2024 届高二年级“深惠湛东”四校联考数学试题及参考答案

2024 届高二年级“深惠湛东”四校联考试题

数学（参考答案）

一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共 20 分．

13． 1        14．       15．      16．

四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

17．（1）因为圆心坐标为，且圆与x轴相切，

所以圆心到x轴的距离等于半径，即，                    ..........................2分

圆的方程为：．                ……………………………….4分

（2）若选条件①，设圆心到直线l的距离为d，

因为，则，………………………………………………….6分

由点到直线的距离公式，，           ......................................................8分

解得．（计算出一个结果扣一分）           ...............................................10分

若选条件②，设圆心到直线l的距离为d，由，

，                   ………………………………………………….6分

由点到直线的距离公式，，          ......................................................8分

解得．                               ...............................................10分

18．（1）解法一：以为原点建立如图所示的直角坐标系．

则．

所以，…………….1分

设平面的法向量为，

则．         …………….2分

解得，令得，．所以．………………………………….3分

设与平面所成角为，则….4分

所以，与平面所成角为．………………………………………..….5分

解法二：作交的延长线于点（图略）． ……………………………...….2分

易知为与平面所成角．因为，所以．

所以与平面所成角为．……………………………………………… …….5分

（2）解法一：平面的一个法向量为，                 ………….8分

．                                       ………….11分

因为二面角为锐角，

所以二面角的余弦值为．             (求得负值扣一分）………….12分

解法二：作交于点，作于点（图略），易知为二面角的平面角．……………………………………………………………… ……....7分

因为， 所以．．

根据勾股定理，，……………………...…………...…….10分

所以，二面角的余弦值为．…………………….12分

19．（1）因为两点关于原点对称，不妨设点在第一象限，

则．.........................1分

所以，解得，..............................2分

离心率．……………………………….….4分

（2）（方法1）设直线，．…………………..…….5分

联立直线与双曲线的方程得：．………………….6分

根据韦达定理，有．………………………………………...…….7分

所以，…………………………………………...…8分

．…………………………………………………..…9分

点到直线的距离，所以，…..…10分

解得或（舍去），所以．……………………………………………...……11分

所以直线的方程为或．………………………………………………12分

（方法2）设直线，．…………………..…….5分

联立直线与双曲线的方程得：．……………….6分

根据韦达定理，有．……………………………………...…….7分

所以，………………………………………...…8分

直线与x轴的交点为．

所以，…………………………………..…10分

解得或（舍去），所以．……………………………………………...……11分

所以直线的方程为或．………………………………………………12分

20．（1）取中点，连接，…………………………………………………...1分

因为，所以，故，…………2分

因为，平面EFH，所以平面．         …………3分

因为平面，所以．……………………………………………………4分

（2）①因为，，所以，，

因为平面平面，

由（1）知，为平面与平面的二面角，所以，

因为，， 所以平面，则即为直线与平面所成角，故，则，                ………5分

由勾股定理可得：．………………………………………………….6分

②连接，因为点为的重心，所以点必在直线上，

过点作交于点，则，

因为平面，平面，所以，

以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，

由①知，为等边三角形，所以，，

所以，………………………………………………….7分

所以，

设平面的法向量为，

则             ...............8分

令得：，所以，                ...............9分

设平面的法向量为，

则           ...............10分

解得：，令，则，所以        .....................11分

则，

设平面的夹角为，显然为锐角， ……………….12分

20．（1）依题意，，，，

 由，解得．    （a,b,c一个一分）              

所以椭圆的标准方程为：．……………………………………………………4分

（2）解法一：因为直线斜率为，则直线的方程为，

即，                                    ……………………………5分

联立解得，所以 ，       ……………6分

所以，……………7分

点到直线的距离为

，…………………………..8分

，…………………………..10分

所以，，因此，当且仅当，即时，等号成立 

因此，三角形面积的最大值为．…………………………………………………12分

解法二：设直线的斜率为，则直线的斜率为．          ……………5分

联立解得，所以 ．          ……………6分

联立解得，所以 ．        ……………7分

不妨设，则

．………………………………………...8分

，                       ……………10分

因为，当且仅当时等号成立．

所以，

因为，所以三角形面积的最大值为．……………………………..12分

22．（1）设．则．……………………………………..1分

所以，化简得．…………………………....2分

因此，曲线的方程为．………………………………………………..3分

（2）解法一：当直线斜率存在时，设直线，．

因为在上，所以．

联立直线与椭圆的方程得：．

根据韦达定理， 有．……………4分

设定点．因为，所以

． …………………………………...5分

将代入化简得：．…………………...…7分

所以，解得．………………………………………………..8分

直线斜率不存在时，与交于两点，易得．

所以曲线上存在定点，使得恒成立．…………………………………9分

解法二：当直线斜率不存在时，与曲线交于两点．

因为，所以点在以为直径的圆上．

联立椭圆与圆的方程，解得或（舍去）．

直线斜率为0时，与曲线交于两点．

因为，所以点在以为直径的圆上．

联立椭圆与圆的方程，解得或（舍去）．

下面验证为所求定点．设直线，．

联立直线与椭圆的方程得：．

根据韦达定理， 有．

因为，所以

．

化简得，即．

所以或，即或（舍）．.……8分

所以直线，过点．

直线斜率不存在时，易得，过点．

综上，曲线上存在定点，使得恒成立．………………………………9分

过点作于，则．.10分

当时，最大，

此时．……………………………………………..11分所以的最小值为．………………………………………………………...12分