《高考总复习》数学 第四章 第3讲 平面向量的数量积[配套课件]

这是一份《高考总复习》数学 第四章 第3讲 平面向量的数量积[配套课件]，共31页。PPT课件主要包含了的乘积，题组一，走出误区，题组二，走进教材，答案C，题组三，真题展现，考点1，图4-3-1等内容，欢迎下载使用。

1.两个向量的数量积的定义
已知两个非零向量 a 与 b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|·cs θ叫做 a 与 b 的数量积(或内积)，记作 a·b，即 a·b＝|a||b|cs θ.规定零向量与任一向量的数量积为 0，即 0·a＝0.
2.平面向量数量积的几何意义
数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cs θ
3.平面向量数量积的性质设 a，b 都是非零向量，e 是单位向量，θ为 a 与 b(或 e)的夹角，则(1)e·a＝a·e＝|a|cs θ.
(2)a⊥b⇔a·b＝0.
(3)当 a 与 b 同向时，a·b＝|a||b|；当 a 与 b_____向时，a·b＝－|a||b|.
(5)|a·b|_____|a||b|.
4.平面向量数量积的坐标运算设向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，向量 a 与 b 的夹角为θ，则(1)a·b＝x1x2＋y1y2.
1.(多选题)下列命题错误的是(
A.一个向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量B.a·b>0，则 a 与 b 的夹角为锐角；a·b<0，则 a 与 b 的夹角为钝角 D.(a·b)·c＝a·(b·c)答案：BCD
2.(必修 4P107 例 6 改编)(2019 年全国Ⅲ)已知向量 a＝(2，2)，b＝(－8，6)，则 cs〈a，b〉＝__________.
4.(2020 年全国Ⅱ)已知单位向量 a，b 的夹角为 45°，ka－b与 a 垂直，则 k＝__________.
由向量垂直的充分必要条件可得(ka－b)·a＝0，
5.(2020 年全国Ⅰ)设 a，b 为单位向量，且|a＋b|＝1，则|a－b|＝______________.解析：因为 a，b 为单位向量，所以|a|＝|b|＝1，
AB＝1，∠DAB＝60°，E 为 CD 的中点，则AB·AE的值是(
平面向量的数量积 自主练习
1.(2020 年押题导航卷)如图 4-3-1 所示，在菱形 ABCD 中，
解析：∵E 为 CD 的中点，且四边形 ABCD 为菱形，
2.(2018 年全国Ⅱ)已知向量 a，b 满足|a|＝1，a·b＝－1，则
解析：a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2－(－1)＝3.故选 B.答案：B
3.(2020 年 6 月大数据精选模拟卷)已知四边形 ABCD 为平
平面向量的夹角 师生互动
[例 1](1)(2020 年全国Ⅲ)已知向量 a，b 满足|a|＝5，|b|＝6，
a·b＝－6，则 cs〈a，a＋b〉＝(
(2)(2019 年全国Ⅰ) 已知非零向量 a，b 满足|a| ＝2|b| ，且
(a－b)⊥b，则 a 与 b 的夹角为(
解析：∵(a－b)⊥b，∴(a－b)·b＝a·b－b2＝0，∴|a||b|cs θ＝|b|2，2|b|2cs θ＝|b|2，答案：B
(3)(2019 年全国Ⅲ)已知 a，b 为单位向量，且 a·b＝0，若c＝2a－ b，则 cs〈a，c〉＝________.
【题后反思】(1)平面向量a 与b 的数量积为 a·b＝|a||b|cs θ，其中θ是 a 与 b 的夹角，要注意夹角的定义和它的取值范围：0°≤θ≤180°.
＝0⇔a⊥b，因此，利用平面向量的数量积可以解决与长度、角度、垂直等有关的问题.
(2020 年全国Ⅱ)已知单位向量 a，b 的夹角为 60°，则在下
列向量中，与 b 垂直的是(A.a＋2bC.a－2b
B.2a＋bD.2a－b
[例 2](1)(2017 年全国Ⅰ)已知向量 a，b 的夹角为 60°，|a|＝2，|b|＝1，则| a＋2b |＝________________.解析：方法一，|a＋2b|2＝|a|2＋4a·b＋4|b|2＝4＋4×2×1×cs 60°＋4＝12，∴|a＋2b|＝
方法二，利用如图 4-3-2，可以判断出 a＋2b 的模长是以 2为边长的菱形对角线的长度，为 2 .
平面向量的模 多维探究
(2)(2017 年浙江)已知向量 a ，b 满足|a| ＝1 ，|b| ＝2 ，则|a＋b|＋|a－b|的最小值是________，最大值是________.解析：设向量 a，b 的夹角为θ，
【题后反思】(1)求向量的模的方法：①公式法，利用|a|＝运算；②几何法，利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解.
(2)求向量模的最值(范围)的方法：①代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解；②几何法(数形结合法)，弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解.
【考法全练】(2011 年全国)已知 a 与 b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题：
⊙三角函数与平面向量的综合应用[例 3](2020 年大数据精选模拟卷)已知向量 m＝(sin x，1)，
(1)求函数最小正周期 T 和单调递增区间；(2)已知角 A，B，C 所对应的边分别为 a，b，c，A 为锐角，
【高分训练】在△ABC 中，a，b，c 分别为三个内角 A，B，C 所对的边，设向量 m＝(b－c，c－a)，n＝(b，c＋a)，若 m⊥n，则角 A 的
解析：因为 m⊥n，所以 m·n＝b(b－c)＋(c－a)·(c＋a)＝0，
一个充要条件：a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.
两点注意：(1)一般地，(a·b)·c≠a·(b·c)，即乘法的结合律不
(2)a·b＝a·c(a≠0)不能推出 b＝c，即向量的数量积不满足消
三条规律：(1)a·b＝b·a(交换律).(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·λb(结合律).(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).