高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册第一章　空间向量与立体几何1.2 空间向量在立体几何中的应用1.2.5 空间中的距离课时练习

1.2.5 空间中的距离——2022-2023学年高二数学人教B版（2019）选择性必修第一册同步课时训练

一、   概念练习

1.如图，在棱长为a的正方体中，P为的中点，Q为上任意一点，E，F为CD上两个动点，且EF的长为定值，则点Q到平面PEF的距离(   )

A.等于 B.和EF的长度有关

C.等于 D.和点Q的位置有关

2.如图,点为矩形所在平面外一点,平面为线段的中点,,则点到平面的距离为(   )

A. B. C. D.

3.在棱长为2的正方体中,E,F分别为棱的中点,G为棱上的一点,且,则点G到平面的距离为(   )

A. B. C. D.

4.在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，侧棱，D,E分别是，的中点，点E在平面ABD上的射影是的重心G，则点到平面ABD的距离为(   )
A. B. C. D.

5.已知三棱锥中，PA,PB,PC两两垂直，且，，，则点P到平面ABC的距离为(   )
A. B. C. D.

二、能力提升

6.已知正方体的棱长为1,E为的中点,则点C到平面的距离为(   )
A. B. C. D.

7.在空间直角坐标系Oxyz中，四面体ABCD的顶点坐标分别是，，，，则点B到平面ACD的距离是(   )
A. B. C. D.

8. （多选）已知正方体的棱长为1，点E、O分别是、的中点，P在正方体内部且满足，则下列说法正确的是(   )

A.点A到直线BE的距离是

B.点O到平面的距离为

C.平面与平面间的距离为

D.点P到直线AB的距离为

9. （多选）已知正方体的棱长为1，E,F分别为线段，上的动点，则下列结论正确的是(   )
A.平面

B.平面平面

C.点F到平面的距离为定值

D.直线AE与平面所成角的正弦值为定值

10. （多选）如图,已知E是棱长为2的正方体的棱BC的中点,F是棱的中点,设点D到平面的距离为d,直线DE与平面所成的角为，平面与平面AED的夹角为,则下列说法正确的有(   )

A.平面 B. C. D.

11.在棱长为2的正方体中，E，F分别为棱，的中点，G为棱上的一点，且，则点G到平面的距离为______________.

12.如图,在棱长为2的正方体中,E为BC的中点,P为直线上一动点,则点P到直线的距离的最小值为_______________.

13.如图，在底面是直角梯形的四棱锥中，侧棱底面ABCD,，，，，则AD到平面PBC的距离为______.
 

14.在直三棱柱中，，，且异面直线与所成的角等于60°，设.

（1）求a的值；
（2）求直线与平面之间的距离.

15.已知正方形ABCD的边长为1，平面ABCD，且，E,F分别为AB,BC的中点.
（1）求点D到平面PEF的距离；

（2）求直线AC到平面PEF的距离.

答案以及解析

1.答案：A

解析：取的中点G，连接PG，CG，DP，则，所以点Q到平面PEF的距离即点Q到平面PGCD的距离，与EF的长度无关，B错.又平面PGCD，所以点到平面PGCD的距离即点Q到平面PGCD的距离，即点Q到平面PEF的距离，与点Q的位置无关，D错.

如图，以点D为原点，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，

设是平面PGCD的法向量，则由得

令，则，，所以是平面PGCD的一个法向量.

设点Q到平面PEF的距离为d，则，A对，C错.

故选：A.

2.答案：B

解析：如图,以为原点,分别以所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系,则,.

设平面的一个法向量为,则即

令,则.

点到平面的距离.

3.答案：D

解析：以D为原点,分别为x轴,y轴,z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系,

则，，，,
因此，，.
设平面的法向量为,则,
令,得,
点G到平面的距离为,故选D.

4.答案：B

解析：以C为坐标原点，CA,CB,所在直线分別为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系,

设，则，，，，
可得，，，，.
因为点E在平面ABD上的射影是的重心，所以平面ABD，
所以，即，解得（负值舍去），则，，
则点到平面ABD的距离.故选B.

5.答案：D

解析：因为三棱锥中，PA,PB,PC两两垂直，
所以以P为原点，,,的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示.

因为，，，
所以，，，，
所以，，.
设平面ABC的一个法向量为,则即
取，则，，所以，
所以点P到平面ABC的距离为.

6.答案：A

解析：如图所示，以A为原点，,，的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立空间直角坐标系，则，，,,
因此，，.
设平面的一个法向量为，则
令，则，此时，
所以点C到平面的距离为.故选A.
 

7.答案：A

解析：由题意知,,.
设平面ACD的一个法向量为,则取，则，，，
，即点B到平面ACD的距离是.故选A.

8.答案：BC

解析：如图，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，所以，.

设，则，.

故A到直线BE的距离，故A错.

易知，

平面的一个法向量，则点O到平面的距离，故B对.

，，.

设平面的法向量为，

则所以

令，得，，

所以.

所以点到平面的距离.

因为易证得平面平面，所以平面与平面间的距离等于点到平面的距离，

所以平面与平面间的距离为，故C对.

因为，所以，又，则，所以点P到AB的距离，故D错.

9.答案：ABC
解析：以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，

由题意知，，，，，，，，，则，，
设，，,
则，

.
设，，，则.
对于A，, , ,
, ,
又AC,平面，，
平面，故A正确；
对于B，，，，
，，
又，平面，，
平面，
又平面，
平面平面，故B正确；
对于C，平面，为平面的一个法向量，
，点F到平面的距离，为定值，故C正确；
对于D，易知平面，
是平面的一个法向量，
设直线AE与平面所成的角为，
又，
，
不是定值，故D错误.故选ABC.

10.答案：BCD

解析：以A为坐标原点，，,的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示，

则，，，，，，
所以，，，，，.
设平面的一个法向量为，
则即
令，则，，故.
，故不存在实数使得，即与不共线，
DF与平面不垂直，故A不正确.
，，故B正确.
，
，故C正确.
易知为平面AED的一个法向量，为锐角，
，故D正确.
故选BCD.

11.答案：

解析：由题意得，平面，平面，所以平面，则点G到平面的距离等于点到平面的距离.以D为原点，DA， DC，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Dxyz，则，，，，所以，，.

设平面的法向量为，

则

令，则，，

所以平面的一个法向量.

点到平面的距离为，即点G到平面的距离为.

12.答案：

解析：点P到直线的距离的最小值就是异面直线与的距离.以点D为原点,分别以,,的方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系,则,,,,,.设,,,则,,,取,则,.又异面直线与的距离.

13.答案：

解析：由已知,得AB,AD,AP两两垂直,以A为坐标原点AB,AD,AP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
 

则,,,,,
.设平面PBC的法向量为，则
,即，可取.又，
平面PBC，所求距离为.

14.答案：（1）以A为原点，,,的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，

，.
异面直线与所成的角等于60°，

，
（负值已舍去）.
（2）由（1）知,
.
设平面的一个法向量为,
则即
令，得.
,
,
显然点不在平面内，
与平面平行.
，
，
点到平面的距离为，即直线与平面之间的距离为.
解析：

15.答案：建立以D为坐标原点，DA,DC,DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴的空间直角坐标系，如图所示，

则，，，，，，，
，，.
（1）设是平面PEF的一个法向量，
则，①
，②
①-②，整理得.
令，则，.
点D到平面PEF的距离为.
（2）作平面PEF，垂足为.
由（1）可知，
设，
则

，
，
解得（舍去）.
, .
易得平面PEF，因此，直线AC到平面PEF的距离为.