《高考总复习》数学 第七章 第1讲 直线的方程[配套课件]

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1.直线的倾斜角(1)定义：当直线 l 与 x 轴相交时，取 x 轴作为基准，x 轴正方向与直线 l 向上方向之间所成的角α，叫做直线 l 的倾斜角.当直线 l 与 x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为________.
(2)倾斜角的取值范围是____________.
2.直线的斜率(1)定义：当α≠90°时，一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率.斜率通常用小写字母 k 表示，即 k＝tan α.当α＝90°时，直线没有斜率.(2)经过两点的直线的斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式
为______________.
3.直线方程的五种形式
4.过点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线方程(1)若 x1＝x2，且 y1≠y2，则直线垂直于 x 轴，方程为_____________.(2)若 x1≠x2，且 y1＝y2，则直线垂直于 y 轴，方程为
_____________.
5.线段的中点坐标公式
若点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段P1P2的
1.(多选题)下列说法不正确的是(
C.直线 y＝kx＋b 与 y 轴的交点到原点的距离为 bD.平面内的所有直线的方程都可以用斜截式来表示
直线 y＝kx＋b 与 y 轴的交点为(0，b)，到原点的距离为|b|，故 C 不正确；平面内斜率不存在的直线不可用斜截式表示.故选 BCD.答案：BCD
3.(必修2P100第9题改编)过点M(－3,5)且在两坐标轴上的
截距互为相反数的直线方程为(A.x－y＋8＝0B.5x＋3y＝0C.x－y＋8＝0 或 5x＋3y＝0D.x＋y－8＝0 或 5x－3y＝0
4.(2016 年北京)已知 A(2,5)，B(4,1)，若点 P(x，y)在线段
AB 上，则 2x－y 的最大值为(
解析：线段 AB 的方程为 y－1＝
(x－4)，2≤x≤4.即
2x＋y－9＝0,2≤x≤4，因为 P(x，y)在线段 AB 上，所以 2x－y＝2x－(－2x＋9)＝4x－9.又 2≤x≤4，则－1≤4x－9≤7.故 2x－y 的最大值为 7.答案：C
5.(2020 年全国Ⅲ)点(0，－1)到直线 y＝k(x＋1)距离的最大
解析：由 y＝k(x＋1)可知直线过定点 P(－1,0)，设点 A(0，－1)，当直线 y＝k(x＋1)与 AP 垂直时，点 A 到直线 y＝k(x＋1)距离最大，即为|AP|＝ 　.故选 B.答案：B
1.过点 A(4,2)且在两坐标轴上截距相等的直线 l 的方程为________.
2.过点 A(4,2)且在两坐标轴上截距互为相反数的直线 l 的方程为________.
3.过点 A(4,2)且在两坐标轴上截距之和为 12 的直线 l 的方程为________.
∴所求直线 l 的方程为 x＋y－6＝0 或 x＋2y－8＝0.答案：x＋y－6＝0 或 x＋2y－8＝0
4.(多选题)若直线过点 A(1,2)，且在两坐标轴上截距的绝对
值相等，则直线 l 方程可能为(A.x－y＋1＝0C.2x－y＝0
)B.x＋y－3＝0D.x－y－1＝0
解析：当直线经过原点时，斜率为 k＝
线方程为 y＝2x，即 2x－y＝0；当直线不过原点时，设所求的直线方程为 x±y＝k，把点A(1,2)代入可得 1－2＝k，或 1＋2＝k，求得 k＝－1，或 k＝3，故所求的直线方程为 x－y＋1＝0，或 x＋y－3＝0；综上，所求的直线方程为 2x－y＝0、x－y＋1＝0，或 x＋y－3＝0.故选 ABC.
【题后反思】如果题目中出现直线在两坐标轴上的“截距相等”“截距的绝对值相等”“截距互为相反数”“在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上截距的m 倍(m＞0)”等条件时，可采用截距式求直线方程，但一定要注意考虑“零截距”的情况.
[例 1](1)直线 l 过点 P(1,0)，且与以 A(2,1)，B(0， 　)为端点的线段有公共点，则直线 l 斜率的取值范围为_____________.
解析： (1)方法一，如图 7-1-1，
(2)直线 l 过点 P(－1,0)，且与以 A(2,1)，B(0， 　)为端点的线段有公共点，则直线 l 斜率的取值范围为__________.
【题后反思】请注意本题是指直线 l 与线段AB(而不是直线AB)有公共点.首先求出直线 PA ，PB 的斜率(边界)，然后数形结合利用倾斜角及斜率的变化规律得出斜率的取值范围；也可以
[例 2](1)(2019 年山西孝义期末)下列四条直线，其倾斜角最
A.x＋2y＋3＝0C.x＋y＋1＝0
B.2x－y＋1＝0D.x＋1＝0
解析：根据题意，依次分析选项：
对于B，2x－y＋1＝0，其斜率k2＝2，倾斜角θ2为锐角，对于C，x＋y＋1＝0，其斜率k3＝－1，倾斜角θ3为135°，对于D，x＋1＝0，倾斜角θ4为90°，而k1＞k3，故θ1＞θ3.
直线方程的应用 多维探究
[例 3]过点 P(2,1)作直线 l，与 x 轴和 y 轴的正半轴分别交于A，B 两点，求：(1)△AOB 的面积的最小值及此时直线 l 的方程；(2)求直线 l 在两坐标轴上截距之和的最小值及此时直线 l的方程；(3)求|PA|·|PB|的最小值及此时直线 l 的方程；(4)当|PA|2＋|PB|2 取得最小值时，直线 l 的方程.
【考法全练】已知点P(m，n)在直线2x＋y＋1＝0上运动，则m2＋n2的
解析：∵点 P(m，n)是直线 2x＋y＋1＝0 上的任意一点，又∵m2＋n2 的几何意义为直线上的点到原点距离的平方，∴m2＋n2 的最小值为原点到直线距离的平方，
⊙直线中的函数与方程思想
[例 4]如果直线 l 经过点 P(2,1)，且与两坐标轴围成的三角
(1)当 S＝3 时，这样的直线 l 有多少条？(2)当 S＝4 时，这样的直线 l 有多少条？(3)当 S＝5 时，这样的直线 l 有多少条？
(4)若这样的直线 l 有且只有 2 条，求 S 的取值范围；(5)若这样的直线 l 有且只有 3 条，求 S 的取值范围；(6)若这样的直线 l 有且只有 4 条，求 S 的取值范围.
(5)若这样的直线 l 有且只有 3 条，则
即a2－2Sa＋4S＝0或a2＋2Sa－4S＝0.后一个方程Δ>0 恒成立，肯定有两个不相等的解，∴如果这样的直线有且只有 3 条，那么前一个方程必须有Δ＝0，即(－2S)2－4×4S＝0.故 S＝4.
(6)若这样的直线 l 有且只有 4 条，则
即 a2－2Sa＋4S＝0 或 a2＋2Sa－4S＝0.后一个方程Δ>0 恒成立，肯定有两个不相等的解，∴如果这样的直线有且只有 4 条，那么前一个方程必须有Δ>0，即(－2S)2－4×4S>0.故 S 的取值范围为(4，＋∞).
【策略指导】因为关系到直线与两坐标轴围成的三角形的面积，所以解本题的关键就在于能否很敏锐地想到利用直线方
想，应把握题型，注意一题多变，培养思维的灵活性和发散性.
【高分训练】过点 P(－2,3)且与两坐标轴围成的三角形面积为 12 的直线
解析：设过点 P(－2,3)且与两坐标轴围成的三角形面积为12 的直线的斜率为 k，则有直线的方程为 y－3＝k(x＋2)，即 kx－y＋2k＋3＝0，
因此满足条件的直线有 3 条.故选 C.答案：C
一个关系：直线与倾斜角和斜率的关系：直线的倾斜角与斜率都是表示直线方向的几何量，它们分别从“形”和“数”两方面反映直线的倾斜程度.
(1)任何直线都存在倾斜角，但并不是任意直线都存在斜率.(2)直线的倾斜角α和斜率 k 之间的对应关系：