《高考总复习》数学 第三章 第8讲 解三角形应用举例[配套课件]

这是一份《高考总复习》数学 第三章 第8讲 解三角形应用举例[配套课件]，共50页。PPT课件主要包含了海问题等，图3-8-1，2方向角，4坡角，题组一走出误区，答案AB，距离为，图3-8-2，答案A，图D22答案D等内容，欢迎下载使用。

1.解三角形的常见类型及解法
在三角形的六个元素中要已知三个( 除三个角外) 才能求
解，常见类型及其解法如下表所示：
2.用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型
测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航
3.实际问题中的常用角(1)仰角和俯角：与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方的角叫做仰角，目标视线在水平视线下方的角叫做俯角[如图 3-8-1(1)].
相对于某正方向的水平角，如南偏东 30°，北偏西 45°等.(3)方位角：
指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如 B 点的
方位角为α[如图 3-8-1(2)].
坡面与水平面所成的二面角的度数.
1.(多选题)下列命题不正确的是(
A.从 A 处望 B 处的仰角为α，从 B 处望 A 处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°
C.方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系D.方位角大小的范围是[0，2π)，方向角大小的范围一般是
题组二 走进教材2.(必修 5P11 例 1 改编)如图 3-8-2，某河段的两岸可视为平行，在河段的一岸边选取两点 A，B，观察对岸的点 C，测得∠CAB＝75°，∠CBA＝45°，且 AB＝200 m.则 A，C 两点的
3.(必修 5P19 第 4 题改编)江岸边有一炮台高 30 m，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为 45°和 30°，且两条船与
炮台底部连线成 30°角，则两条船相距(
解析：如图 D22，过炮台顶点 A 作水平面的垂线，垂足为B.设 A 处测得船 C，D 的俯角分别为45°，30°，连接 BC，BD.在 Rt△ABC 中，∠ACB＝45°，则 AB＝BC＝30 m.在 Rt△ABD
4.(2014 年四川)如图 3-8-3，从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B，C 的俯角分别为 75°，30°，此时气球的高度是
60 m，则河流的宽度 BC＝(
5.(2019 年北京)如图 3-8-4，A，B 是半径为 2 的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，∠APB 是锐角，大小为β.图中阴影区
A.4β＋4cs βC.2β＋2cs β
B.4β＋4sin βD.2β＋2sin β
解析：观察图 D23 可知，当 P 为优弧 AB 的中点时，阴影部分的面积 S 取最大值，此时∠BOP＝∠AOP＝π－β，面积 S 的最
2sin β＋2sin β＝4β＋4sin β.故选 B.答案：B
测量距离问题 自主练习
1.(2018 年宁夏银川一中月考)如图 3-8-5，设 A，B 两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在 A 所在的河岸边选定一点 C，测出 AC 的距离是 m，∠BAC＝α，∠ACB＝β，则
A，B 两点间的距离为(
msin αsin β
msin αsin(α＋β)
msin βsin(α＋β)
msin(α＋β)sin α＋sin β
解析：∠ABC＝π－(α＋β)，由正弦定理得
m·sin β msin βsin [π－(α＋β)] sin(α＋β)
2.海洋蓝洞是罕见的自然地理现象，被誉为“地球给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上已知最深的海洋蓝洞.若要测量如图 3-8-6 所示的海洋蓝洞的口径(即 A，B 两点间的距离)，现取两点 C，D，测得 CD＝80，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，则图中海洋蓝洞的口径为________.
解析：由已知得，在△ACD 中,∠ACD＝15°,∠ADC＝150°，所以∠DAC＝15°，
在△BCD 中，∠BDC＝15°，∠BCD＝135°，所以∠DBC＝30°，
在△ABC 中，由余弦定理，
3.(2017 年江西赣州模拟)如图 3-8-7，为了测量 A，B 处岛屿的距离，小明在 D 处观测，A，B 分别在 D 处的北偏西 15°、北偏东 45°方向，再往正东方向行驶 40 海里至 C 处，观测 B 在C 处的正北方向，A 在 C 处的北偏西 60°方向，则 A，B 两处岛
解析：由题意，可知∠BDC＝90°－45°＝45°，又∠BCD＝90°，∴BC＝CD＝40(海里).在△ADC 中，∠ADC＝105°，∠ACD＝90°－60°＝30°，∴∠DAC＝45°.由正弦定理，
在△ABC 中，由余弦定理，得答案：A
【题后反思】(1)利用示意图把已知量和待求量尽量集中在
有关的三角形中，建立一个解三角形的模型.
(2)利用正弦、余弦定理解出所需要的边和角，求得该数学
测量高度问题 师生互动
[例 1](1)(2015 年湖北)如图 3-8-8，一辆汽车在一条水平的公路上向正西方向行驶，到 A 处时测得公路北侧一山顶 D 在西偏北 30°的方向上，行驶 600 m 后到达 B 处，测得此山顶在西偏北 75°的方向上，仰角为 30°，则此山的高度 CD＝_____m.图 3-8-8
(2)(2014 年全国Ⅰ)如图 3-8-9，为测量山高 MN，选择点 A和另一座山的山顶 C 为测量观测点.从点 A 测得点 M 的仰角为∠MAN＝60°,点C的仰角为∠CAB＝45°，以及∠MAC＝75°；从点 C 测得∠MCA＝60°.已知山高 BC＝100 m，则山高 MN＝
解析：根据题意得，在△ABC 中,已知∠CAB＝45°,∠ABC
【题后反思】(1)测量高度时，要准确理解仰角、俯角的概
(2)分清已知量和待求量，分析(画出)示意图，明确在哪个
三角形内运用正弦或余弦定理.
(2017 年河南郑州模拟)在地平面上有一旗杆 OP(O 在地面)，为了测得它的高度 h，在地平面上取一基线 AB，测得其长为20 m，在 A 处测得 P 点的仰角为 30°，在 B 处测得 P 点的仰角为 45°，又测得∠AOB＝30°，则旗杆的高 h 等于_______.
解析：如图 D24 及根据题意有∠PAO ＝30°,∠PBO＝45°，AB＝20，AO＝ h，BO＝ ，在hABO 中，利用余弦定理求得h＝20(m).
考点 3 测量角度问题 多维探究[例 2]如图 3-8-10，在海岸 A 处发现北偏东 45°方向，距 A
追截走私船，此时走私船正以 10 海里/小时的速度从 B 处向北偏东 30°方向逃窜.问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间.图 3-8-10
思维点拨：根据题意在图中标注已知条件，先使用余弦定理求 BC，再使用正弦定理求角度.解：设缉私船应沿 CD 方向行驶 t 小时，才能最快截获(在D 点)走私船，则 CD＝10 t 海里，BD＝10t 海里，在△ABC中，由余弦定理，有
∴缉私船应沿北偏东 60°的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要 15 分种.【规律方法】角度问题的解题方法首先应明确方位角的含义，在解应用题时，分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，这是最关键、最重要的一步，通过这一步可将实际问题转化成可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点.提醒：方向角是相对于某点而言的，因此确定方向角时，首先要弄清是哪一点的方向角.
【考法全练】(2019 年山东泰安模拟)如图 3-8-11，A，B 是海面上两个固
定观测站，现位于 B 点南偏东 45°且相距 5艘轮船发出求救信号.此时在 A 处观测到D 位于其北偏东30°处，位于A北偏西30°
海里的 C 点的救援船立
即前往营救，其航行速度为 30 海里/小时，该救援船到达 D 点需要多长时间？
在△ACD 中，由余弦定理可得
∴CD＝30(海里).又救援船的速度为 30 海里/小时，所以救援船到达 D 点所需时间为 1 小时.
⊙解三角形中的最值问题[例 3](2018 年河南郑州检测)在△ABC 中，内角 A，B，C
(1)求角 A；(2)求 cs B＋cs C 的最大值；(3)若 b＋c＝1，求实数 a 的取值范围；
换一角度理解，显然当 S△ABC取最大值时，对 b，c 要求相同，因此必有 b＝c.图 3-8-12
【策略指导】三角函数中最值(或范围)问题△ABC 中，若已知角 C 及其对边 c.
(1)可用“化角”的方法求形如 a＋b＝
(sin A＋sin B)的
式子的取值范围；(2)可用余弦定理得含有 a＋b、ab 及 a2＋b2 的等式，再利用均值定理化为以 a＋b 或 ab 为变量的不等式求得 a＋b 或 ab的最值，从而可得三角形周长或面积的最值.
(2020 年大数据精选模拟卷)已知△ABC 的内角 A，B，C 所的最小值等于__________.
解析：已知等式利用正弦定理化简得
1.解三角形应用题的一般步骤