高中数学人教B版 (2019)必修 第二册4.3 指数函数与对数函数的关系课时训练

4.3 指数函数与对数函数的关系——2022-2023学年高一数学人教B版（2019）必修第二册同步课时训练

一、概念练习

1.设，函数，使的x的取值范围是(   )

A. B. C. D.

2.已知函数,则不等式的解集为(   )

A. B. C. D.

3.已知，则(   )

A. B. C. D.

4.函数的反函数是(   )

A.  B.

C.  D.

5.已知函数与互为反函数，函数的图像与的图像关于x轴对称.若，则实数a的值为(   )

A. B. C. D.e

二、能力提升

6.若函数是(，且)的反函数，则下列结论错误的是(   )

A.  B.

C. D.

7.若函数是函数(，且)的反函数，其图像经过点，则(   )

A. B. C. D.

8. （多选）若定义域为的函数同时满足以下三个条件：

（i）对任意的，总有；

（ii）；

（iii）若，，，则有，

就称为“A函数”.下列定义在上的函数中，是“A函数”的有(   )

A.  B.

C.  D.

9. （多选）若，，则(   )

A. B. C. D.

10. （多选）已知函数,下列说法正确的是(   )

A.函数为偶函数

B.若,其中,则

C.函数在上单调递增

D.若,则

11.已知点在函数的图像上，则的反函数_____________.

12.若函数的图像与函数的图像关于直线对称，则的单调递减区间为____________.

13.已知函数，为的反函数.若函数则___________.

14.已知是R上的增函数，点，在它的图像上，是它的反函数，解不等式.

15.回答下列问题：

(1)计算：；

(2)解关于x的方程：.

答案以及解析

1.答案：C

解析：.

，，即.

又，，

因此，

由得.故选C.

2.答案：C

解析：由题意知,函数,其定义域为,且,所以为奇函数.因为和都是增函数,所以是增函数.由,得,所以,所以.故选C.

3.答案：B

解析：，所以，所以.

4.答案：C

解析：.因为原函数的值域是，所以其反函数是.

5.答案：C

解析：函数与函数互为反函数，.

函数的图像与的图像关于x轴对称，

.

，.故选C.

6.答案：D

解析：函数是(，且)的反函数，

(，且).

，B正确，D错误；

，A正确；

，C正确.故选D.

7.答案：A

解析：由题意知，又，，，，故选A.

8.答案：CD

解析：选项A中，，故不是“A函数”.选项B中，若，，，则，不满足（iii），故不是“A函数”.选项C中，显然满足（i）（ii），又，所以是“A函数”.选项D中，显然满足（i）（ii），因为，，所以，又，，所以，，从而，因此，是“A函数”.故选CD.

9.答案：AC

解析：选项A中，因为，所以为单调递减函数，由得，故A正确；

选项B中，因为，所以为单调递减函数，由，得，故B错误；

选项C中，因为，，所以，所以，故C正确；

选项D中，取，，则，故D错误.故选AC.

10.答案：ABD

解析：对于A,,所以函数为偶函数,故A正确;

对于B,若,其中,则,即,得,故B正确;

对于C,函数,由,解得,所以函数的定义域为,因此在上不具有单调性,故C错误;

对于D,因为,所以,所以,故,故D正确.故选ABD.

11.答案：

解析：将点代入得，，用y表示x得，.

12.答案：

解析：由题意函数的图像与函数的图像关于直线对称，所以函数是的反函数，即，则.令，解得.又是减函数，在上是增函数，在上是减函数，由复合函数的单调性知，的单调递减区间为.

13.答案：1

解析：由题意，得，

.

设，则有，

即，，.

14.答案：

解析：是R上的增函数，在R上也是增函数.

，，，.

由，得，

，，，即所求不等式的解集为.

15.答案：(1)原式

(2)方程的解为

解析：(1)原式.

(2)原方程可化为，

从而，解得或.

经检验，不合题意.

故方程的解为.