河南省平顶山市汝州市2021-2022学年九年级（上）期末数学试卷(含答案)

这是一份河南省平顶山市汝州市2021-2022学年九年级（上）期末数学试卷(含答案)，共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021-2022学年河南省平顶山市汝州市九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10题，每小题3分，共计30分）
1．（3分）如图所示的六角螺栓，其俯视图是（　　）

A． B．
C． D．
2．（3分）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，那么下列各式中正确的是（　　）
A．sinA＝ B．tanA＝ C．tanB＝ D．cosB＝
3．（3分）图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面AB＝（　　）

A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
4．（3分）如图，用绳子围成周长为10 m的矩形，记矩形的一边长为x m，它的邻边长为ym，矩形的面积为S m2．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（　　）

A．一次函数关系，二次函数关系
B．反比例函数关系，二次函数关系
C．一次函数关系，反比例函数关系
D．反比例函数关系，一次函数关系
5．（3分）电影《长津湖》讲述了一段波澜壮阔的历史，一上映就获得全国人民的追捧，某地第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达10亿元，若把增长率记作x，则方程可以列为（　　）
A．3（1+x）＝10 B．3（1+x）2＝10
C．3+3（1+x）2＝10 D．3+3（1+x）+3（1+x）2＝10
6．（3分）如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，过菱形ABCD的对称中心O分别作边AB，BC的垂线，交各边于点E，F，G，H，则四边形EFGH的周长为（　　）

A．3+ B．2+2 C．2+ D．1+2
7．（3分）如图所示，已知在四边形ABCD中，AD∥BC，，则＝（　　）

A． B． C． D．
8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝k1x+2（k1≠0）与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数y＝在第二象限内的图象交于点C，连接OC，若S△OBC＝1，tan∠BOC＝，则k2的值是（　　）

A．3 B．﹣ C．﹣3 D．﹣6
9．（3分）如图，相邻两个山坡上，分别有垂直于水平面的通信基站MA和ND．甲在山脚点C处测得通信基站顶端M的仰角为60°，测得点C距离通信基站MA的水平距离CB为30m；乙在另一座山脚点F处测得点F距离通信基站ND的水平距离FE为50m，测得山坡DF的坡度i＝1：1.25．若ND＝DE，点C，B，E，F在同一水平线上，则两个通信基站顶端M与顶端N的高度差为（参考数据：≈1.41，≈1.73）（　　）

A．9.0m B．12.8m C．13.1m D．22.7m
10．（3分）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记p＝，则其面积S＝．这个公式也被称为海伦﹣秦九韶公式．若p＝5，c＝4，则此三角形面积的最大值为（　　）
A． B．4 C．2 D．5
二、填空题（本大题共5题，每小题3分，共计15分）
11．（3分）若A（1，y1），B（3，y2）是反比例函数y＝（m＜）图象上的两点，则y1、y2的大小关系是y1　 　y2.（填“＞”、“＝”或“＜”）
12．（3分）为庆祝建党100周年，某大学组织志愿者周末到社区进行党史学习宣讲，决定从A，B，C，D四名志愿者中通过抽签的方式确定两名志愿者参加．抽签规则：将四名志愿者的名字分别写在四张完全相同不透明卡片的正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，先从中随机抽取一张卡片，记下名字，再从剩余的三张卡片中随机抽取第二张，记下名字．则A，B两名志愿者被选中的概率是 　 　．
13．（3分）如图，甲楼AB高16米，乙楼CD坐落在甲楼的正北面，已知当地冬至中午12时，物高与影长的比是，已知两楼相距BD为12米，那么甲楼的影子落在乙楼上的高DE＝　 　米．（结果保留根号）

14．（3分）如图，在▱ABCD中，AD＝5，AB＝12，sinA＝．过点D作DE⊥AB，垂足为E，则sin∠BCE＝　 　．

15．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）经过点（﹣1，﹣1），（0，1），当x＝﹣2时，与其对应的函数值y＞1．有下列结论：
①abc＞0；
②关于x的方程ax2+bx+c﹣3＝0有两个不相等的实数根；
③a+b+c＞7．
其中，正确结论的序号是 　 　．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．（9分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+3m2＝0．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若m＞0，且该方程的两个实数根的差为2，求m的值．
17．（9分）已知：如图，在平行四边形ABCD中，M、N分别是AD和BC的中点．
（1）求证：四边形AMCN是平行四边形；
（2）若AC＝CD，求证四边形AMCN是矩形；
（3）若∠ACD＝90°，求证四边形AMCN是菱形．

18．（9分）河南省实验中学指路灯，一直陪伴着我校航空班、足球队、田径队日夜奋战、不断训练的同学们．一数学兴趣小组为了测量灯柱AB的高度，设计了以下三个方案：
方案一：在操场上点C处放一面平面镜，从点C处后退1m到点D处，恰好在平面镜中看到灯柱的顶部A点的像；再将平面镜向后移动4m（即FC＝4m）放在F处．从点F处向后退1.5m到点H处，恰好再次在平面镜中看到灯柱的顶部A点的像，测得的眼睛距地面的高度ED、GH为1.5m、已知点B，C、D，F、H在同一水平线上，且GH⊥FH，ED⊥CD，AB⊥BH．（平面镜的大小忽略不计）
方案二：利用标杆CD测量灯柱的高度．已知标杆CD高1.5m，测得DE＝2m，CE＝2.5m．
方案三：利用三角板的斜边CE保持水平，并且边CE与点M在同一直线上．已知两条边CE＝0.4m，EF＝0.2m，测得边CE离地面距离DC＝1.5m．
三种方案中，方案 　 　不可行，请选择可行的方案求出灯柱的高度．

19．（9分）如图，一辆轿车在一个十字路口遇到红灯刹车停下，轿车里的驾驶员看地面的斑马线前后两端的视角分别是∠DCA＝30°和∠DCB＝53°，如果斑马线的宽度AB＝4米，驾驶员与车头的距离是1.8米，这时轿车车头与斑马线的距离x约是多少米？（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈，≈1.73，结果精确到0.1米）

20．（9分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k＞0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数y＝图象的一个交点为P（1，m）．
（1）求m的值；
（2）若PA＝2AB，求k的值．
21．（9分）端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜10元，某商家用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同．在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价50元时，每天可售出100盒；每盒售价提高1元时，每天少售出2盒．
（1）求猪肉粽和豆沙粽每盒的进价；
（2）设猪肉粽每盒售价x元（50≤x≤65），y表示该商家每天销售猪肉粽的利润（单位：元），求y关于x的函数解析式并求最大利润．
22．（10分）如图1，在正方形ABCD中，点E是边BC上一点，且点E不与点B、C重合，点F是BA的延长线上一点，且AF＝CE．
（1）求证：△DCE≌△DAF；
（2）如图2，连接EF，交AD于点K，过点D作DH⊥EF，垂足为H，延长DH交BF于点G，连接HB，HC．
①求证：HD＝HB；
②若DK•HC＝，求HE的长．

23．（11分）甲秀楼是贵阳市一张靓丽的名片．如图①，甲秀楼的桥拱截面OBA可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽OA＝8m，桥拱顶点B到水面的距离是4m．
（1）按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式；
（2）一只宽为1.2m的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距O点0.4m时，桥下水位刚好在OA处，有一名身高1.68m的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由（假设船底与水面齐平）．
（3）如图③，桥拱所在的函数图象是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0），该抛物线在x轴下方部分与桥拱OBA在平静水面中的倒影组成一个新函数图象．将新函数图象向右平移m（m＞0）个单位长度，平移后的函数图象在8≤x≤9时，y的值随x值的增大而减小，结合函数图象，求m的取值范围．


2021-2022学年河南省平顶山市汝州市九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10题，每小题3分，共计30分）
1．（3分）如图所示的六角螺栓，其俯视图是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】根据俯视图是从上面看的到的图形，可得答案．
【解答】解：从上边看，是一个正六边形，六边形内部是一个圆，
故选：A．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，俯视图是从上面看的到的图形，注意看到的线画实线，看不到的线画虚线．
2．（3分）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，那么下列各式中正确的是（　　）
A．sinA＝ B．tanA＝ C．tanB＝ D．cosB＝
【分析】由勾股定理求出斜边AB，再根据锐角三角函数的定义分别求出sinA、tanA、tanB、cosB即可．
【解答】解：Rt△ABC中，∠C＝90°，
∵AC＝2，BC＝3，
∴AB＝＝，
∴sinA＝＝，tanA＝＝，tanB＝＝，cosB＝＝，
故选：C．
【点评】本题考查锐角三角函数，勾股定理，掌握锐角三角函数的定义和勾股定理是正确解答的前提．
3．（3分）图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面AB＝（　　）

A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
【分析】高脚杯前后的两个三角形相似．根据相似三角形的判定和性质即可得出结果．
【解答】解：如图：过O作OM⊥CD，垂足为M，过O'作O'N⊥AB，垂足为N，

∵CD∥AB，
∴△CDO∽△ABO'，即相似比为，
∴＝，
∵OM＝15﹣7＝8（cm），O'N＝11﹣7＝4（cm），
∴＝，
∴AB＝3cm，
故选：C．
【点评】本题考查相似三角形的应用，解本题的关键熟练掌握相似三角形的判定与性质．
4．（3分）如图，用绳子围成周长为10m的矩形，记矩形的一边长为xm，它的邻边长为ym，矩形的面积为Sm2．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（　　）

A．一次函数关系，二次函数关系
B．反比例函数关系，二次函数关系
C．一次函数关系，反比例函数关系
D．反比例函数关系，一次函数关系
【分析】矩形的周长为2（x+y）＝10，可用x来表示y，代入S＝xy中，化简即可得到S关于x的函数关系式．
【解答】解：由题意得，
2（x+y）＝10，
∴x+y＝5，
∴y＝5﹣x，
即y与x是一次函数关系．
∵S＝xy
＝x（5﹣x）
＝﹣x2+5x，
∴矩形面积满足的函数关系为S＝﹣x2+5x，
即满足二次函数关系，
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，一次函数的应用等知识，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的解析式形式是解题的关键．
5．（3分）电影《长津湖》讲述了一段波澜壮阔的历史，一上映就获得全国人民的追捧，某地第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达10亿元，若把增长率记作x，则方程可以列为（　　）
A．3（1+x）＝10 B．3（1+x）2＝10
C．3+3（1+x）2＝10 D．3+3（1+x）+3（1+x）2＝10
【分析】若把增长率记作x，则第二天票房约为3（1+x）亿元，第三天票房约为3（1+x）2亿元，根据三天后票房收入累计达10亿元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：若把增长率记作x，则第二天票房约为3（1+x）亿元，第三天票房约为3（1+x）2亿元，
依题意得：3+3（1+x）+3（1+x）2＝10．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
6．（3分）如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，过菱形ABCD的对称中心O分别作边AB，BC的垂线，交各边于点E，F，G，H，则四边形EFGH的周长为（　　）

A．3+ B．2+2 C．2+ D．1+2
【分析】证明△BEF是等边三角形，求出EF，同法可证△DGH，△EOH，△OFG都是等边三角形，求出EH，GF，FG即可．
【解答】解：如图，连接BD，AC．

∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝120°，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝2，∠BAO＝∠DAO＝60°，BD⊥AC，
∴∠ABO＝∠CBO＝30°，
∴OA＝AB＝1，OB＝OA＝，
∵OE⊥AB，OF⊥BC，
∴∠BEO＝∠BFO＝90°，
在△BEO和△BFO中，
，
∴△BEO≌△BFO（AAS），
∴OE＝OF，BE＝BF，
∵∠EBF＝60°，
∴△BEF是等边三角形，
∴EF＝BE＝×＝，
同法可证，△DGH，△OEH，△OFG都是等边三角形，
∴EF＝GH＝，EH＝FG＝，
∴四边形EFGH的周长＝3+，
故选：A．
【点评】本题考查中心对称，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
7．（3分）如图所示，已知在四边形ABCD中，AD∥BC，，则＝（　　）

A． B． C． D．
【分析】由于平行线之间的距离处处相等，则根据三角形面积公式得到＝＝，再证明△AOD∽△COB，根据相似三角形的性质得到＝＝，利用比例的性质得到＝，然后根据三角形面积公式求解．
【解答】解：∵AD∥BC，
∴点B到AD的距离等于点D到BC的距离相等，
∴＝＝，
∵AD∥BC，
∴△AOD∽△COB，
∴＝＝，
∴＝，
∴＝．
故选：C．
【点评】本题考查了三角形的面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△＝×底×高．也考查了平行线的性质和相似三角形的判定与性质．
8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝k1x+2（k1≠0）与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数y＝在第二象限内的图象交于点C，连接OC，若S△OBC＝1，tan∠BOC＝，则k2的值是（　　）

A．3 B．﹣ C．﹣3 D．﹣6
【分析】如图，作CH⊥y轴于H．承办方求出点C坐标即可解决问题；
【解答】解：如图，作CH⊥y轴于H．

由题意B（0，2），
∵•OB•CH＝1，
∴CH＝1，
∵tan∠BOC＝＝，
∴OH＝3，
∴C（﹣1，3），
把点C（﹣1，3）代入y＝，得到k2＝﹣3，
故选：C．
【点评】本题考查反比例函数于一次函数的交点问题，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
9．（3分）如图，相邻两个山坡上，分别有垂直于水平面的通信基站MA和ND．甲在山脚点C处测得通信基站顶端M的仰角为60°，测得点C距离通信基站MA的水平距离CB为30m；乙在另一座山脚点F处测得点F距离通信基站ND的水平距离FE为50m，测得山坡DF的坡度i＝1：1.25．若ND＝DE，点C，B，E，F在同一水平线上，则两个通信基站顶端M与顶端N的高度差为（参考数据：≈1.41，≈1.73）（　　）

A．9.0m B．12.8m C．13.1m D．22.7m
【分析】根据正切的定义求出MB，根据坡度的概念求出DE，进而求出ND，结合图形计算，得到答案．
【解答】解：在Rt△MCB中，∠MCB＝60°，CB＝30m，tan∠MCB＝，
∴MB＝CB•tan∠MCB＝30×≈51.9（m），
∵山坡DF的坡度i＝1：1.25，EF＝50m，
∴DE＝40（m），
∵ND＝DE，
∴ND＝25（m），
∴两个通信基站顶端M与顶端N的高度差＝40+25﹣51.9＝13.1（m），
故选：C．
【点评】本题考查的是解直角三角形的实际应用—仰角俯角、坡度坡角问题，掌握仰角和俯角、坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是本题的解题关键．
10．（3分）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记p＝，则其面积S＝．这个公式也被称为海伦﹣秦九韶公式．若p＝5，c＝4，则此三角形面积的最大值为（　　）
A． B．4 C．2 D．5
【分析】根据公式算出a+b的值，代入公式即可求出解．
【解答】解：∵p＝，p＝5，c＝4，
∴5＝，
∴a+b＝6，
∴a＝6﹣b，
∴S＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝，
当b＝3时，S有最大值为＝2．
故选：C．
【点评】本题考查二次根式的应用，解答本题的关键是明确题意，表示出相应的三角形的面积．
二、填空题（本大题共5题，每小题3分，共计15分）
11．（3分）若A（1，y1），B（3，y2）是反比例函数y＝（m＜）图象上的两点，则y1、y2的大小关系是y1　＜　y2.（填“＞”、“＝”或“＜”）
【分析】反比例函数的系数为2m﹣1＜0，在每一个象限内，y随x的增大而增大．
【解答】解：∵2m﹣1＜0（m＜），
∴图象位于二、四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大，
又∵0＜1＜3，
∴y1＜y2，
故答案为：＜．
【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征．注意：反比例函数的增减性只指在同一象限内．
12．（3分）为庆祝建党100周年，某大学组织志愿者周末到社区进行党史学习宣讲，决定从A，B，C，D四名志愿者中通过抽签的方式确定两名志愿者参加．抽签规则：将四名志愿者的名字分别写在四张完全相同不透明卡片的正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，先从中随机抽取一张卡片，记下名字，再从剩余的三张卡片中随机抽取第二张，记下名字．则A，B两名志愿者被选中的概率是 　　．
【分析】画树状图，共有12种等可能的结果，其中则A，B两名志愿者被选中的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中则A，B两名志愿者被选中的结果有2种，
∴则A，B两名志愿者被选中的概率为＝，
故答案为：．
【点评】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
13．（3分）如图，甲楼AB高16米，乙楼CD坐落在甲楼的正北面，已知当地冬至中午12时，物高与影长的比是，已知两楼相距BD为12米，那么甲楼的影子落在乙楼上的高DE＝　（16﹣6）　米．（结果保留根号）

【分析】设FE⊥AB于点F，那么在Rt△AEF中，∠AFE＝90°，解直角三角形AEC可以求得AF的长，进而求得DE＝AB﹣AF即可解题．
【解答】解：如图，

设FE⊥AB于点F，那么在Rt△AEF中，∠AFE＝90°，EF＝BD＝12米．
∵物高与影长的比是1：，
∴，
则AF＝EF＝6米，
故DE＝FB＝（16﹣6）米．
故答案为（16﹣6）．
【点评】本题考查了相似三角似三角形的应用和平行投影，根据物高与影长的比是1：，得出AF的值是解题的关键．
14．（3分）如图，在▱ABCD中，AD＝5，AB＝12，sinA＝．过点D作DE⊥AB，垂足为E，则sin∠BCE＝　　．

【分析】过点B作BF⊥EC于点F，根据DE⊥AB，AD＝5，sinA＝＝，可得DE＝4，根据勾股定理可得AE＝3，再根据平行四边形的性质可得AD＝BC＝5，AB＝CD＝12，BE＝AB﹣AE＝12﹣3＝9，根据tan∠CEB＝tan∠DCE，可得EF＝3BF，再根据勾股定理可得BF的长，进而可得结果．
【解答】解：如图，过点B作BF⊥EC于点F，

∵DE⊥AB，AD＝5，sinA＝＝，
∴DE＝4，
∴AE＝＝3，
在▱ABCD中，AD＝BC＝5，AB＝CD＝12，
∴BE＝AB﹣AE＝12﹣3＝9，
∵CD∥AB，
∴∠DEA＝∠EDC＝90°，∠CEB＝∠DCE，
∴tan∠CEB＝tan∠DCE，
∴＝＝＝，
∴EF＝3BF，
在Rt△BEF中，根据勾股定理，得
EF2+BF2＝BE2，
∴（3BF）2+BF2＝92，
解得，BF＝，
∴sin∠BCE＝＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，平行四边形的性质，勾股定理等知识，得出EF＝3BF是解决本题的关键．
15．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）经过点（﹣1，﹣1），（0，1），当x＝﹣2时，与其对应的函数值y＞1．有下列结论：
①abc＞0；
②关于x的方程ax2+bx+c﹣3＝0有两个不相等的实数根；
③a+b+c＞7．
其中，正确结论的序号是 　①②③　．
【分析】①当x＝0时，c＝1，由点（﹣1，﹣1）得a＝b﹣2，由x＝﹣2时，与其对应的函数值y＞1可得b＞4，进而得出abc＞0；
②将a＝b﹣2，c＝1代入方程，根据根的判别式即可判断；
③将a＝b﹣2，c＝1代入a+b+c，求解后即可判断．
【解答】解：①∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）经过点（﹣1，﹣1），（0，1），
∴c＝1，a﹣b+c＝﹣1，
∴a＝b﹣2，
∵当x＝﹣2时，与其对应的函数值y＞1．
∴4a﹣2b+1＞1，
∴4（b﹣2）﹣2b+1＞1，解得：b＞4，
∴a＝b﹣2＞0，
∴abc＞0，故①正确；
②∵a＝b﹣2，c＝1，
∴（b﹣2）x2+bx+1﹣3＝0，即∴（b﹣2）x2+bx﹣2＝0，
∴Δ＝b2﹣4×（﹣2）×（b﹣2）＝b2+8b﹣16＝b（b+8）﹣16，
∵b＞4，
∴Δ＞0，
∴关于x的方程ax2+bx+c﹣3＝0有两个不等的实数根，故②正确；
③∵a＝b﹣2，c＝1，
∴a+b+c＝b﹣2+b+1＝2b﹣1，
∵b＞4，
∴2b﹣1＞7，
∴a+b+c＞7．
故③正确；
故答案为：①②③．
【点评】本题考查二次函数的图象与性质，根的判别式；熟练掌握二次函数图象上点的特征，逐一分析三条结论的正误是解题的关键．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．（9分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+3m2＝0．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若m＞0，且该方程的两个实数根的差为2，求m的值．
【分析】（1）根据方程的系数，结合根的判别式可得出Δ＝4m2，利用偶次方的非负性可得出4m2≥0，即Δ≥0，再利用“当Δ≥0时，方程有两个实数根”即可证出结论；
（2）方法一：利用因式分解法求出x1＝m，x2＝3m．由题意得出m的方程，解方程则可得出答案．
方法二：利用根与系数的关系可求出答案．
【解答】（1）证明：∵a＝1，b＝﹣4m，c＝3m2，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4m）2﹣4×1×3m2＝4m2．
∵无论m取何值时，4m2≥0，即Δ≥0，
∴原方程总有两个实数根．
（2）解：方法一：∵x2﹣4mx+3m2＝0，即（x﹣m）（x﹣3m）＝0，
∴x1＝m，x2＝3m．
∵m＞0，且该方程的两个实数根的差为2，
∴3m﹣m＝2，
∴m＝1．
方法二：
设方程的两根为x1，x2，则x1+x2＝4m，x1•x2＝3m2，
∵x1﹣x2＝2，
∴（x1﹣x2）2＝4，
∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝4，
∴（4m）2﹣4×3m2＝4，
∴m＝±1，
又m＞0，
∴m＝1．
【点评】本题考查了根的判别式、偶次方的非负性以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当Δ≥0时，方程有实数根”；（2）利用因式分解法求出方程的解．
17．（9分）已知：如图，在平行四边形ABCD中，M、N分别是AD和BC的中点．
（1）求证：四边形AMCN是平行四边形；
（2）若AC＝CD，求证四边形AMCN是矩形；
（3）若∠ACD＝90°，求证四边形AMCN是菱形．

【分析】（1）由平行四边形的性质得AD∥BC，AD＝BC，再证AM＝CN，即可得出结论
（2）由等腰三角形的性质得CM⊥AD，则∠AMC＝90°，即可得出结论；
（3）由直角三角形斜边上的中线性质得CM＝AD＝AM，即可得出结论．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵M、N分别是AD和BC的中点，
∴AM＝，CN＝，
∴AM＝CN，
∵AM∥CN，
∴四边形AMCN是平行四边形；
（2）∵AC＝CD，M是AD的中点，
∴CM⊥AD，
∴∠AMC＝90°，
由（1）知，四边形AMCN是平行四边形，
∴平行四边形AMCN是矩形；
（3）∵∠ACD＝90°，M是AD的中点，
∴CM＝AD＝AM，
由（1）知，四边形AMCN是平行四边形，
∴平行四边形AMCN是菱形．
【点评】本题考查了矩形的判定、菱形的判定、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质等知识；熟练掌握矩形的判定和菱形的判定，证出四边形AMCN为平行四边形是解题的关键．
18．（9分）河南省实验中学指路灯，一直陪伴着我校航空班、足球队、田径队日夜奋战、不断训练的同学们．一数学兴趣小组为了测量灯柱AB的高度，设计了以下三个方案：
方案一：在操场上点C处放一面平面镜，从点C处后退1m到点D处，恰好在平面镜中看到灯柱的顶部A点的像；再将平面镜向后移动4m（即FC＝4m）放在F处．从点F处向后退1.5m到点H处，恰好再次在平面镜中看到灯柱的顶部A点的像，测得的眼睛距地面的高度ED、GH为1.5m、已知点B，C、D，F、H在同一水平线上，且GH⊥FH，ED⊥CD，AB⊥BH．（平面镜的大小忽略不计）
方案二：利用标杆CD测量灯柱的高度．已知标杆CD高1.5m，测得DE＝2m，CE＝2.5m．
方案三：利用三角板的斜边CE保持水平，并且边CE与点M在同一直线上．已知两条边CE＝0.4m，EF＝0.2m，测得边CE离地面距离DC＝1.5m．
三种方案中，方案 　二、三　不可行，请选择可行的方案求出灯柱的高度．

【分析】根据相似三角形的知识可知方案二中△ABE缺少边长的条件，故方案二不可行，方案三中△AMC缺少边长的条件，故方案三不可行，方案一中：利用△ABC∽△EDC，得AB＝1.5BC，再根据△ABF∽△GHF，可求出x的值．
【解答】解：根据相似三角形的知识可知方案二中△ABE缺少边长的条件，故方案二不可行，方案三中△AMC缺少边长的条件，故方案三不可行，
选方案一，
∵∠ECD＝∠ACB，∠EDC＝∠ABC，
∴△ABC∽△EDC，
∴，
∴AB＝，
设BC＝xm，
则AB＝1.5xm，
同理可得△ABF∽△GHF，
∴，
∵AB＝1.5xm，BF＝BC+CF＝（4+x）m，GH＝1.5m，FH＝1.5m，
∴，
解得：x＝8，
∴AB＝1.5x＝12（m）．
故答案为：二，三；AB＝12m．
【点评】本题主要考查了相似三角形的应用，读懂题意，熟练运用相似三角形的性质是解题的关键．
19．（9分）如图，一辆轿车在一个十字路口遇到红灯刹车停下，轿车里的驾驶员看地面的斑马线前后两端的视角分别是∠DCA＝30°和∠DCB＝53°，如果斑马线的宽度AB＝4米，驾驶员与车头的距离是1.8米，这时轿车车头与斑马线的距离x约是多少米？（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈，≈1.73，结果精确到0.1米）

【分析】延长AB，过C作CE⊥AB于点E，在直角△AEC与直角△BEC中，利用三角函数，即可利用CE表示出AE于BE，根据AB＝AE﹣BE，即可得到关于CE的方程，从而求解．进而求得AE，则AE﹣AB﹣1.8即可求解．
【解答】解：延长AB，过C作CE⊥AB于点E，

∵∠DCA＝30°，∠DCB＝53°，
∴∠CAB＝∠DCA＝30°，∠CBE＝∠DCB＝53°，
设CE＝m．
则在直角△ACE中，tan∠CAE＝，
∴AE＝＝，
同理BE＝，
∵AB＝AE﹣BE，
∴﹣＝4，
解得：m＝4×≈4.08（m），
∴AE＝m≈7.06（m），
∴x＝7.06﹣4﹣1.8＝1.3（m）．
【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程求解．
20．（9分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k＞0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数y＝图象的一个交点为P（1，m）．
（1）求m的值；
（2）若PA＝2AB，求k的值．
【分析】（1）把P（1，m）代入反比例函数解析式即可求得；
（2）分两种情况，通过证得三角形相似，求得BO的长度，进而即可求得k的值．
【解答】解：（1）∵P（1，m）为反比例函数y＝图象上一点，
∴代入得m＝＝4，
∴m＝4；
（2）令y＝0，即kx+b＝0，
∴x＝﹣，A（﹣，0），
令x＝0，y＝b，
∴B（0，b），
∵PA＝2AB，
由图象得，可分为以下两种情况：
①B在y轴正半轴时，b＞0，
∵PA＝2AB，
过P作PH⊥x轴交x轴于点H，
又B1O⊥A1H，∠PA1O＝∠B1A1O，
∴△A1OB1∽△A1HP，
∴，
∴B1O＝PH＝4×＝2，
∴b＝2，
∴A1O＝OH＝1，
∴|﹣|＝1，
∴k＝2；
②B在y轴负半轴时，b＜0，过P作PQ⊥y轴，
∵PQ⊥B2Q，A2O⊥B2Q，∠A2B2O＝∠AB2Q，
∴△A2OB2∽△PQB2，
∴，
∴AO＝|﹣|＝PQ＝，B2O＝B2Q＝OQ＝|b|＝2，
∴b＝﹣2，
∴k＝6，
综上，k＝2或k＝6．

【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了反比例函数图象上点的坐标特征，三角形相似的判定和性质，求得AO的长度的解题的关键．
21．（9分）端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜10元，某商家用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同．在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价50元时，每天可售出100盒；每盒售价提高1元时，每天少售出2盒．
（1）求猪肉粽和豆沙粽每盒的进价；
（2）设猪肉粽每盒售价x元（50≤x≤65），y表示该商家每天销售猪肉粽的利润（单位：元），求y关于x的函数解析式并求最大利润．
【分析】（1）设猪肉粽每盒进价a元，则豆沙粽每盒进价（a﹣10）元，根据商家用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同列出方程，解方程即可；
（2）由题意得，当x＝50时，每天可售出100盒，当猪肉粽每盒售价x元（50≤x≤65）时，每天可售[100﹣2（x﹣50）]盒，列出每天销售猪肉粽的利润y与猪肉粽每盒售价x元的函数关系式，根据二次函数的性质及x的取值范围求利润的最大值．
【解答】解：（1）设猪肉粽每盒进价a元，则豆沙粽每盒进价（a﹣10）元，
则，
解得：a＝40，经检验a＝40是方程的解，
∴猪肉粽每盒进价40元，豆沙粽每盒进价30元，
（2）由题意得，当x＝50时，每天可售出100盒，
当猪肉粽每盒售价x元（50≤x≤65）时，每天可售[100﹣2（x﹣50）]盒，
∴y＝x[100﹣2（x﹣50）]﹣40×[100﹣2（x﹣50）]＝﹣2x2+280x﹣8000，
配方，得：y＝﹣2（x﹣70）2+1800，
∵x＜70时，y随x的增大而增大，
∴当x＝65时，y取最大值，最大值为：﹣2×（65﹣70）2+1800＝1750（元）．
答：y关于x的函数解析式为y＝﹣2x2+280x﹣8000（50≤x≤65），且最大利润为1750元．
【点评】本题考查了二次函数的应用以及分式方程的解法，关键是根据题意列出每天销售猪肉粽的利润y与猪肉粽每盒售价x元的函数关系式．
22．（10分）如图1，在正方形ABCD中，点E是边BC上一点，且点E不与点B、C重合，点F是BA的延长线上一点，且AF＝CE．
（1）求证：△DCE≌△DAF；
（2）如图2，连接EF，交AD于点K，过点D作DH⊥EF，垂足为H，延长DH交BF于点G，连接HB，HC．
①求证：HD＝HB；
②若DK•HC＝，求HE的长．

【分析】（1）由CD＝AD，∠DCE＝∠DAF＝90°，CE＝AF，即可求解；
（2）①由△DCE≌△DAF，得到△DFE为等腰直角三角形，则点H是EF的中点，故DH＝EF，进而求解；
②证明△DKF∽△HEC，则，即DK•HC＝DF•HE，进而求解．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD为正方形，
∴CD＝AD，∠DCE＝∠DAF＝90°，
∵CE＝AF，
∴△DCE≌△DAF（SAS）；

（2）①∵△DCE≌△DAF，
∴DE＝DF，∠CDE＝∠ADF，
∴∠FDE＝∠ADF+∠ADE＝∠CDE+∠ADE＝∠ADC＝90°，
∴△DFE为等腰直角三角形，
∵DH⊥EF，
∴点H是EF的中点，
∴DH＝EF，
同理，由HB是Rt△EBF的中线得：HB＝EF，
∴HD＝HB；
②∵四边形ABCD为正方形，
故CD＝CB，
∵HD＝HB，CH＝CH，
∴△DCH≌△BCH（SSS），
∴∠DCH＝∠BCH＝45°，
∵△DEF为等腰直角三角形，
∴∠DFE＝45°，
∴∠HCE＝∠DFK，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD∥BC，
∴∠DKF＝∠HEC，
∴△DKF∽△HEC，
∴，
∴DK•HC＝DF•HE，
在等腰直角三角形DFH中，DF＝HF＝HE，
∴DK•HC＝DF•HE＝HE2＝，
∴HE＝1．
【点评】本题是四边形综合题，涉及到正方形的性质、三角形全等和相似、等腰直角三角形的性质、直角三角形中线定理等，综合性强，难度适中．
23．（11分）甲秀楼是贵阳市一张靓丽的名片．如图①，甲秀楼的桥拱截面OBA可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽OA＝8m，桥拱顶点B到水面的距离是4m．
（1）按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式；
（2）一只宽为1.2m的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距O点0.4m时，桥下水位刚好在OA处，有一名身高1.68m的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由（假设船底与水面齐平）．
（3）如图③，桥拱所在的函数图象是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0），该抛物线在x轴下方部分与桥拱OBA在平静水面中的倒影组成一个新函数图象．将新函数图象向右平移m（m＞0）个单位长度，平移后的函数图象在8≤x≤9时，y的值随x值的增大而减小，结合函数图象，求m的取值范围．

【分析】（1）根据题意结合图象可以求出函数的顶点B （4，4），先设抛物线的顶点式y＝a（x﹣4）2+4，再根据图象过原点，求出a的值即可；
（2）先求出工人矩原点的距离，再把距离代入函数解析式求出y的值，然后和1.68比较即可；
（3）根据倒影与桥对称，先求出倒影的解析式，再平移m各单位，根据二次函数的性质求出m的取值范围．
【解答】解：（1）如图②，由题意得：水面宽OA是8m，桥拱顶点B到水面的距离是4m，
结合函数图象可知，顶点B （4，4），点O （0，0），
设二次函数的表达式为y＝a（x﹣4）2+4，
将点O （0，0）代入函数表达式，
解得：a＝﹣，
∴二次函数的表达式为y＝﹣（x﹣4）2+4，
即y＝﹣x2+2x （0≤x≤8）；
（2）工人不会碰到头，理由如下：
∵打捞船距O点0.4m，打捞船宽1.2m，工人直立在打捞船中间，
由题意得：工人距O点距离为0.4+×1.2＝1，
∴将x＝1代入y＝﹣x2+2x，
解得：y＝＝1.75，
∵1.75m＞1.68m，
∴此时工人不会碰到头；
（3）抛物线y＝﹣x2+2x在x轴上方的部分与桥拱在平静水面中的倒影关于x轴成轴对称．
如图所示，

新函数图象的对称轴也是直线x＝4，
此时，当0≤x≤4或x≥8时，y的值随x值的增大而减小，
将新函数图象向右平移m个单位长度，可得平移后的函数图象，
如图所示，

∵平移不改变图形形状和大小，
∴平移后函数图象的对称轴是直线x＝4+m，
∴当m≤x≤4+m或x≥8+m时，y的值随x值的增大而减小，
∴当8≤x≤9时，y的值随x值的增大而减小，结合函数图象，
得m的取值范围是：
①m≤8且4+m≥9，得5≤m≤8，
②8+m≤8，得m≤0，
由题意知m＞0，
∴m≤0不符合题意，舍去，
综上所述，m的取值范围是5≤m≤8．
【点评】本题考查二次函数的应用、轴对称以及平移等知识，关键是利用平移后的函数对称轴，函数的增减性求m的取值范围．