《高考总复习》数学 第八章 第4讲 直线、平面平行的判定与性质[配套课件]

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1.(多选题)下列结论正确的是(
A.如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行B.如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面C.若直线 a 与平面α内无数条直线平行，则 a∥αD.若α∥β，直线 a⊂α，则 a∥β答案：BD
2.(必修2P58 练习第3 题改编)设 a，b 是两条不同的直线，α，
β是两个不同的平面，则α∥β的一个充分条件是(
A.存在一条直线 a，a∥α，a∥βB.存在一条直线 a，a⊂α，a∥βC.存在两条平行直线 a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥αD.存在两条异面直线 a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α
解析：对于选项 A，若存在一条直线 a，a∥α，a∥β，则α∥β或α与β相交，若α∥β，则存在一条直线 a，使得 a∥α，a∥β，所以选项 A 的内容是α∥β的一个必要条件；同理，选项B，C 的内容也是α∥β的一个必要条件而不是充分条件；对于选项D，可以通过平移把两条异面直线平移到一个平面中，成为相交直线，则有α∥β，所以选项 D 的内容是α∥β的一个充分条件.故选 D.
3.(必修2P49 例4 改编)下面说法正确的有(
(1)平面外一条直线与平面内的一条直线平行， 则直线与平面平行(2)一条直线与平面内的两条直线平行，则直线与平面平行(3)一条直线与平面内的任意一条直线平行，则直线与平面平行(4)一条直线与平面内的无数条直线平行，则直线与平面平行
解析：应该注意有特殊情况：直线在平面内，只有(1)是正确的.答案：A
4.(2015 年安徽)已知 m，n 是两条不同直线，α，β是两个不
同平面，则下列命题正确的是(
A.若α，β垂直于同一平面，则α与β平行B.若 m，n 平行于同一平面，则 m 与 n 平行C.若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线D.若 m，n 不平行，则 m 与 n 不可能垂直于同一平面
解析：若α，β垂直于同一平面，则α，β可以相交、平行，故 A 不正确；若 m，n 平行于同一平面，则 m，n 可以平行、重合、相交、异面，故 B 不正确；若α，β不平行，但平面α内会存在平行于β的直线，如平面α中平行于α，β交线的直线，故C 不正确；逆否命题“若 m 与 n 垂直于同一平面，则 m，n 平行”是真命题，故 D 项正确.故选 D.
5.(2018 年浙江)已知平面α，直线 m，n 满足 m α，n⊂α，
则“m∥n”是“m∥α”的(
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析：m α，n⊂α，若“m∥n”则“m∥α”；而“m∥α”不能得到“m∥n”，故为充分不必要条件.答案：A
考点 1 直线与平面平行的判定与性质
1.(2017 年全国Ⅰ)在下列四个正方体中，A，B 为正方体的两个顶点，M，N，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，
直线 AB 与平面 MNQ 不平行的是(
解析：由 B，AB∥MQ，则直线 AB∥平面 MNQ；由 C，AB∥MQ，则直线 AB∥平面 MNQ；由 D，AB∥NQ，则直线AB∥平面 MNQ.故 A 不满足，选 A.
2.(2018 年河北石家庄调研)如图 8-4-1，在三棱台 ABC-A1B1C1的 6 个顶点中任取 3 个点作平面α，设α∩平面 ABC＝l，若 l∥
A1C1，则这 3 个点可以是(A.B，C，A1B.B1，C1，AC.A1，B1，CD.A1，B，C1
解析：在棱台中，AC∥A1C1，l∥A1C1，则 l∥AC 或 l 为直线 AC.因此平面α可以过点 A1，B，C1，选项 D 正确.答案：D
3.a，b 是两条异面直线，下列结论正确的是(
A.过不在 a，b 上的任一点，可作一个平面与 a，b 平行B.过不在 a，b 上的任一点，可作一条直线与 a，b 相交C.过不在 a，b 上的任一点，可作一条直线与 a，b 都平行D.过 a 可以并且只可以作一个平面与 b 平行
解析：A 错，若点与 a 所确定的平面与 b 平行时，就不能
使这个平面与 a 平行了；
B 错，若点与 a 所确定的平面与 b 平行时，就不能作一条
直线与 a，b 相交；
C 错，假如这样的直线存在，根据公理 4 就可有 a∥b，这
与 a，b 异面矛盾；
D 正确，在 a 上任取一点 A，过 A 点作直线 c∥b，则 c 与
a 确定一个平面与 b 平行，这个平面是唯一的.
4.(多选题)以下命题(其中 a，b 表示直线，α表示平面)，其
A.若 a∥b，b⊂α则 a∥αB.若 a∥α，b∥α则 a∥bC.若 a∥b，b∥α则 a∥αD.若 a∥α，a⊂β，α∩β＝b，则 a∥b
解析：若 a∥b，b⊂α，则 a∥α或 a⊂α，故 A 错误；若
a∥α，b∥α，则 a∥b 或 a 与 b 异面或 a 与 b 相交，故 B 错误；若 a∥b，b∥α，则 a∥α或 a⊂α，故 C 错误；根据直线与平面平行的性质定理可知，“若 a∥α，a⊂β，α∩β＝b，则 a∥b”是正确的，故 D 错误.故选 ABC.
【题后反思】证明直线 a 与平面α平行，关键是在平面α内找一条直线 b，使 a∥b，如果没有现成的平行线，应依据条件作出平行线.有中点的常作中位线.
平面与平面平行的判定与性质
[ 例 1](2017 年河北衡水模拟)在如图 8-4-2 所示的几何体ABC-DFE 中，△ABC，△DFE 都是等边三角形，且所在平面平行，四边形 BCED 是边长为 2 的正方形，且所在平面垂直于平面 ABC.(1)求几何体 ABC-DFE 的体积；
(2)求证：平面 ADE∥平面 BCF.
(1)解：取 BC 的中点 O，ED 的中点 G，如图 8-4-3 所示，连接 AO，OF，FG，AG.∵AO⊥BC，AO⊂平面 ABC，平面 BCED⊥平面 ABC，∴AO⊥平面 BCED.
同理 FG⊥平面 BCED.
(2)证明：由(1)知，AO∥FG，AO＝FG，∴四边形 AOFG 为平行四边形，∴AG∥OF.又∵AG 平面 BCF，OF⊂平面 BCF，∴AG∥平面 BCF.
又∵DE∥BC，DE 平面 BCF，BC⊂平面 BCF，∴DE∥平面 BCF，
又 AG∩DE＝G，∴平面 ADE∥平面 BCF.
【规律方法】证明面面平行的方法有(1)面面平行的定义.
(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线
都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行.
(4)如果两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面
(5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互
解析：如图 D69 所示，连接 BQ，QN，平面AA1B1B∥平面
平面BMNQ∩平面CC1D1D＝MN，平面BMNQ∩平面
由平面与平面平行的性质定理可得 BQ∥MN.
同理可得 BM∥QN.∴四边形 BQNM 为平行四边形.
2.棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为棱AD中点，
过点B1，且与平面A1BE平行的正方体的截面面积为(　　)
解析：如图 D70，过点 B1，且与平面A1BE平行的正方体的截面为菱形 B1FDG，边长为
考点 3 线面、面面平行的综合应用
[例 2](多选题)如图 8-4-4 是一几何体的平面展开图，其中四边形为正方形，E，F，G，H 分别为 PA ，PD，PC，PB 的中
点.在此几何体中，给出下列结论，其中正确的结论是(A.平面 EFGH∥平面 ABCDB.直线 PA ∥平面 BDGC.直线 EF∥平面 PBC
D.直线 EF∥平面 BDG
解析：作出立体图形如图 8-4-5 所示.连接 E，F，G，H 四
点构成平面 EFGH.
因为 E，F 分别是 PA ，PD 的中点，所以 EF∥AD.
又 EF 平面 ABCD，AD⊂平面 ABCD，所以 EF∥平面 ABCD.同理，EH∥平面 ABCD.又 EF∩EH＝E，EF⊂平面 EFGH，
EH⊂平面 EFGH，
所以平面 EFGH∥平面 ABCD，故 A 正确；
连接 AC，BD，DG，BG，设 AC 的中点为 M，则 M 也是BD的中点，所以MG∥PA，又MG⊂平面BDG，PA 平面BDG，所以 PA ∥平面 BDG，故 B 正确；
由 A 中的分析知 EF∥AD，AD∥BC，所以 EF∥BC，因为EF 平面 PBC，BC⊂平面 PBC，所以直线 EF∥平面 PBC，故C 正确；
根据 C 中的分析可知 EF∥BC 再结合图形可得， BC∩BD
＝B，则直线 EF 与平面 BDG 不平行，故 D 错误.
【题后反思】解决平行关系基本问题的 3 个注意点
(1)注意判定定理与性质定理中易忽视的条件，如线面平行
的条件中线在面外易忽视.
(2)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断.(3)会举反例或用反证法推断命题是否正确.
【考法全练】(多选题)如图 8-4-6，在棱长均相等的四棱锥 P-ABCD 中，O 为底面正方形的中心， M，N 分别为侧棱 PA ，PB 的中点，
A.PD∥平面 OMNB.平面 PCD∥平面 OMN
C.直线 PD 与直线 MN 所成角的大小为 90°D.ON⊥PB
解析：选项 A，连接 BD，显然 O 为 BD 的中点，又因为 N为 PB 的中点，所以 PD∥ON，由线面平行的判定定理可得，PD∥平面 OMN；选项 B，由 M，N 分别为侧棱 PA ，PB 的中点，得 MN∥AB，又底面为正方形，所以 MN∥CD，由线面平行的判定定理可得，CD∥平面 OMN，选项 A 得 PD∥平面 OMN，由面面平行的判定定理可得，平面 PCD∥平面 OMN；选项 C，因为 MN∥CD，所以∠ PDC 为直线 PD 与直线 MN 所成的角，又因为所有棱长都相等，所以∠ PDC＝60°，故直线 PD 与直线 MN 所成角的大小为 60°；选项 D，因底面为正方形，所以AB2＋AD2＝BD2，又所有棱长都相等，所以 PB2＋PD2＝BD2，故 PB⊥PD，又 PD∥ON，所以 ON⊥PB，故 A，B，D 均正确.
⊙立体几何中的探究性问题
[例 3](2018 年全国Ⅲ)如图 8-4-7，矩形 ABCD 所在平面与
(1)证明：平面 AMD⊥平面 BMC；
(2)在线段 AM 上是否存在点 P，使得 MC∥平面 PBD？说
(1)证明：由题设知，平面 CMD⊥平面 ABCD，交线为 CD.∵BC⊥CD，BC⊂平面 ABCD，∴BC⊥平面 CMD.故 BC⊥DM.
∵M 为　 上异于 C，D 的点，且 DC 为直径，∴DM⊥CM.
又 BC∩CM＝C，∴DM⊥平面 BMC.
而 DM⊂平面 AMD，故平面 AMD⊥平面 BMC.
(2)解：当 P 为 AM 的中点时，MC∥平面 PBD.证明如下：如图 8-4-8，连接 AC 交 BD 于 O.
∵ABCD 为矩形，∴O 为 AC 中点.
连接 OP，∵P 为 AM 中点，∴MC∥OP.
又 MC 平面 PBD，OP⊂平面 PBD，∴MC∥平面 PBD.
【策略指导】解决探究性问题一般先假设求解的结论存在，从这个结论出发，寻找使这个结论成立的充分条件，若找到了使结论成立的充分条件，则存在；若找不到使结论成立的充分条件(出现矛盾)，则不存在.而对于探求点的问题，一般是先探求点的位置，多为线段的中点或某个三等分点，然后给出符合要求的证明.
(2019 年北京)如图 8-4-9，在四棱锥 P-ABCD 中，PA ⊥平面
ABCD，底部 ABCD 为菱形，E 为 CD 的中点.
(1)求证：BD⊥平面 PAC ；
(2)若∠ABC＝60°，求证：平面 PAB⊥平面 PAE；
(3)棱 PB 上是否存在点 F，使得 CF∥平面 PAE？说明理由.
(1)证明：∵PA ⊥平面 ABCD，∴PA ⊥BD.∵底面 ABCD 是菱形，∴AC⊥BD.
∵PA ∩AC＝A，PA ⊂平面 PAC ，AC⊂平面 PAC ，∴BD⊥平面 PAC .
(2)证明：∵底面 ABCD 是菱形且∠ABC＝60°，∴△ACD 为正三角形.∴AE⊥CD.∵AB∥CD，∴AE⊥AB.
∵PA ⊥平面 ABCD，AE⊂平面 ABCD，∴AE⊥PA .
∵PA ∩AB＝A，∴AE⊥平面 PAB.又 AE⊂平面 PAE，∴平面 PAB⊥平面 PAE.(3)解：存在点 F 为 PB 中点时，满足 CF∥平面 PAE.理由如下：分别取 PB，PA 的中点 F，G，连接 CF，
FG，EG，如图 D71.
一幅关系图：平行问题的转化关系.
两点提醒：(1)直线与平面平行判定定理要具备三个条件：①直线 a 在平面外；②直线 b 在平面内；③直线 a，b 平行，三个条件缺一不可，在推证线面平行时，一定要强调直线 a 不在平面内，否则会出现错误；平面与平面平行判定定理“如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行”，必须注意“相交”的条件.
(2)直线与平面平行的性质定理：线面平行，则线线平行.要注意后面线线平行的意义：一条为平面外的直线，另一条为过平面外直线的平面与已知平面的交线.对于本定理要注意避免“一条直线平行于平面，就平行于平面内的任何一条直线”的错误.