人教B版 (2019)必修 第二册4.5 增长速度的比较测试题

4.5 增长速度的比较——2022-2023学年高一数学人教B版（2019）必修第二册同步课时训练

一、概念练习

1.下表表示的是某实验数据，现准备用某个函数近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是(   )

A. B. C. D.

2.下表是某次测量中两个变量x，y的一组数据，若将y表示为关于x的函数，则最可能的函数模型是(   )

A.一次函数模型 B.二次函数模型 C.指数函数模型 D.对数函数模型

3.下列函数增长速度最快的是(   )

A. B. C. D.

4.中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经验表明，某种绿茶用85℃的水泡制，等到茶水温度降至时饮用，可以产生最佳口感.为分析泡制一杯最佳口感茶水所需的时间，某研究人员每隔1 min测量一次茶水的温度，根据所得数据作出如图所示的散点图.观察散点图的分布情况，下列可以近似地刻画茶水温度y随时间x变化的规律的函数模型是(   )

A. B.

C.（，，且） D.（，，）

5.某品牌电脑投放市场的第一个月销售了100台，第二个月销售了200台，第三个月销售了400台，第四个月销售了790台，则下列函数模型中能较好地反映销售量y与投放市场月数x之间关系的是(   )

A.  B.

C.  D.

二、能力提升

6.以下四种说法中，正确的是(   )
A.幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快
B.对任意的，
C.对任意的，
D.不一定存在，当时，总有

7.某校为了规范教职工绩效考核制度,现准备拟定一函数用于根据当月评价分数x(正常情况下,且教职工平均月评价分数在50分左右,若有突出贡献可以高于100分)计算当月绩效工资y(元).要求绩效工资不低于500元,不设上限,且让大部分教职工的绩效工资在600元左右,另外绩效工资越低或越高时,人数要越少.则下列函数最符合要求的是(   )

A.   B.

C.  D.

8. （多选）如图所示的是某受污染的湖泊在自然净化的过程中某种有害物质的剩余量y与净化时间t（月）之间满足的函数关系：（，，）的图象.若有害物质的初始量为1，则以下说法中正确的是(   )

A.第4个月时，剩余量就会低于

B.每月减少的有害物质的量都相等

C.有害物质每月的衰减率为

D.当剩余量为，，时，所经过的时间分别是，，，则

9. （多选）有一组实验数据如表所示：

则下列所给函数模型较不适合的有(   )

A. B. C. D.

10. （多选）下面对函数与在区间上的衰减情况的说法中错误的有(   )

A.的衰减速度越来越慢，的衰减速度越来越快

B.的衰减速度越来越快，的衰减速度越来越慢

C.的衰减速度越来越慢，的衰减速度越来越慢

D.的衰减速度越来越快，的衰减速度越来越快

11.某商品一直打7折出售，利润率为47%，购物节期间，该商品恢复了原价，并参加了“买一件送同样一件”的活动，则此时的利润率为___________.(注：利润率=(销售价格-成本）)÷成本)

12.刘女士2015年辞职来到一家能发挥自己特长的公司工作,当年的年薪为4万元,按照她和公司的合同,到2018年其年薪要达到10万元,则其年薪的平均增长率应为__________.

13.现测得的两组对应值分别为,现有两个待选模型,甲:,乙:,若又测得的一组对应值为,则应选用________作为函数模型.

14.某地方政府为鼓励全民创业，拟对本地产值在50万元到500万元的新增小微企业进行奖励，奖励方案遵循以下原则：奖金 (单位：万元)随年产值 (单位：万元)的增加而增加，且奖金不低于7万元，同时奖金不超过年产值的15%.

（1）若某企业产值100万元，核定可得9万元奖金，试分析函数为常数)是否为符合政府要求的奖励函数模型，并说明原因(已知)．

（2）若采用函数作为奖励函数模型，试确定最小的正整数a的值．

15.科技创新在经济发展中的作用日益凸显.某科技公司为实现9000万元的投资收益目标，准备制订一个激励研发人员的奖励方案：当投资收益达到3000万元时，按投资收益进行奖励，要求奖金（单位：万元）随投资收益x（单位：万元）的增加而增加，奖金总数不低于100万元，且奖金总数不超过投资收益的20%.

（1）现有三个奖励函数模型：①，②，③，.试分析这三个函数模型是否符合公司要求；

（2）根据（1）中符合公司要求的函数模型，要使奖金额达到350万元，公司的投资收益至少要达到多少万元？

答案以及解析

1.答案：A

解析：本题考查函数模型的选择.作出散点图，如下图，可知该函数单调递增，符合对数函数图象性质，经数值验证，符合A选项的函数关系.

2.答案：D

解析：观察图表中函数值y随自变量x变化的规律可知，随着自变量x增大，函数值也在增大，但是增加的幅度越来越小，因此它最可能的函数模型为对数函数.故选D.

3.答案：A

解析：结合函数，，，的图像可知，随着x的增大，函数的增长速度越来越快，会超过并远远大于的增长速度，而的增长速度则会越来越慢，的增长速度不变，故本题选A.

4.答案：C

解析：由散点图的连线是曲线可知，B选项不符合题意；对于A选项，因为A中的函数是二次函数，其图象对称轴为y轴，与题中图象不符，故排除A；对于D选项，D中的函数图象过定点，且必穿过x轴，D选项不符题意.故符合条件的只有指数函数图象，故选C.

5.答案：C

解析：由题列出如下表格：

根据表格中的数据，可知函数在上是增函数，且y随x的增大而增大得越来越快，分析各选项知选项C符合，故选C.

6.答案：D

解析：对于A，幂函数与一次函数的增长速度分别受幂指数及一次项系数的影响，幂指数与一次项系数不确定，增长速度不能比较；对于B、C，当时，显然不成立；当，时，一定存在，使得当时，总有，但若去掉限制条件“，”，则结论不成立.故选D.

7.答案：C

解析：由题意知,拟定函数应满足:①时单调递增函数,且增长速度先快后慢再快; ②在左右增长速度较慢,最小值为500.A中,函数在内先减后增,不符合要求;B中,函数是指数型函数,增长速度越来越快,不符合要求;D中，函数是对数型函数，增长速度越来越慢，不符合要求；在C中，函数的图象是由函数的图象经过平移和伸缩变换得到的，形状符合要求，且最小值为500.故选C.

8.答案：ACD

解析：根据图象过点，可知，，

解得或（舍去），

函数关系是.

令，得，故A正确；

当时，，减少了，当时，，减少了，每月减少的有害物质的量不相等，故B不正确；

因为，所以有害物质每月的衰减率为，故C正确；

分别令，，，解得，，，则，故D正确.

故选ACD.

9.答案：ABD

解析：由所给数据可知y随x的增大而增大，且增长速度越来越快，而A，D中的函数增长速度越来越慢，B中的函数增长速度保持不变.

10.答案：ABD

解析：在平面直角坐标系中画出与图象如下图所示，由图象可判断出衰减情况为衰减速度越来越慢，衰减速度越来越慢.

11.答案：5%

解析：设商品的原价为x元，成本为y元，则，.若该商品参加“买一件送同样一件”的活动，则每件售价为，利润率为.

12.答案：

解析：设平均增长率为x,则由.

∴.

13.答案：乙

解析：当时,,而.故应选用乙作为函数模型.

14.答案：（1）不符合要求，原因见解析

（2）315

解析：（1）对于函数模型 为常数，

时，，代入解得，

所以．

当时，是增函数，但时，，即奖金不超过年产值的不成立，故该函数模型不符合要求；

（2）对于函数模型，

为正整数，函数在递增；，解得，

要使对恒成立，即对恒成立，

所以，

综上所述，，

所以满足条件的最小的正整数的值为315．

15.答案：（1）①函数，当时，，不符合要求；

②函数为减函数，不符合要求；

③函数在上为增函数，且当时，，

又因为当时，

，，

所以恒成立.

因此，为满足条件的函数模型.

（2）由得，所以，

所以公司的投资收益至少要达到8000万元.