人教B版 (2019)选择性必修 第二册4.1.2 乘法公式与全概率公式综合训练题

4.1.2 乘法公式与全概率公式——2022-2023学年高二数学人教B版（2019）选择性必修第二册同步课时训练

一、概念练习

1.已知A学校有15位数学老师,其中9位男老师,6位女老师,B学校有10位数学老师,其中3位男老师,7位女老师,为了实现师资均衡,现从A学校任意抽取一位数学老师到B学校,然后从B学校随机抽取一位数学老师到市里上公开课,则两次都抽到男老师的概率是(   )
A. B. C. D.

2.为了提升全民身体素质，学校十分重视学生体育锻炼.某校一篮球运动员进行投篮练习，若他第1球投进，则第2球投进的概率为，若他第1球投不进，则第2球投进的概率为.若他第1球投进的概率为，则他第2球投进的概率为(   )

A. B. C. D.

3.盒中有a个红球，b个黑球，今随机地从中取出一个，观察其颜色后放回，并加上同色球c个，再从盒中抽取一球，则第二次抽出的是黑球的概率是(   )

A. B. C. D.

4.已知,则等于(   )

A. B. C. D.

5.已知,则等于(   )

A. B. C. D.

二、能力提升

6.某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立.已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，，，且.记该棋手连胜两盘的概率为p，则(   )

A.p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关

B.该棋手在第二盘与甲比赛，p最大

C.该棋手在第二盘与乙比赛，p最大

D.该棋手在第二盘与丙比赛，p最大

7.某校高二(1)班甲、乙两名同学进行投篮比赛,他们投进球的概率分别是和,现甲、乙两人各投篮一次,恰有一人投进球的概率是(   )
A. B. C. D.

8. （多选）从甲袋中摸出1个红球的概率是，从乙袋中摸出1个红球的概率是.从甲袋、乙袋各摸出1个球，则下列结论正确的是(   )

A.2个球都是红球的概率为 B.2个球不都是红球的概率为

C.至少有1个红球的概率为 D.2个球中恰有1个红球的概率为

9. （多选）某社区开展“防疫知识竞赛”，甲、乙两人荣获一等奖的概率分别为p和q，两人是否获得一等奖相互独立，则这两人中至少有一人获得一等奖的概率为(   )

A. B.

C.pq  D.

10. （多选）甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别用事件和表示从甲罐中取出的球是红球，白球和黑球；再从乙罐中随机取出一球，用事件B表示从乙罐中取出的球是红球，则下列结论正确的是(   )
A.  B.

C.事件B与事件相互独立 D.是两两互斥的事件

11.从数字1,2,3,4中任取一个数，记为X，再从1至X中任取一个整数，记为Y，则_______________.

12.设某批产品中，编号为1,2,3的三家工厂生产的产品分别占45%，35%，20%，各厂产品的次品率分别为2%，3%，5%.现从中任取一件，则取到的是次品的概率为___________.

13.事件A，B，C是互相独立的事件，若，，，则_______________.

14.甲、乙两个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为和，求:

(1)两个人都译出密码的概率.

(2)两个人都译不出密码的概率.

(3)恰有1个人译出密码的概率.

15.计算机中心有三台打字机A,B,C，某打字员使用各台打字机打字的概率依次为0.6,0.3,0.1，打字机发生故障的概率依次为0.01,0.05,0.04.已知该打字员因打字机发生故障而耽误了工作进度，求该打字员使用A,B,C打字的概率分别为多少

答案以及解析

1.答案：B

解析：设“从A学校抽取的数学老师是男老师”为事件M，“从B学校抽取的数学老师是男老师”为事件N,
则由题意可知,
,
则两次都抽到男老师的概率.
故选B.

2.答案：B

解析：该校一篮球运动员进行投篮练习，记“他第1球投进”为事件A，“他第2球投进”为事件B，由题知，，
又知，所以，
所以.
故选B.

3.答案：C

解析：设事件 “第一次抽出的是黑球”，事件 “第二次抽出的是黑球”，则，由全概率公式.由题意，所以.

4.答案：C

解析：由乘法公式得,故选C.

5.答案：C

解析：由,可得.故选C.

6.答案：D

解析：解法一设棋手在第二盘与甲比赛连胜两盘的概率为，在第二盘与乙比赛连胜两盘的概率为，在第二盘与丙比赛连胜两盘的概率为，由题意可知，，，.所以，，所以最大，故选D.

解法二（特殊值法）不妨设，，，则该棋手在第二盘与甲比赛连胜两盘的概率；在第二盘与乙比赛连胜两盘的概率；在第二盘与丙比赛连胜两盘的概率.所以最大，故选D.

7.答案：D

解析：甲投进而乙没有投进的概率为,乙投进而甲没有投进的概率为,故甲、乙两人各投篮一次，恰有一人投进球的概率是，故选D.

8.答案：ACD

解析：设“从甲袋中摸出1个红球”为事件，“从乙袋中摸出1个红球为事件，则，，且，独立.对于A选项，2个球都是红球为，其概率为，故A正确；对于B选项，“2个球不都是红球”是“2个球都是红球”的对立事件，其概率为，故B错误；对于C选项，2个球中至少有1个红球的概率为，故C正确；对于D选项，2个球中恰有1个红球的概率为，故D正确.故选ACD.

9.答案：AD

解析：记事件A为“甲获得一等奖”，B为“乙获得一等奖”.则，，且A，B相互独立.从正面考虑，甲、乙两人中至少有一人获得一等奖为，为三个互斥事件的并，所以，故A正确；从反面考虑，事件“甲、乙两人中至少有一人获得一等奖”的对立事件是“甲、乙两人都没获得一等奖”，即事件，易得，所以“这两人中至少有一人获得一等奖”的概率为，故D正确.故选AD.

10.答案：BD

解析：由题意知是两两互斥的事件，故D正确；
，故B正确；同理，，故A不正确；易知C不正确.故选BD.

11.答案：

解析：由题意,知.易得,,,,由全概率公式，可得.

12.答案：0.0295

解析：设A表示“取到的是一件次品”，表示“取到的产品是由第家工厂生产的”，则,
.由全概率公式可得

 

13.答案：

解析：设，，，

因为，，，

所以所以所以.

14.答案：(1)

(2)

(3)

解析：(1)记“甲独立地译出密码”为事件A，“乙独立地译出密码”为事件B，

A，B为相互独立事件，且.

2个人都译出密码的概率为.

(2)两个人都译不出密码的概率为.

(3)恰有1个人译出密码可以分为两类，即甲译出乙未译出以及甲未译出乙译出，且两个事件为互斥事件，所以恰有1个人译出密码的概率为

.

15.答案：设“该打字员因打字机发生故障而耽误了工作进度”为事件M，“该打字员用A打字”为事件，“该打字员用B打字”为事件，“该打字员用C打字”为事件，则根据全概率公式有,
根据贝叶斯公式，可得该打字员使用A,B,C打字的概率分别为,
,
.