《高考总复习》数学 第九章 第3讲 几何概型[配套课件]

这是一份《高考总复习》数学 第九章 第3讲 几何概型[配套课件]，共52页。PPT课件主要包含了几何概型，PA＝，题组一，走出误区，答案ABC，题组二，走进教材，答案A，图D93，答案D等内容，欢迎下载使用。

1.几何概型如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，那么称这样的概率模型为几何概率模型，简
称为_____________.
2.几何概型中，事件 A 的概率计算公式
构成事件 A 的区域长度(面积或体积)全部结果所构成的区域长度(面积或体积)
3.要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点
(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个.(2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性.
注意：①在几何概型的试验中，事件 A 的概率 P(A)只与子区域 A 的几何度量(长度、面积或体积)成正比，而与 A 的位置和形状无关.
②求试验中几何概型的概率，关键是求得事件所占区域和
整个区域Ω的几何度量，然后代入公式即可求解.
1.(多选题)下列结论中正确的是(
A.在一个正方形区域内任取一点的概率是零B.几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等C.随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率
D.从区间[1,10]内任取一个数，取到 1 的概率是 P＝
2.(必修3P140 练习1 改编)有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，
小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是(
解析：如图 D93 所示，正方形 OABC 及其内部为不等式组表示的平面区域 D，且区域 D 的面积为 4，而阴影部分(不包括
5.(2018 年全国Ⅰ)图 9-3-1 来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形 ABC 的斜边 BC，直角边 AB，AC.△ABC 的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为 p1，
p2，p3，则(A.p1＝p2B.p1＝p3C.p2＝p3
与长度(角度)有关的几何概型
1.(2016 年全国Ⅰ)某公司的班车在7：00,8：00,8：30 发车，小明在 7：50 至 8：30 之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过 10 分钟的概率是
解析：如图 D94，画出时间轴：图 D94小明到达的时间会随机地落在图中线段 AB 中，而当他的到达时间落在线段 AC 或 DB 时，才能保证他等车的时间不超过
10 分钟，根据几何概型，得所求概率 p＝
＝ .故选 B.40 2
2.(2020 年押题导航卷)刘徽是魏晋期间伟大的数学家，他是中国古典数学理论的奠基者之一.他全面证明了《九章算术》中的方法和公式，指出并纠正了其中的错误，更是擅长用代数方法解决几何问题.如图 9-3-2，在圆的直径 CD 上任取一点 E，过点 E 的弦 AB和 CD 垂直，则 AB 的长不超过半径的概率是
解析：如图 D95，设圆的半径为 1，则有|AB|＝
3.(2019 年辽宁模拟)在长为 12 cm 的线段 AB 上任取一点 C，现作一矩形，邻边长分别等于线段 AC，CB 的长，则该矩形面
积小于 32 cm2 的概率为(
解析：设 AC＝x cm(00，解得 05.在 Rt△ABC 中，∠A＝30°，在斜边 AB 上任取一点 M，
则使|AM|>|AC|的概率为(
解析：如图 D97，M 为斜边 AB 上任一点，结果应该为斜边 AB 上的长度比.取 AD＝AC，∠A＝30°，欲使|AM|>|AC|，
点 M 必须在线段 BD 内，其概率为选 C.
【题后反思】应用几何概型求概率的步骤：
①把每一次试验当作一个事件，看事件是否是等可能的且事件的个数是否是无限个，若是，则考虑用几何概型；②将试验构成的区域和所求事件构成的区域转化为几何图
③将几何概型转化为长度、面积、体积之比，应用几何概
考点 2 与面积有关的几何概型
[例 1](1)(2017 年全国Ⅰ)如图 9-3-3，正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则
此点取自黑色部分的概率是(
解析：不妨设正方形边长为 a，由图形的对称性可知，太极图中黑白部分面积相等，即各占圆面积的一半.由几何概型概
(2)(2020 年大数据精选模拟卷)如图9-3-4，AB 和 CD 是圆O 两条互相垂直的直径，分别以 OA，OB，OC，OD 为直径作四个圆，在圆 O 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是
解析：根据圆的对称性只需看四分之一即可(如图 9-3-5)，
(3)欧阳修《卖油翁》中写道：“(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”.卖油翁的技艺让人叹为观止.设铜钱是直径为 4 cm 的圆，它中间有边长为 1 cm 的正方形孔.若随机向铜钱上滴一滴油，则油滴(不计
油滴的大小)正好落入孔中的概率为(
【题后反思】如果试验结果构成的试验区域的几何测度可用面积或体积表示，那么概率的计算公式为P(A)＝
【考法全练】(2020 年大数据精选模拟卷)赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元 222 年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”(以弦为边长得到的正方形是由 4 个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的).类比“赵爽弦图”.可类似地构造如图 9-3-6 所示的图形，它是由 3 个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成一个大等边三角形.设 DF＝2AF＝2，若在大等边三角形中随机
取一点，则此点取自小等边三角形(阴影部分)的概率是(
[例 2](1)有一个底面圆的半径为 1，高为 2 的圆柱，点 O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点 P，则点 P
到点 O 的距离大于 1 的概率为(
解析：由题意得，在正方体 ABCD-A1B1C1D1内任取一点，满足几何概型，记“点 P 到点 O 的距离大于 1”为事件 A，则事件 A 发生时，点 P 位于以 O 为球心，以 1 为半径的半球外.
【题后反思】求解与体积有关问题的注意点：对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的事件也可利用其对立事件去求.
【考法全练】(2020 年大数据精选模拟卷)如图 9-3-7 是某中学数学研究性学习小组所研究的几何图形，大球内有 4 个小球，每个小球的球面过大球球心且与大球球面有且只有 1 个交点，4 个小球的球心是以大球球心为中心的正方形的 4 个顶点，小球相交部分(图中阴影部分)记为Ⅰ，大球内、小球外的部分(图中黑色部分)记为Ⅱ，若在大球中随机取一点，此点
取Ⅰ，Ⅱ的概率分别记为 p1，p2，则(
所以选项 ABD 错误，选项 C 正确.故选 C.
[例 3](2019 年辽宁鞍山模拟)如图 9-3-8，过等腰 Rt△ABC的直角顶点 C 在∠ACB 内部随机作一条射线，设射线与 AB 相交于点 D，求 AD解：如图 9-3-9，在 AB 上取一点 E，使 AE＝AC，连接 CE，则当射线 CD 落在∠ACE 内部时，AD【规律方法】与角度有关的几何概型的求法：当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，应以角的大小作为区域度量来计算概率，且不可用线段的长度代替，这是两种不同的度量手段.
⊙与线性规划有关的几何概型
[例 4]甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码
头，它们在一昼夜内任何时刻到达是等可能的.
(1)如果甲船和乙船的停泊时间都是 4 小时，则它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率为______________；(2)如果甲船的停泊时间为 4 小时，乙船的停泊时间为 2 小时，则它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率为
________________.
解析：(1)设甲、乙两船到达时间分别为 x，y，
【策略指导】将随机事件转化为面积之比时，要注意哪部分代表总的基本事件表示的区域，哪部分是所求事件所表示的区域.
1.(2014 年重庆)某校早上 8：00 开始上课，假设该校学生小张与小王在早上 7：30～7：50 之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，求小张比小王至少早 5 分钟到校的概率.(用数字作答)
解：如图 D98，用 x 表示小张到校的时间，30≤x≤50，用y 表示小王到校的时间，30≤y≤50，则所有可能的结果对应平面直角坐标系的正方形 ABCD 区域.小张比小王至少早 5 分钟到校，即 y－x≥所对应的区域为5.DEF.所以 P(小张比小王至少早 5 分钟到校)