高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.7.1 抛物线的标准方程课时作业

2.7.1 抛物线的标准方程——2022-2023学年高二数学人教B版（2019）选择性必修第一册同步课时训练

一、   概念练习

1.若抛物线上的点到该抛物线焦点的距离为3，则抛物线的方程是(   ).

A. B. C. D.

2.设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则(   )

A.2 B. C.3 D.

3.已知抛物线的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若，则(   )

A. B. C.3 D.2

4.以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点.已知，，则C的焦点到准线的距离为(   )

A.2 B.4 C.6 D.8

5.已知点在抛物线上，若点P到抛物线焦点F的距离等于8，则焦点F到抛物线准线的距离等于(   )

A.2 B.1 C.4 D.8

二、能力提升

6.已知点A是抛物线上一点，F为抛物线的焦点，O为坐标原点，当时，，则抛物线的准线方程是(   )

A. B. C. D.

7.已知抛物线的准线与圆相切，则p的值为(   )

A. B.1 C.2 D.4

8. （多选）下列曲线中焦点坐标为的是(   )

A. B. C. D.

9. （多选）设抛物线的焦点为F.点M在y轴上，若线段FM的中点B在抛物线上，且点B到抛物线准线的距离为，则点M的坐标为(   )

A. B. C. D.

10. （多选）已知方程，则(   )

A.当时，方程表示椭圆 B.当时，方程表示双曲线

C.当时，方程表示两条直线 D.方程表示的曲线不可能为抛物线

11.已知F是抛物线的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则______________.

12.若抛物线上的一点M到坐标原点O的距离为，则点M到该抛物线焦点的距离为___________.

13.若直线l经过抛物线的焦点且与圆相切，则直线l的方程为_______________.

14.求满足下列条件的曲线的标准方程：

（1）长半轴长，离心率，焦点在x轴上的椭圆的标准方程；

（2）顶点在原点，对称轴是坐标轴，且焦点在直线上的抛物线的标准方程.

15.已知抛物线C:经过点.

(1)求抛物线的方程，并求其准线方程；

(2)若直线l与OA平行，与抛物线有公共点，且直线OA与l的距离为，求直线l的方程.

答案以及解析

1.答案：B

解析：由题意知，则准线为，点到焦点的距离等于其到准线的距离，即，，则.

故选B.

2.答案：B

解析：解法一：如图，由题意可知，设，则由抛物线的定义可知.因为，所以由，可得，解得，所以或.不妨取，则，故选B.

解法二：由题意可知，，所以.因为抛物线的通径长为，所以AF的长为通径长的一半，所以轴，所以，故选B.

3.答案：A

解析：，点Q在P、F之间，过Q作，垂足为M，由抛物线的定义知，设抛物线的准线l与x轴的交点为N，则，又易知，则，即，

，即.故选A.

4.答案：B

解析：不妨设，，

则.

由题意可知，

，解得.故选B.

5.答案：C

解析：抛物线的准线为，因为为抛物线上的点，所以点P到焦点F的距离等于它到准线的距离，所以，所以，即焦点F到抛物线准线的距离等于4，故选C.

6.答案：A

解析：如图所示，过A作准线的垂线AC，过F作AC的垂线FB，垂足分别为C，B，由题意，得，所以，点A到准线的距离，解得，则拋物线的准线方程是，故选A.

7.答案：C

解析：拋物线的准线方程为，因为抛物线的准线与圆相切，所以，解得.

8.答案：BC

解析：对于A，化为标准方程是，焦点坐标为，故A错误；对于B，由，得，，则，所以焦点坐标为，故B正确；对于C，由，得，，则，所以焦点坐标为，故C正确；对于D，由，得，，则，所以焦点坐标为，故D错误.故选BC.

9.答案：BC

解析：设，易知，

则，如图所示.

则，.

抛物线方程为，且，

又B在抛物线上，，因此，解得.故选BC.

10.答案：BD

解析：当时，原方程整理得，若m，n同负，或，则方程不表示椭圆，A错误；当时，与异号，方程表示双曲线，B正确；当时，方程是，当时，方程无解，故C错误；无论m、n为何值，方程都不可能表示抛物线，D正确.故选BD.

11.答案：6

解析：如图，过M、N分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为、，设抛物线的准线与x轴的交点为，则，.因为M为FN的中点，所以，由抛物线的定义知，从而.

12.答案：

解析：设点，

，，

或（舍去），.

到抛物线的准线的距离.

点M到抛物线焦点的距离等于点M到抛物线的准线的距离，

点M到该抛物线焦点的距离为，故答案为.

13.答案：或

解析：由题意，知抛物线的焦点为，圆的圆心为，半径为1.当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，与圆相切，满足题意.当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，即，则由直线与圆相切，得，解得，所以直线l的方程为，即.综上所述，直线l的方程为或.

14.答案：（1）

（2）或

解析：（1）由，，得，所以，

故所求椭圆的标准方程为.

（2）直线与坐标轴的交点坐标分别是，，

当焦点坐标为时，设抛物线的标准方程为，则，此时抛物线的标准方程是.

当焦点坐标为时，设抛物线的标准方程为，则，此时抛物线的标准方程为.

综上，顶点在原点，对称轴是坐标轴，且焦点在直线上的抛物线的标准方程是或.

15.答案：(1)将点代入抛物线方程，得，得.

故抛物线C的方程为，其准线方程为.

（2）设直线l的方程为.

联立消去x得.

因为直线l与抛物线C有公共点，所以，解得.

由直线OA与l的距离为，可得，解得，

所以.

所以直线l的方程为.