《高考总复习》数学 第七章 第3讲 圆的方程[配套课件]

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1.圆的定义在平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆.确定一个圆最基本的要素是圆心和半径.2.圆的标准方程(1)方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)表示圆心为________，半
径为 r 的圆的标准方程.
(2)特别地，以原点为圆心，半径为 r(r＞0)的圆的标准方程
为____________.
4.点M(x0，y0)与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的位置关系
1.(多选题)已知直线l与圆C：x2＋y2＋2x－4y＋a＝0相交于 A，B 两点，弦 AB 的中点为 M(0,1)，则实数 a 的取值可为
解析：圆 C的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5－a，故a<5.又因为弦 AB 的中点为 M(0,1)，故 M 点在圆内，所以(0＋1)2＋(1－2)2<5－a 即 a<3.综上，a<3.故选 AB.答案：AB
答案：(x－2)2＋(y－1)2＝4
答案：(x－2)2＋y2＝9
4.(2019 年北京)设抛物线 y2＝4x 的焦点为 F，准线为 l.则以F 为圆心，且与 l 相切的圆的方程为________________.解析：抛物线 y2＝4x 中，2p＝4，p＝2，焦点 F(1,0)，准线l 的方程为 x＝－1，以 F 为圆心，且与 l 相切的圆的方程为(x－1)2＋y2＝22，即为(x－1)2＋y2＝4.
答案：(x－1)2＋y2＝4
5.(2020 年全国Ⅱ)若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆
心到直线 2x－y－3＝0 的距离为(
解析：由于圆上的点(2,1)在第一象限，若圆心不在第一象限，则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，设圆心的坐标为(a，a)，则圆的半径为 a，
1.(2018 年天津)在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为____________.解析：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，圆经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)，
则圆的方程为 x2＋y2－2x＝0.答案：x2＋y2－2x＝0
2.已知圆的圆心在直线 x－2y－3＝0 上，且过点 A(2，－3)，
B(－2，－5)，则圆的方程为____________.
解析：方法一，设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
答案：x2＋y2＋2x＋4y－5＝0
【题后反思】(1) 确定一个圆的方程，需要三个独立条件.“选形式、定参数”是求圆的方程的基本方法：是指根据题设条件恰当选择圆的方程的形式，进而确定其中的三个参数.因此利用待定系数法求圆的方程时，不论是设哪一种圆的方程都要列出系数的三个独立方程.
(2)研究圆的问题，既要理解代数方法，熟练运用解方程思想，又要重视几何性质及定义的运用，以降低运算量.总之，要数形结合，拓宽解题思路.与弦长有关的问题经常需要用到点到直线的距离公式、勾股定理、垂径定理等.
[例 3](2020 年北京)已知半径为 1 的圆经过点 M(3,4)，则其
圆心到原点的距离的最小值为(
解析：设圆心 C(x，y)，则化简得(x－3)2＋(y－4)2＝1，所以圆心 C 的轨迹是以 M(3,4)为圆心，1 为半径的圆(如图7-3-2 所示)，
当且仅当 C 在线段 OM 上时取得等号.答案：A
[例 5]已知圆x2＋y2－4ax＋2by＋b2＝0(a>0，b>0)关于直线x－y－1＝0 对称，则 ab 的最大值是________.解析：由圆x2＋y2－4ax＋2by＋b2＝0(a>0，b>0)关于直线x－y－1＝0 对称，可得圆心(2a，－b)在直线 x－y－1＝0 上，
【题后反思】与圆有关的最值问题的常见解法
形式的最值问题，可转化为动直线斜率的
最值问题.(2)形如 t＝ax＋by 形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题.(3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.
解：(1)如图 D42，方程x2＋y2－4x＋1＝0标准形为(x－2)2＋y2＝3，表示以点 C(2,0)为圆心，以 　为半径的圆.图 D42
圆的综合应用 多维探究
[例 6](1)直线l1和l2是圆x2＋y2＝2的两条切线，若l1与l2的交点为(1,3)，则l1与l2的夹角的正切值等于________.
⊙利用函数与方程的思想求圆的方程
[例 7](2017 年全国Ⅲ)已知抛物线 C：y2＝2x，过点(2,0)的直线 l 交 C 于 A，B 两点，圆 M 是以线段 AB 为直径的圆.
(1)证明：坐标原点 O 在圆 M 上；
(2)设圆 M 过点 P(4，－2)，求直线 l 与圆 M 的方程.
解：(1)设 P(x，y)，圆 P 的半径为 r.由题设知y2＋2＝r2，x2＋3＝r2，从而y2＋2＝x2＋3.故圆心P的轨迹方程为y2－x2＝1.
两点提醒：1.确定一个圆的方程，需要三个独立条件.“选形式、定参数”是求圆的方程的基本方法，是指根据题设条件恰当选择圆的方程的形式，进而确定其中的三个参数；2.解答圆的问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质，简化运算.
两点防范：1.求圆的方程需要三个独立条件，所以不论是设哪一种圆的方程都要列出系数的三个独立方程；2.过圆外一定点，求圆的切线，应该有两个结果，若只求出一个结果，应该考虑切线斜率不存在的情况.