《高考总复习》数学 第九章 第7讲 计数原理与排列组合[配套课件]

这是一份《高考总复习》数学 第九章 第7讲 计数原理与排列组合[配套课件]，共49页。PPT课件主要包含了m1·m2··mn，排列与排列数，组合与组合数，题组一，走出误区，法是各不相同的，答案BCD，题组二，走进教材，选法共有等内容，欢迎下载使用。
1.分类加法原理与分步乘法原理
(1)分类加法原理：做一件事，完成它有n类方案，在第一类方案中有m1种不同的方法，在第二类方案中有m2种不同的方法，…，在第n类方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法.(2)分步乘法原理：做一件事，完成它要分成n个步骤，缺一不可，在第一个步骤中有m1种不同的方法，在第二个步骤中有m2种不同的方法，…，在第n个步骤中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝____________________种不同的方法.
1.(多选题)下列结论正确的是(
A.在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同B.在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事
C.在分步乘法计数原理中，事情是分步完成的，其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事，只有每个步骤都完成后，这件事情才算完成
D.在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方
2.(选修2－3P23例6改编)有6名男医生、5名女医生，从中选出 2 名男医生、1 名女医生组成一个医疗小组，则不同的
解析：选出 2 名男医生、1 名女医生，共有 　　＝75 种不同的选法.答案：C
3.(选修2－3P10练习4改编)已知某公园有4个门，从一个
门进，另一个门出，则不同的走法的种数为(
解析：将 4 个门编号为 1,2,3,4，从 1 号门进入后，有 3 种出门的方式，共 3 种走法，从 2,3,4 号门进入，同样各有 3 种走法，共有不同走法 3×4＝12(种).答案：C
4.(2020 年新高考Ⅱ)要安排 3 名学生到 2 个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则
5.(2020 年新高考Ⅰ)设 6 名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去 1 个场馆，甲场馆安排 1 名，乙场馆安
排 2 名，丙场馆安排 3 名，则不同的安排方法共有(
1.三个人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下，由甲开始踢，经过 3 次传递后，毽子又被踢回给甲.则不同的传递方
解析：传递方式有甲→乙→丙→甲；甲→丙→乙→甲.或画
出树状图如图 D101，符合题目要求的只有 2 种方式.
2.(2018 年九江模拟)已知两条异面直线 a，b 上分别有 5 个
点和 8 个点，则这 13 个点可以确定不同的平面个数为(
解析：分两类情况讨论：第 1 类，直线 a 分别与直线 b 上的 8 个点可以确定 8 个不同的平面；第 2 类，直线 b 分别与直线 a 上的 5 个点可以确定5 个不同的平面.根据分类加法计数原理知，共可以确定 8＋5＝13 个不同的平面.答案：C
3.5 名应届毕业生报考三所高校，每人报且仅报一所院校，
则不同的报名方法的种数是(
解析：应届生报名，分五步，第一步第 1 名学生报名有 3种选择；第二步第 2 名学生报名有 3 种选择；第三步第 3 名学生报名有 3 种选择；第四步第 4 名学生报名有 3 种选择；第五步第 5 名学生报名有 3 种选择.根据分步乘法记数原理共有 3×3×3×3×3＝35 种报名方法，故选 A.答案：A
4.如图 9-7-1，某电子器件由 3 个电阻串联而成，形成回路，其中有 6 个焊接点 A，B，C，D，E，F，如果一个焊接点脱落，整个电路就会不通.现发现电路不通，那么焊接点脱落的可能情况共有________种.
解析：因为每个焊接点都有脱落与未脱落两种情况，而只要有一个焊接点脱落，电路就会不通，故共有26－1＝63种可能情况.
5.如图 9-7-2，一个地区分为 5 个行政区域，现给地图着色，若要求相邻区域不得使用同一颜色，现有 4 种颜色可供选择，则不同的着色方法共有________种.(用数字作答)
∴共有 4×3×2×3＝72 种不同着色方法.
方法二，因区域 1 与其他四个区域都相邻，应先考虑，区域 1 有 4 种涂法.若区域 2,4 同色，有 3 种涂法，此时区域 3,5均有两种涂法，涂法总数为 4×3×2×2＝48 种；若区域 2,4 不同色，先涂区域 2 有 3 种涂法，再涂区域 4 有 2 种涂法.此时区域 3,5 也只能有 1 种涂法，涂法总数为 4×3×2×1×1＝24 种.因此涂法共有 48＋24＝72 种.
【题后反思】(1)分类加法计数原理的实质：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，各类的方法相互独立，每类中的各种方法也相对独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事.有时分类的划分标准有多个，但不论是以哪一个为标准，都应遵循“标准要明确，不重不漏”的原则.
(2)分步乘法计数原理的实质：分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干步，各个步骤相互依存，完成其中的任何一步都不能单独完成该件事，只有当各个步骤都完成后，才算完成这件事.
[例 1]7 位同学站成一排：(1)共有多少种不同的排法？(2)站成两排(前 3 后 4)，共有多少种不同的排法？(3)其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？(4)甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？(5)甲、乙不能站在两端的排法共有多少种？(6)甲不排头、乙不排尾的排法共有多少种？(7)甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？(8)甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种？
(9)甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的
(10)甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？
(11)甲、乙、丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种？(12)甲、乙、丙三个同学不都相邻的排法共有多少种？(13)甲、乙相邻且与丙不相邻的排法共有多少种？
(14)甲、乙两同学不能相邻，甲、丙两同学也不能相邻的
(15)甲必须站在乙的左边的不同排法共有多少种？
(16)甲、乙两人中间恰好有 3 人的不同排法共有多少种？
方法一，将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，
此时一共有 6 个元素，
【题后反思】涉及有限制条件的排列问题时，首先考虑特殊元素的排法或特殊位置上元素的选法，再考虑其他元素或其他位置(这种方法称为元素分析法或位置分析法).
1.(2020 年全国Ⅱ)4 名同学到 3 个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去 1 个小区，每个小区至少安排 1 名同学，则不同的安排方法共有__________种.
解析：∵4 名同学到 3 个小区参加垃圾分类宣传活动，每
名同学只去 1 个小区，每个小区至少安排 1 名同学
根据分步乘法原理，可得不同的安排方法 6×6＝36(种).
2.(2014 年辽宁)6 把椅子摆成一排，3 人随机就座，任何 2
人不相邻的坐法种数为(
解析：先放 3 把空椅子，剩下 3 人带着椅子插空坐，共有　 ＝24 种不同坐法.答案：D
3.(2020 年大数据精选模拟卷)安排 A，B，C，D，E，F，共 6 名义工照顾甲，乙，丙三位老人，每两位义工照顾一位老人，考虑到义工与老人住址距离问题，义工 A 不安排照顾老人
甲，义工 B 不安排照顾老人乙，则安排方法共有(
A.40 种C.46 种
B.42 种D.48 种
[例 2]从 4 名男同学和 3 名女同学中，选出 3 人参加学校的某项调查，求在下列情况下，各有多少种不同的选法？(1)无任何限制；(2)甲、乙必须当选；(3)甲、乙都不当选；(4)甲、乙只有一人当选；(5)甲、乙至少有一人当选；(6)甲、乙至多有一人当选.
思维点拨：此题不讲究顺序，故采用组合数.
【题后反思】组合问题常有以下两类题型变化：
①“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取；
②“至少”或“至多”含有几个元素的题型：解这类题必须十分重视“至少”或“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法，分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理.
(2018 年全国Ⅰ)从 2 位女生，4 位男生中选 3 人参加科技比赛，且至少有 1 位女生入选，则不同的选法共有________种(用数字填写答案).
⊙排列组合中的平均分配问题
[例 3]六本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法？(1)平均分成三堆，每堆两本；
(2)平均分给甲、乙、 丙三人，每人两本；(3)一堆一本，一堆两本，一堆三本；(4)甲得一本，乙得两本，丙得三本；
(5)一人得一本，一人得两本，一人得三本.
【策略指导】解决分组分配问题的策略：
(1)对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以 (n 为均分的组数)，避免重复计数.
(2)对于部分均分，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有 m 组元素个数相等，则分组时应除以m！，一个分组过程中有几个这样的均匀分组就要除以几个这样的全排列数.
(3)对于不等分组，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数.
【高分训练】1.(2010 年江西)将 6 位志愿者分成 4 组，其中两个组各 2人，另两个组各 1 人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有________种(用数字作答).解析：先分组，考虑到有 2 个是平均分组，得两个两人组
2.(2020 年大数据精选模拟卷)某校在高二年级开设选修课，选课结束后，有 6 名同学要求改选历史，现历史选修课开有三个班，若每个班至多可再接收 3 名同学，那么不同的接收方案
A.150 种C.510 种
B.360 种D.512 种
解析：依题意，分三种情况讨论：
因此，满足题意的不同的分配方案有 360＋90＋60＝510 种.
1.分类加法和分步乘法计数原理，都是关于做一件事的不同方法的种数的问题，区别在于：分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事.分类标准要明确，做到不重复不遗漏.混合问题一般是先分类再分步.