1，
∴，
∴△BCF∽△ACD，
∴∠CBF＝∠CAD，
又∵∠BHC＝∠AHO，∠CBH+∠BHC＝90°，
∴∠CAD+∠AHO＝90°，
∴∠AOH＝90°，
∴BF⊥AD，
∴∠BOD＝∠AOB＝90°，
∴BD2＝OB2+OD2，AF2＝OA2+OF2，AB2＝OA2+OB2，DF2＝OF2+OD2，
∴BD2+AF2＝OB2+OD2+OA2+OF2＝AB2+DF2，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴AB2＝AC2+BC2＝32+42＝25，
在Rt△FCD中，∠FCD＝90°，CD＝，CF＝1，
∴＝，
∴BD2+AF2＝AB2+DF2＝25+＝．

【点评】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，矩形的性质，勾股定理，旋转的性质，三角形全等的判定及性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．