2023青岛第五十八中学高一上学期期中考试数学试题含答案

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2022—2023学年第一学期期中模块考试

高一数学试卷

                           2022．11

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号选项要求的。

1．已知全集，集合，，则（    ）

A． B． C． D．

2．命题p：“，”的否定形式为（    ）

A．，  B．，

C．， D．，

3．集合是的子集，当时，若有且，则称为的一个“孤立元素”，那么的子集中无“孤立元素”且包含有四个元素的集合个数是（）   

A．5 B．6 C．7 D．8

4．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智书》一书中首先用“=”作为等号以后，后来英国数学家哈里奥特首次使用“>”和“<”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远，若，则下列命题错误的是（    ）

A．若，则    B．若，则

C．若，则   D．若，则

5．若函数是定义上的偶函数，则（    ）

A．1 B． C． D．3

6．已知对任意，且，恒成立，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

7．设函数，为定义在上的奇函数，且当时，，若，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

8．对于实数，规定表示不大于的最大整数，例如，那么不等式成立的充分不必要条件是（    ）

A．  B．   C． D．

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分。

9．下列说法正确的是（    ）

A．函数与函数是同一个函数   

B．函数的最小值为2

C．某班中身高较高的同学能够组成一个集合

D．方程有实根的充要条件为

10．下列函数中满足“对任意，，且，都有”的是（    ）

A．       B． 

C．       D．

11．下列说法正确的序号是（    ）

A．偶函数的定义域为，则

B．一次函数满足，则函数的解析式为

C．奇函数在上单调递增，且最大值为8，最小值为，则

D．若集合中至多有一个元素，则

12．已知关于的不等式的解集是或，则下列说法正确的是（    ）

A．

B．不等式的解集是

C．不等式的解集是

D．

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知集合，全集，则图中阴影部分表示的集合为___________.

14．若函数 对于上任意两个不相等实数 ，不等式

恒成立，则实数a的取值范围为______．

15．若函数在区间上单调递增，则的取值范围为_________．

16.已知函数是定义在R上的单调增函数，且对任意的实数都有则的最小值为               .          

四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（满分10分）

化简或求值：(1)

(2)

18．（满分12分）

不等关系是数学中一种最基本的数量关系.请用所学的数学知识解决下列生活中的两个问题：

(1)已知b克糖水中含有a克糖（），再添加m克糖（假设全部溶解），糖水变甜了.请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式

(2)甲每周都要去超市购买某种商品，已知第一周采购时价格是p1，第二周采购时价格是p2.现有两种采购方案，第一种方案是每次去采购相同数量的这种商品，第二种方案是每次去采购用的钱数相同.哪种采购方案更经济，请说明理由.

19．（满分12分）

已知函数，.

(1)判断并证明在上的单调性；

(2)解不等式.

20．（满分12分）

已知函数，且不等式的解集为

(1)解关于x的不等式

(2)已知，若对任意的，总存在，恰成立，求实数m的取值范围.

21．（满分12分）

已知函数为奇函数；

(1)求实数的值；

(2)求的值域；

(3)若关于的方程无实数解，求实数的取值范围．

22．（满分12分）

双曲函数是一类与常见的三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数（历史上著名的“悬链线问题”与之相关）．记双曲正弦函数为，双曲余弦函数为，已知这两个最基本的双曲函数具有如下性质：

①定义域均为，且在上是增函数；

②为奇函数，为偶函数；

③（常数是自然对数的底数，）．

利用上述性质，解决以下问题：

(1)求双曲正弦函数和双曲余弦函数的解析式；

(2)证明：对任意实数，为定值；

(3)已知，记函数，的最小值为，求．

2022—2023学年第一学期期中模块考试

高一数学参考答案

                           2022．11

一、选择题1-4   CDBA   5-8  DDAB  9.AD 10.BCD  11.AC  12.BCD

二、填空题：13.  14.  15.  16.4

三、解答题

17.（1）

原式

．

（2）

原式．

18.解：（1）该不等式为

证明：因为，所以，于是.

（2）

若按第一种方案采购，每次购买量为，则两次购买的平均价格为，

若按第二种方案采购，每次用的钱数是，则两次购买的平均价格为，

又 ，所以当时，两种方案一样；

当时，第二种方案比较经济.

19.解：在上单调递减，理由如下：

设满足，

∵，∴，，

∴，∴，∴在上单调递减.

（2）解：则令，解得或－3，∵，∴，故只有.

∵在上单调递减，且，∴，

∴解得，即不等式解集为.

20.解：（1）因为，所以可化为，即，因为不等式的解集为，即是方程的两根，将代入，得，故，再由韦达定理得，故，所以可化为，即，

当时，不等式解得，即其解集为；

当时，不等式为，显然不等式恒不成立，无解，即；

当时，不等式解得，即其解集为；

综上：当时，不等式解集为；

当时，不等式解集为；

当时，不等式解集为.

（2）因为对任意的，总存在，恰成立，即成立，所以的值域是的值域的子集，由（1）得，所以开口向上，对称轴为，故在上单调递增，当时，；当时，；所以的值域为，当时，在上单调递增，故，即，所以，解得，故；

当时，，不满足题意；

当时，在上单调递减，故，即，

所以由数轴法可得，解得，故；

综上：或，即.

21.解;（1）由函数是定义域为的奇函数，则，

即，即，所以，即在上恒成立，解得；

（2）由（1）得，则，又函数单调递增，且，

所以，，所以，即函数的值域为；

（3）由无实数解，即无实数解，又，所以或，即（不成立），或，

又，所以，即.

22.解：(1)解：由性质③知，所以，由性质②知，，，所以，即，解得，.因为函数、均为上的增函数，故函数为上的增函数，合乎题意.

(2)证明：由（1）可得：

.

(3)解：函数，设，由性质①，在是增函数知，当时，，所以原函数即，，设，，当时，在上单调递减，此时．当时，函数的对称轴为，

当时，则，在上单调递减，此时，

当时，即时，在上单调递减，在上单调递增，

此时．当时，即时，在上单调递减，此时．综上所述，.