高中数学人教B版 (2019)必修 第二册6.1.4 数乘向量课时训练

6.1.4 数乘向量——2022-2023学年高一数学人教B版（2019）必修第二册同步课时训练

一、概念练习

1.在中，设为AC边的中点，则(   )

A. B. C. D.

2.设D为所在平面内一点，若，则下列关系中正确的是(   )

A.  B.

C.  D.

3.已知AB是的直径，C，D是半圆弧AB上的两个三等分点，设，则(   )

A.  B.

C.  D.

4.在中，D是AB边上的一点，若，则(   )

A. B. C. D.

5.如图所示，已知在中，D是边AB上的中点，则(   )

A. B. C. D.

二、能力提升

6.已知实数m，n和向量，有下列说法：

①；②；

③若，则；

④若，则.

其中，正确的说法是(   )

A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④

7.已知，则下列结论正确的是(   )

A.  B.

C.  D.

8.（多选）若点分别为的边的中点,且,则下列结论正确的是(   )
A. B. C. D.

9.（多选）如图,在梯形ABDC中,,AD与BC相交于点O,则下列结论正确的是(   )

A.  B.

C.  D.

10.（多选）已知实数m,n和向量，下列说法正确的是(   )
A.
B.
C.若，则
D.若，则

11.在中，，点M是线段AD上一点，若，则________.

12.化简：______.

13.点C在线段AB上，且，则________,________.

14.如图所示，在中，C是以A为对称中心的点B的对称点，和OA交于点E，设.

(1)用和表示向量；

(2)若，求实数的值.

15.如图所示，在中，D,F分别是BC,AC的中点，.

（1）用表示；
（2）求证：B,E,F三点共线.

答案以及解析

1.答案：D

解析：因为为AC边的中点，所以.

由向量减法的三角形法则可得，，故选D.

2.答案：C

解析：因为，所以，所以.故选C.

3.答案：A

解析：是的直径，C，D是半圆弧AB上的两个三等分点，

且，.故选A.

4.答案：B

解析：由，得，即，所以.

5.答案：B

解析：方法一：是AB的中点，.

方法二：.

6.答案：B

解析：①和②属于向量数乘运算的分配律，正确；

③中，当时，，但与不一定相等，故③不正确；

④正确，因为由，得，又因为，所以，即.

7.答案：C

解析：当时，不成立，A错误；

是一个非负实数，而是一个向量，所以B错误；

当或时，，D错误.故选C.

8.答案：ABC

解析：在中,,
故A正确;,故B正确;,故C正确;,故D不正确.故选ABC.

9.答案：ABC

解析：对于A，，所以A正确；
对于B, ,所以B正确；
对于C，易知，所以,即,所以，所以C正确;
对于D, ,故D不正确.故选ABC.

10.答案：ABD

解析： A和B属于向量的数乘运算的分配律，故A,B正确；C中，当时，，但与不一定相等，故C不正确；由，得，又，所以，即.故D正确.

11.答案：

解析：，D为线段BC的中点，

如图所示，.

又因为A，M，D三点共线，所以，所以.

12.答案：

解析：原式.

13.答案：;

解析：设，则，.

14.答案：(1)见解析

(2)

解析：(1)由题意知，A是线段BC中点，且.

由平行四边形法则得，.

(2)，又，

.

15.答案：（1）如图，延长AD到点G,使，连接BG,CG，得到平行四边形ABGC.

则,

,
.

（2）由（1），知共线,
又有公共点，B,E,F三点共线.