《高考总复习》数学 第五章 第2讲 等差数列[配套课件]

这是一份《高考总复习》数学 第五章 第2讲 等差数列[配套课件]，共44页。PPT课件主要包含了等差中项，都是等差数列，等差数列的最值，题组一，走出误区，答案BD，题组二，走进教材，A99，B100等内容，欢迎下载使用。

1.等差数列的定义如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等
差数列的公差，通常用字母______表示.
2.等差数列的通项公式如果等差数列{an}的首项为 a1，公差为 d，那么它的通项公式是 an＝a1＋(n－1)d.
4.等差数列的前 n 项和公式
设等差数列{an}的公差为 d，其前 n 项和 Sn＝___________
5.等差数列的前 n 项和公式与函数的关系
6.等差数列的常用性质
(1)若数列{an}是等差数列，则数列{an＋p}，{pan}(p 是常数)
(2)若 m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq； 特别地，若 m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则am＋an＝2ap.
(4)若等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，则 Sk，S2k－Sk，S3k－
S2k，S4k－S3k 是等差数列.
(5)等差数列的单调性：若公差 d>0，则数列单调递增；若公差 d<0，则数列单调递减；若公差 d＝0，则数列为常数列.
在等差数列{an}中，若 a1>0，d<0，则 Sn 存在最大值；若a1<0，d>0，则 Sn 存在最______值.
1.(多选题)下列命题正确的是(
A.若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列B.等差数列{an}的单调性是由公差 d 决定的C.等差数列的前 n 项和公式是常数项为 0 的二次函数D.若{an}是等差数列，公差为 d，则数列{a3n}也是等差数列
解析：对于 A，同一个常数.
对于 B，因为在等差数列{an}中，当公差 d>0 时，该数列是递增数列，当公差 d<0 时，该数列是递减数列，当公差 d＝0时，该数列是常数列，所以命题正确.
对于 C，常数列的前 n 项和公式为一次函数.
对于 D，因为{an}是等差数列，公差为 d，所以 a3(n＋1)－a3n＝3d(与 n 值无关的常数)，所以数列{a3n}也是等差数列.故选 BD.
2.(必修 5P67A 组第 1 题改编)在等差数列{an}中，a1＝1，
d＝3，an＝298，则 n＝(
解析： a1＝1，d＝3，an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×3＝298， n＝100.答案：B
4.(2018 年全国Ⅰ)设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和，若 3S3
＝S2＋S4，a1＝2，则 a5＝(
解析： 3S3＝S2＋S4⇒3a1＋2d＝0，∴d＝－3，a5＝a1＋ 4d＝2－12＝－10.故选 B.答案：B
5.(2020 年全国Ⅱ)记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和.若 a1＝ －2，a2＋a6＝2，则 S10＝__________.解析：∵{an}是等差数列，且 a1＝－2，a2＋a6＝2，设等差数列{an}的公差为 d，根据等差数列通项公式：an＝a1＋(n－1)d，可得 a1＋d＋a1＋5d＝2，即－2＋d＋(－2)＋5d＝2，整理可得 6d＝6，解得 d＝1，
∴S10＝25.故答案为 25.答案：25
1.(2017 年全国Ⅰ)记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和，若 a4
＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为(
解析：方法一，设公差为 d， a4＋a5＝a1＋3d＋a1＋4d＝ 2a1＋7d＝24，
C.Sn＝2n2－8n
2.(2019 年全国Ⅰ)记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和.已知
S4＝0，a5＝5，则(A.an＝2n－5
解析： S4＝4a1＋6d＝0，a5＝a1＋4d＝5，∴a1＝－3，d＝2，
∴an＝－3＋(n－1)×2＝2n－5，Sn＝－3n＋
3.(2020 年新高考Ⅰ)设将数列{2n－1}与{3n－2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前 n 项和为________.解析：因为数列{2n－1}是以 1 为首项，以 2 为公差的等差数列，数列{3n－2}是以 1 为首项，以 3 为公差的等差数列，所以这两个数列的公共项所构成的新数列{an}是以 1 为首项，以 6 为公差的等差数列，
所以{an}的前 n 项和为 n·1＋
4.( 多选题)已知{an} 为等差数列，其前 n 项和为 Sn ，且
2a1＋3a3＝S6，则以下结论正确的是(
A.a10＝0C.S7＝S12
B.S10 最小D.S19＝0
解析：∵2a1＋3a3＝S6，∴2a1＋3a1＋6d＝6a1＋15d， ∴a1＋9d＝0 即 a10＝0，A 正确；当 d<0 时，Sn 没有最小值，B 错误； S12－S7＝a8＋a9＋a10＋a11＋a12＝5a10＝0，∴S12＝S7，C正确；
(a1＋a19)×192
＝19a10＝0，D 正确.
故选 ACD.答案：ACD
【题后反思】在解决等差数列问题时，已知 a1，an，d，n，Sn 中的任意三个，可求其余两个，称为“知三求二”.而求得a1 和 d 是解决等差数列{an}所有运算的基本思想和方法.
考点 2 等差数列的基本性质及应用
[例 1](1)(2016 年四川双流中学模拟)已知等差数列{an}的前
n 项和为 Sn，若 S10＝1，S30＝5，则 S40＝(　　)
解析：方法一，设等差数列{an}的首项为 a1，公差为 d，则
(2)在等差数列{an}中，已知前三项和为 15，最后三项和为78，所有项和为 155，则项数 n＝________.解析：由已知，a1＋a2＋a3＝15，an＋an－1＋an－2＝78，两式相加，得(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋(a3＋an－2)＝93，即a1＋an＝31.
(3)(2020 年大数据精选模拟卷)我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，中间三尺重几何. ”意思是：“现有一根金锤，长 5 尺，头部 1 尺，重 4 斤，尾部 1 尺，重 2 斤，且从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，问中间三尺共重多少
解析：原问题等价于等差数列中，已知 a1＝4，a5＝2，求a2＋a3＋a4 的值，由等差数列的性质可知：a2＋a4＝a1＋a5＝6，
＝3，则 a2＋a3＋a4＝9，即中间三尺共重 9 斤.本题选
择 D 选项.答案：D
因此，正整数 n 的可能取值有 2，4，14.故选 ACD.答案：ACD
【题后反思】(1)利用等差数列{an}的性质“若 m＋n＝p＋
q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq”.
(2)等差数列{an}的前n项和为Sn，则Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，
S4k－S3k是等差数列.
(4)可以把 an 与Sn 结合起来，给计算带来很大便利，是解决等差数列的有效方法.“巧用性质、减少运算量”在等差、等比数列的计算中非常重要，但也要用好“基本量法”，运用方程的思想“知三求二”.
【考法全练】(2020 年全国Ⅱ)北京天坛的圜丘坛(图 5-2-1)为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌 9 块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加 9 块，下一层的第一环比上一层的最后一环多 9 块，向外每环依次也增加 9 块，已知每层环数相同，且下层比中层多 729
块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)(
A.3699 块C.3402 块
B.3474 块D.3339 块
解析：设第 n 环天石心块数为 an，第一层共有 n 环，则{an}是以 9 为首项，9 为公差的等差数列，an＝9＋(n－1)×9＝9n，
设 Sn 为{an}的前 n 项和，则第一层、第二层、第三层的块数分别为 Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，因为下层比中层多 729 块，所以 S3n－S2n＝S2n－Sn＋729，
即 9n2＝729，解得 n＝9，
所以 S3n＝S27＝
考点 3 等差数列前 n 项和的最值问题
[例 2](1)(2014 年北京)若等差数列{an}满足 a7＋a8＋a9＞0，a7＋a10＜0，则当 n＝________时，{an}的前 n 项和最大.解析：由等差数列的性质，及 a7＋a8＋a9＝3a8，得 a8＞0.∵a7＋a10＜0，∴a8＋a9＜0.∴a9＜0.∴公差 d<0.故数列{an}的前 8 项和最大.答案：8
(2)(2019 年北京)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 a2＝－3，S5＝－10，则 a5＝________，Sn 的最小值为________.解析：等差数列{an}中，S5＝5a3＝－10，得 a3＝－2.又 a2＝－3，∴公差 d＝a3－a2＝1，a5＝a3＋2d＝0.由等差数列{an}的性质得 n≤5时，an≤0；n≥6 时，an>0，∴Sn 的最小值为 S4 或 S5，即为－10.
(3)(2013 年全国Ⅱ) 等差数列{an} 的前 n 项和为 Sn ，已知S10＝0，S15＝25，则 nSn 的最小值为________.解析：设等差数列{an}的首项为 a1，公差为 d，由等差数列前 n 项和公式可得
【题后反思】设等差数列{an}的公差为 d，其前 n 项和
(2019 年北京)设{an}是等差数列，a1＝－10，且 a2＋10，
a3＋8，a4＋6 成等比数列.
(1)求{an}的通项公式；
(2)记{an}的前 n 项和为 Sn，求 Sn 的最小值.解：(1)设等差数列{an}的公差为 d，
因为 a2 ＋10，a3 ＋8，a4 ＋6 成等比数列，所以(a3 ＋8)2 ＝
(a2＋10)(a4＋6)，
即(2d－2)2＝d(3d－4)，解得 d＝2，所以 an＝－10＋2(n－1)
(2)方法一，由(1)知 an＝2n－12，
当 n＝5 或者 n＝6 时，Sn 取到最小值－30.
所以当 n ＝5 或者 n＝6 时，Sn 取到最小值 S5 ＝S6 ＝25 －55＝－30.
⊙利用函数的思想求等差数列的最值[例 3](2019 年北京海淀模拟)等差数列{an}中，设 Sn 为其前n 项和，且 a1>0，S3＝S11，则当 n 为多少时，Sn 最大？解：方法一，由 S3＝S11，得
方法二，由于 Sn＝An2＋Bn 是关于 n 的二次函数，由 S3＝S11，
解得 6.5≤n≤7.5，故当 n＝7 时，Sn 最大.方法四，由 S3＝S11，可得 2a1＋13d＝0，即(a1＋6d)＋(a1＋7d)＝0，
故 a7＋a8＝0，又由 a1>0，S3＝S11 可知 d<0，∴a7>0，a8<0，∴当 n＝7 时，Sn 最大.
【策略指导】求等差数列前 n 项和的最值常用的方法：①利用等差数列的性质求出其正负转折项，便可求得和的最值；②将等差数列的前 n 项和 Sn＝An2＋Bn(A，B 为常数)看作二次函数，根据二次函数的性质或图象求最值.
【高分训练】在等差数列{an}中，已知 a1＝10，前 n 项和为 Sn，若 S9＝S12，则 Sn 取得最大值时，n＝_______，Sn 的最大值为_______.解析：方法一，因为 a1＝10，S9＝S12，
所以 d＝－1.所以 an＝－n＋11.所以 a11＝0，即当 n≤10 时，an>0，当 n≥12 时，an<0，所以当 n＝10 或 11 时，Sn 取得最大值，且最大值为 S10＝
方法二，同方法一求得 d＝－1.
因为 n∈N*，所以当 n＝10 或 11 时，Sn 有最大值，且最大值为 S10＝S11＝55.方法三，同方法一求得 d＝－1.又由 S9＝S12 得 a10＋a11＋a12＝0.所以 3a11＝0，即 a11＝0.所以 a1>a2>…>a10>a11＝0，所以当 n ＝10 或 11 时，Sn 有最大值，且最大值为 S10 ＝S11＝55.答案：10 或 11 55
一个思想：处理数列问题的函数与方程思想.如求等差数列
关等差数列的计算常需列出关于 a1，d 的方程组求解.两个公式：(1)通项公式 an＝a1＋(n－1)d＝am＋(n－m)d.