华师大版九年级上册第24章 解直角三角形24.4 解直角三角形练习题

      解直角三角形

注意事项：

本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（2021•凉山州模拟）在△ABC中，AC≠BC，∠ACB＝90°，CD⊥AB垂足为D，则下列比值中不等于sinA的是（　　）

A． B． C． D．

选：D．

2．（2020•开平市二模）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD＝1.5，BC＝2，则cosB的值是（　　）

A． B． C． D．

选：A．

3．（2021•衡水模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点（2，1），则cosα的值是（　　）

A． B． C． D．2

【解】如图，作AH⊥x轴于H．

∵A（2，1），

∴OH＝2，AH＝1，

∴OA，

∴cosα，

故选：C．

4．（2020秋•兰陵县期末）如图，在给出网格中，小正方形的边长为1，点A，B，O都在格点上，则cos∠OAB＝（　　）

A． B． C． D．

选：C．

5．（2021•雁塔区校级二模）如图，在△ABC中，AB＝10，cos∠ABC，D为BC边上一点，且AD＝AC，若DC＝4，则BD的值为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5

选：C．

6．（2017春•思明区校级月考）如图，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，若∠BPC∠BAC，则cos∠BPC＝（　　）

A． B． C． D．

【解】过点A作AE⊥BC于点E，如图所示：

∵AB＝AC＝5，

∴BEBC8＝4，∠BAE∠BAC，

∵∠BPC∠BAC，

∴∠BPC＝∠BAE．

在Rt△BAE中，由勾股定理得

AE3，

∴cos∠BPC＝cos∠BAE．

故选：C．

7．（2021•宜宾）如图，在△ABC中，点O是角平分线AD、BE的交点，若AB＝AC＝10，BC＝12，则tan∠OBD的值是（　　）

A． B．2 C． D．

选：A．

8．（2020•安徽）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，∠DBC＝∠A．若AC＝4，cosA，则BD的长度为（　　）

A． B． C． D．4

选：C．

9．（2021•黑龙江）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB的延长线上，连接CD，若AB＝2BD，tan∠BCD，则的值为（　　）

A．1 B．2 C． D．

选：B．

10．（2021•郫都区校级模拟）如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝3，BC＝2，tanA，则CD的值为（　　）

A． B． C． D．2

选：C．

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上

11．（2020秋•崇明区期末）已知锐角△ABC中，AB＝5，BC＝7，sinB，那么∠C＝　45　度．

12．（2020秋•金山区期末）在△ABC中，AB：AC：BC＝1：2：，那么tanB＝　2　．

13．（2019•丹棱县模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，延长CA至D，使AD＝AB，则tan75°的值是　2　．

14．（2021•滨湖区模拟）在△ABC中，AB＝5，BC＝8，∠B＝60°，则△ABC的面积是　10　．

15．（2020秋•龙口市期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为边AC上一点，∠A＝∠CBD，若AC＝8cm，cos∠CBD，则边AB＝　10　cm．

16．（2020秋•南岗区校级月考）如图，AD为△ABC的角平分线，若∠C＝45°，tan∠B，△ABC的面积为4，则AD的长为　　．

17．（2020•高密市二模）如图，∠EFG＝90°，EF＝10，OG＝17，cos∠FGO，则点F的坐标是　（8，12）　．

18．（2020秋•闵行区期中）我们把有三个内角相等的凸四边形叫做三等角四边形，例如：在四边形PQMN中，如果∠P＝∠Q＝100°，∠M＝60°，那么四边形PQMN是三等角四边形．请阅读以上定义，完成下列探究：如图，在△ABC中，AB＝AC＝9，cosB，如果点D在边AB上，AD＝6，点E在边AC上，四边形DBCE是三等角四边形，那么线段CE的长是　　．

【解析】如图，过点A作AJ⊥BC于J，连接CD，

过点C作CK⊥AB于K，过点D作DH⊥AC于H．

∵AB＝AC＝9，AJ⊥BC，

∴BJ＝JC，

∵cosB，

∴BJ＝JC＝3，

∵CK⊥AB，

∴cosB，

∴BK＝2，CK4，

∵∠DAH＝∠CAK，∠AHD＝∠AKC＝90°，

∴△AHD∽△AKC，

∴，

∴，

∴AH，DH，

∵四边形DBCE是三等角四边形，

∴∠DEH＝∠B，

∴cos∠DEH＝cos∠B，

设EH＝m，DE＝3m，

在Rt△DEH中，∵DE2＝EH2+DH2，

∴（3m）2＝m2+（）2，

∴m或（舍弃），

∴EH，

∴AE＝AH﹣EH，

∴CE＝AC﹣AE＝9．

故答案为：．

三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

19．根据下列条件，解直角三角形：在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝8，∠B＝60°．

【解】在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝8，∠B＝60°，

∴∠A＝90°﹣∠B＝90°﹣60°＝30°，

∴c＝2a＝16，

∴b8．

20．（2021•奉贤区二模）如图，已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，BC＝2，点D是AC的中点，联结BD并延长至点E，使∠E＝∠BAC．

（1）求sin∠ABE的值；

（2）求点E到直线BC的距离．

【解】（1）过D作DF⊥AB于F，如图：

∵∠C＝90°，AB＝4，BC＝2，

∴AC2，sin∠BAC，

∴∠BAC＝30°，

∵点D是AC的中点，

∴AD＝CD，

∴BD，

Rt△ADF中，DF＝AD•sin∠BAC，

Rt△BDF中，sin∠ABE；

（2）过A作AH⊥BE于H，过E作EG∥AC交BC延长线于G，如图：

∵∠ADH＝∠BDC，∠BCD＝∠AHD＝90°，

∴△BCD∽△AHD，

∴，

∵BC＝2，CD＝AD，BD，

∴，解得AH，HD，

∵∠AEB＝∠BAC＝30°，

∴HE，

∴BE＝BD+DH+HE，

∵EG∥AC，

∴∠BDC＝∠BEG，

而∠CBD＝∠GBE，

∴△CBD∽△GBE，

∴，即，

∴EG．

方法二：过E作EG⊥BC于G，

∵∠E＝∠BAC，∠ABE＝∠DBA，

∴△ABD∽△ABE，

∴，

即，

∴BE，

∵DC⊥BC，EG⊥BG，

∴DC∥BG，

∴，即，

∴EG，

∴点E到直线BC的距离为．

21．（2019秋•解放区校级期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，cosA，BC＝12，D是AB的中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为点E．

求：（1）线段CD的长；

（2）cos∠ABE的值．

【解】（1）在△ABC中，∵∠ACB＝90°，

∴cosA，

∴可以假设AC＝3k，AB＝5k，则BC＝4k，

而BC＝12，

∴k＝3，

∴AB＝15

∵D是AB中点，

∴CDAB．

（2）在Rt△ABC中，∵AB＝15，BC＝12，AC＝9，

∵D是AB中点，

∴BD，S△BDC＝S△ADC，

∴S△BDCS△ABC，即CD•BE•AC•BC，

∴BE，

在Rt△BDE中，cos∠ABE，

即cos∠ABE的值为．

22．（2020•静安区二模）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝12，cosB，D、E分别是AB、BC边上的中点，AE与CD相交于点G．

（1）求CG的长；

（2）求tan∠BAE的值．

【解】（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝12，cosB，

∴，

∵D是斜边AB上的中点，

∴，

又∵点E是BC边上的中点，

∴点G是△ABC的重心，

∴；

（2）∵点E是BC边上的中点，

∴，

过点E作EF⊥AB，垂足为F，

∵在Rt△BEF中，cosB，

BF＝BE•cosB，

∴，

∵AF＝AB﹣BF＝18﹣4＝14，

∴tan∠BAE．

23．（2021•上海模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝45°，cotB，BC＝10．

（1）求AB的长；

（2）如果CD为边AB上的中线，求∠DCB的正切值．

【解】（1）过A作AE⊥BC于E，作DF⊥BC于F，

∵∠BCA＝45°，

在Rt△AEC中，AE＝EC，

∵cotB，

在Rt△BEA中，，

设BE＝3x，AE＝2x，

∴BC＝BE+EC＝BE+AE＝10，

∴x＝2，

∴BE＝6，EA＝EC＝4，

由勾股定理得：AE2+BE2＝AB2．

即AB2＝36+16＝52．

∴AB．

（2）由（1）知AB＝2，

又∵D为AB的中点，

∴BD＝AD，

∵DF⊥BC，AE⊥BC，

∴DF∥AE，

∵BD＝AD，

∴BF＝FEBE＝3．

∴DFAE＝2，

∴FC＝FE+EC＝3+4＝7．

∴tan∠DCB．

24．（2021•青浦区二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，sin∠ABC，D是边AB上一点，且CD＝CA，BE⊥CD，垂足为点E．

（1）求AD的长；

（2）求∠EBC的正切值．

【解】（1）过C点作CH⊥AD于H，如图，

∵CD＝CA，

∴AH＝DH，

∵∠ABC+∠BCH＝90°，∠ACH+∠BCH＝90°，

∴∠ACH＝∠ABC，

∴sin∠ACH＝sin∠ABC，

在Rt△ACH中，sin∠ACH，

∴AD＝2AH＝2；

（2）在Rt△ABC中，sin∠ABC，

∴AB＝3AC＝9，

∴BD＝AB﹣AD＝9﹣2＝7，

∵∠E＝90°，

而∠EDB＝∠HDC，

∴∠HCD＝∠EBD，

∴sin∠EBD，

∴DEBD，

∴BE，

在Rt△EBC中，tan∠EBC．