浙江省台州市温岭市2021-2022学年八年级（上）期末数学试卷(含答案)

这是一份浙江省台州市温岭市2021-2022学年八年级（上）期末数学试卷(含答案)，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题.，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年浙江省台州市温岭市八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分，请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分）
1．（4分）下列四个图标中，属于轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（4分）下列长度的三条线段能组成三角形的是（　　）
A．3cm、3cm、6cm B．3cm、5cm、7cm
C．2cm、4cm、6cm D．2cm、9cm、6cm
3．（4分）要使分式有意义，则x的取值应满足（　　）
A．x＝﹣1 B．x＝1 C．x≠1 D．x≠﹣1
4．（4分）下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（　　）
A．（x+3）（x﹣3）＝x2﹣9 B．2ab﹣2ac＝2a（b﹣c）
C．（m+1）2＝m2+2m+1 D．n2+2n+1＝n（n+2）+1
5．（4分）下列运算正确的是（　　）
A．（﹣a）2＝﹣a2 B．2a2﹣a2＝﹣a2 C．a﹣1•a3＝a2 D．（a﹣1）2＝a2
6．（4分）一个多边形的每一个外角都为72°，这个多边形是（　　）
A．五边形 B．六边形 C．八边形 D．十边形
7．（4分）如图，OP平分∠AOB，E为OA上一点，OE＝4，P到OB的距离是2，则△OPE的面积为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．8
8．（4分）如图，点C是线段BG上的一点，以BC，CG为边向两边作正方形，面积分别是S1和S2，两正方形的面积和S1+S2＝40，已知BG＝8，则图中阴影部分面积为（　　）

A．6 B．8 C．10 D．12
9．（4分）如图，玩具车从A点出发，向西走了a米，到达B点，然后顺时针旋转120°，前进b米，到达C点，再顺时针旋转120°，前进c米，到达D点，D点刚好在A点的正北方向，则a、b、c之间的关系为（　　）

A．a+c＝b B．2a＝b+c C．4c＝a+b D．a＝b﹣c
10．（4分）如图，直角三角形ABC中，AC＝BC，AD是△ABC的角平分线，动点M、N同时从A点出发，以相同的速度分别沿A→C→B和A一B→C方向运动，并在边BC上的点E相遇，连接AE，①AE平分△ABC的周长，②AE是△ABD的角平分线，③AE是△ABD的中线．以上结论正确的有（　　）

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）.
11．（5分）计算：（a+2b）（a﹣2b）＝　 　．
12．（5分）若把分式的x、y同时变为原来的10倍，则分式的值 　 　（填变大，变小，不变）
13．（5分）如图所示的五边形花环是用五个全等的等腰三角形拼成的，则∠BAC的度数为　 　．

14．（5分）等腰三角形的一个角比另一个角大30°，则顶角为 　 　度．
15．（5分）已知＝320，a2﹣b2＝322，则a﹣b＝　 　．
16．（5分）如图，△ABC中，AB＝AC，BC＝，AB的垂直平分线交BC于点D．且BD＜CD，过点B作射线AD的垂线，垂足为E，则CD﹣DE＝　 　．

三、解答题（第17～20题，每题8分，第21题10分，第22～23题，每题12分，第24题14分，共80分）
17．（8分）计算：
（1）用简便方法计算：1012﹣992；
（2）因式分解：2a2+12ab+18b2．
18．（8分）先化简，后求值：，其中x＝，y＝．
19．（8分）已知：如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB∥DE，AB＝DE．BC＝EF．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）若点E为BC中点，EC＝6，求线段BF的长度．

20．（8分）如图，D是Rt△ABC斜边BC上的一点，连接AD，将△ACD沿AD翻折得△AFD．恰有AF⊥BC．
（1）若∠C＝35°，∠BAF＝　 　；
（2）试判断△ABD的形状，并说明理由．

21．（10分）如图，图中的小方格都是边长为1的正方形．
（1）画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1，并直接写出△A1B1C1的各顶点坐标：
A1　 　，B1　 　，C1　 　；
（2）P为x轴上一动点，连接PB，PC，当PB+PC的值最小时，请在图中作出点P，（保留作图痕迹）并直接写出点P的坐标为 　 　．

22．（12分）杭绍台高铁开通后，相比原有的“杭甬﹣﹣甬台”铁路，全程平均速度提高了50%，温岭站到杭州东站的里程缩短了50km．行车时间减少了50分钟．测得杭绍台高铁从温岭站到杭州东站全程共skm．
（1）求杭绍台铁路的平均速度（用含s的式子表示）；
（2）因设计原因，列车在杭甬线的平均速度与在杭绍台的平均速度相同，杭甬线与甬台线的线路里程之比为4：5，求列车在甬台线的平均速度．

23．（12分）学习了平方差、完全平方公式后，小聪同学对学习和运用数学公式非常感兴趣，他通过上网查阅，发现还有很多数学公式，如立方和公式：（a+b）（a2﹣ab+b2）＝a3+b3，他发现，运用立方和公式可以解决很多数学问题，请你也来试试利用立方和公式解决以下问题：
（1）【公式理解】公式中的字母可以代表任何数、字母或式子．
①化简：（a﹣b）（a2+ab+b2）＝　 　；
②计算：（993+1）÷（992﹣99+1）＝　 　；
（2）【公式运用】已知：+x＝5，求的值；
（3）【公式应用】如图，将两块棱长分别为a、b的实心正方体橡皮泥揉合在一起，重新捏成一个高为的实心长方体，问这个长方体有无可能是正方体，若可能，a与b应满足什么关系？若不可能，说明理由．

24．（14分）如图1，已知AB＝AC，D是AC上一个动点，E、C位于BD两侧，BD＝BE，∠BAC＝∠DBE．
（1）当∠BAC＝60°时，如图2，连接AE，求证：AE＝CD；
（2）当∠BAC＝45°时，①若DE⊥AB，则∠CDB＝　 　度；
②如图4．连接AE．当∠CDB＝　 　度时，AE最小；
（3）当∠BAC＝90°时，如图5，连接CE交AB于点M，求的值．



2021-2022学年浙江省台州市温岭市八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分，请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分）
1．（4分）下列四个图标中，属于轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【解答】解：选项A能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
选项B、C、D均不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
故选：A．
【点评】此题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（4分）下列长度的三条线段能组成三角形的是（　　）
A．3cm、3cm、6cm B．3cm、5cm、7cm
C．2cm、4cm、6cm D．2cm、9cm、6cm
【分析】三角形的三条边必须满足：任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边．
【解答】解：A、3+3＝6，不能组成三角形，不符合题意；
B、3+5＞7，能组成三角形，符合题意；
C、2+4＝6，不能组成三角形，不符合题意；
D、2+6＜9，不能组成三角形，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题主要考查对三角形三边关系的理解应用．判断是否可以构成三角形，只要判断两个较小的数的和＞最大的数就可以．
3．（4分）要使分式有意义，则x的取值应满足（　　）
A．x＝﹣1 B．x＝1 C．x≠1 D．x≠﹣1
【分析】根据分母等于0，分式无意义；分母不等于0，分式有意义对各选项举反例判断即可．
【解答】解：依题意得：x﹣1≠0．
解得x≠1．
故选：C．
【点评】本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义⇔分母为零；（2）分式有意义⇔分母不为零；（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．
4．（4分）下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（　　）
A．（x+3）（x﹣3）＝x2﹣9 B．2ab﹣2ac＝2a（b﹣c）
C．（m+1）2＝m2+2m+1 D．n2+2n+1＝n（n+2）+1
【分析】根据因式分解的定义判断求解．
【解答】解：A．是整式乘法，故此选项不符合题意；
B．符合因式分解定义，故此选项符合题意；
C．是整式乘法，故此选项不符合题意；
D．没有把多项式化为几个整式的积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题主要考查因式分解的定义．解题的关键是掌握因式分解的定义：把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．
5．（4分）下列运算正确的是（　　）
A．（﹣a）2＝﹣a2 B．2a2﹣a2＝﹣a2 C．a﹣1•a3＝a2 D．（a﹣1）2＝a2
【分析】根据积的乘方判断A选项；根据合并同类项判断B选项；根据同底数幂的乘法判断C选项；根据完全平方公式判断D选项．
【解答】解：A选项，原式＝a2，故该选项不符合题意；
B选项，原式＝a2，故该选项不符合题意；
C选项，原式＝a2，故该选项符合题意；
D选项，原式＝a2﹣2a+1，故该选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了积的乘方，合并同类项，同底数幂的乘法，完全平方公式，掌握（a±b）2＝a2±2ab+b2是解题的关键．
6．（4分）一个多边形的每一个外角都为72°，这个多边形是（　　）
A．五边形 B．六边形 C．八边形 D．十边形
【分析】多边形的外角和是固定的360°，依此可以求出多边形的边数．
【解答】解：∵一个多边形的每个外角都等于72°，
∴多边形的边数为360°÷72°＝5．
故这个多边形的边数是5．
故选：A．
【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理：多边形的外角和是360°．
7．（4分）如图，OP平分∠AOB，E为OA上一点，OE＝4，P到OB的距离是2，则△OPE的面积为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．8
【分析】过P作PD⊥OB于D，作PC⊥OA于C，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PC＝PD＝2，根据三角形的面积公式计算可求解．
【解答】解：如图，过P作PD⊥OB于D，作PC⊥OA于C，

∵OP是∠AOB的平分线，P到OB的距离是2，
∴PC＝PD＝2，
∵OE＝4，
∴S△OPE＝OE•PC＝．
故选：C．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．
8．（4分）如图，点C是线段BG上的一点，以BC，CG为边向两边作正方形，面积分别是S1和S2，两正方形的面积和S1+S2＝40，已知BG＝8，则图中阴影部分面积为（　　）

A．6 B．8 C．10 D．12
【分析】设BC＝a，CG＝b，建立关于a，b的关系，最后求面积．
【解答】解：设BC＝a，CG＝b，则S1＝a2，S2＝b2，a+b＝BG＝8．
∴a2+b2＝40．
∵（a+b）2＝a2+b2+2ab＝64，
∴2ab＝64﹣40＝24，
∴ab＝12，
∴阴影部分的面积等于ab＝×12＝6．
故选：A．
【点评】本题考查完全平方公式的几何背景，通过面积关系构造使用完全平方公式的条件是求解本题的关键．
9．（4分）如图，玩具车从A点出发，向西走了a米，到达B点，然后顺时针旋转120°，前进b米，到达C点，再顺时针旋转120°，前进c米，到达D点，D点刚好在A点的正北方向，则a、b、c之间的关系为（　　）

A．a+c＝b B．2a＝b+c C．4c＝a+b D．a＝b﹣c
【分析】连接AD，延长CD，BA交于E点，则AD⊥AB，通过证明△BCE为等边三角形可得BE＝CE＝AC＝b，∠E＝60°，即可求得∠ADE＝30°，利用含30°角的直角三角形的性质可得DE＝2AE，进而可得2（b﹣a）+c＝b，化简即可求解．
【解答】解：连接AD，延长CD，BA交于E点，则AD⊥AB，

由题意得∠ABC＝∠BCD＝60°，
∴△BCE为等边三角形，
∴BE＝CE＝AC＝b，∠E＝60°，
∵AD⊥AB，
∴∠EAD＝90°，
∴∠ADE＝∠EAD﹣∠E＝30°，
∴DE＝2AE，
∵CD＝c，AB＝a，
∴2（b﹣a）+c＝b，
即2a＝b+c，
故选：B．
【点评】本题主要考查等边三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质，构造等边三角形是解题的关键．
10．（4分）如图，直角三角形ABC中，AC＝BC，AD是△ABC的角平分线，动点M、N同时从A点出发，以相同的速度分别沿A→C→B和A一B→C方向运动，并在边BC上的点E相遇，连接AE，①AE平分△ABC的周长，②AE是△ABD的角平分线，③AE是△ABD的中线．以上结论正确的有（　　）

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【分析】过点D作DF⊥AB于点F，根据题意可得AC+CE＝AB+BE，进而可以判断①正确；根据AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，DC⊥AC，可得DF＝DC，然后证明Rt△ADF≌Rt△ADC，可得AF＝AC，然后根据线段的和差可得BE＝DE，可得AE是△ABD的中线，进而判断③正确，即可解决问题．
【解答】解：如图，过点D作DF⊥AB于点F，

∵动点M、N同时从A点出发，以相同的速度分别沿A→C→B和A一B→C方向运动，并在边BC上的点E相遇，
∴AC+CE＝AB+BE，
∴AE平分△ABC的周长，故①正确；
∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，DC⊥AC，
∴DF＝DC，
在Rt△ADF和Rt△ADC中，
，
∴Rt△ADF≌Rt△ADC（HL），
∴AF＝AC，
∵∠B＝45°，∠DFB＝90°，
∴△DFB是等腰直角三角形，
∴DF＝BF，
∴AB＝AF+FB＝AC+CD，
∵AC+CE＝AB+BE，
∴AB+BE＝AC+CD+DE，
∴BE＝DE，
∴AE是△ABD的中线，故③正确，
综上所述：结论正确的有①③．
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，解决本题的关键是得到△ACD≌△AFD．
二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）.
11．（5分）计算：（a+2b）（a﹣2b）＝　a2﹣4b2　．
【分析】找出相同项和相反项，再用平方差公式计算即可．
【解答】解：（a+2b）（a﹣2b）
＝a2﹣4b2．
故答案为：a2﹣4b2．
【点评】本题考查了平方差公式，运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．
12．（5分）若把分式的x、y同时变为原来的10倍，则分式的值 　不变　（填变大，变小，不变）
【分析】根据分式的基本性质即可求出答案．
【解答】解：分式的x、y同时变为原来的10倍，可得
＝，与原分式相同，
故答案为：不变．
【点评】本题考查分式的基本性质，分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
13．（5分）如图所示的五边形花环是用五个全等的等腰三角形拼成的，则∠BAC的度数为　36°　．

【分析】利用全等三角形的性质和正五边形的定义可判断五边形花环为正五边形，根据多边形的内角和定理可计算出∠ABD＝108°，然后根据三角形内角和求解即可．
【解答】解：如图，

∵五边形花环是用五个全等的等腰三角形拼成的，
∴五边形花环为正五边形，
∴∠ABD＝＝108°，
∵∠ABC+∠CBD＝∠ABC+∠BAC＝108°，
∴∠BCA＝180°﹣108°＝72°，
∴∠BAC＝180°﹣2∠BCA＝36°．
故答案为：36°．
【点评】本题考查了多边形内角与外角：多边形内角和定理：（n﹣2）•180° （n≥3且n为整数）；多边形的外角和等于360°，熟记有关知识是解题的基础．
14．（5分）等腰三角形的一个角比另一个角大30°，则顶角为 　80或40　度．
【分析】根据已知条件，先设出三角形的两个角，然后进行讨论，即可得出顶角的度数．
【解答】解：①较大的角为顶角，设这个角为x，则：
x+2（x﹣30）＝180，
x＝80；
②较大的角为底角，设顶角为y°，则：
y+2（y+30）＝180，
y＝40，
答：等腰三角形的顶角为80°或40°．
故答案为：80或40．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．
15．（5分）已知＝320，a2﹣b2＝322，则a﹣b＝　±3　．
【分析】利用平方差公式和比例性质把两已知等式进行变形，再依据等量关系可得关于a﹣b的方程，求解即可．
【解答】解：∵a2﹣b2＝322，
∴（a+b）（a﹣b）＝322，
∴a+b＝，
∵＝320，
∴a+b＝320（a﹣b），
∴＝320（a﹣b），
∴（a﹣b）2＝32，
∴a﹣b＝±3，
故答案为：±3．
【点评】此题考查的是平方差公式及比例的性质，掌握其公式结构是解决此题的关键．
16．（5分）如图，△ABC中，AB＝AC，BC＝，AB的垂直平分线交BC于点D．且BD＜CD，过点B作射线AD的垂线，垂足为E，则CD﹣DE＝　　．

【分析】作AF⊥BC于F，证明△BDE≌△ADF，根据全等三角形的性质得DF＝DE，可得CD﹣DE＝CF，由等腰三角形的性质即可求解．
【解答】解：作AF⊥BC于F，

∵AB的垂直平分线交BC于点D．
∴AD＝BD，
∵AF⊥BC，BE⊥DE，
∴∠E＝∠AFD＝90°，
在△BDE和△ADF中，
，
∴△BDE≌△ADF（AAS），
∴DF＝DE，
∴CD﹣DE＝CD﹣DF＝CF，
∵AB＝AC，AF⊥BC，BC＝，
∴CF＝BC＝．
故答案为：．
【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判断与性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
三、解答题（第17～20题，每题8分，第21题10分，第22～23题，每题12分，第24题14分，共80分）
17．（8分）计算：
（1）用简便方法计算：1012﹣992；
（2）因式分解：2a2+12ab+18b2．
【分析】（1）利用平方差公式分解进行计算即可；
（2）先提公因式，然后利用完全平方公式继续分解即可．
【解答】解：（1）1012﹣992
＝（101+99）×（101﹣99）
＝200×2
＝400；
（2）2a2+12ab+18b2．
＝2（a2+6ab+9b2）
＝2（a+3b）2．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
18．（8分）先化简，后求值：，其中x＝，y＝．
【分析】先把分式的分子和分母分解因式，再约分，最后代入求出答案即可．
【解答】解：
＝
＝，
当x＝，y＝时，
原式＝
＝
＝
＝0．
【点评】本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
19．（8分）已知：如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB∥DE，AB＝DE．BC＝EF．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）若点E为BC中点，EC＝6，求线段BF的长度．

【分析】（1）由AB∥DE得∠B＝∠DEF，已知条件中还有AB＝DE，BC＝EF，可以根据“SAS”判定△ABC≌△DEF；
（2）若点E为BC中点，则EB＝EC＝6，所以BC＝EF＝12，由BF＝EB+EF可以求出BF的长．
【解答】（1）证明：如图，∵AB∥DE，
∴∠B＝∠DEF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS）．
（2）解：∵点E为BC中点，EC＝6，
∴EB＝EC＝6，
∴BC＝EB+EC＝6+6＝12，
∴BC＝EF＝12，
∴BF＝EB+EF＝6+12＝18，
∴线段BF的长度为18．
【点评】此题考查全等三角形的判定与性质，找到并根据已知条件证明△ABC和△DEF全等所缺少的条件是解题的关键．
20．（8分）如图，D是Rt△ABC斜边BC上的一点，连接AD，将△ACD沿AD翻折得△AFD．恰有AF⊥BC．
（1）若∠C＝35°，∠BAF＝　35°　；
（2）试判断△ABD的形状，并说明理由．

【分析】（1）由直角三角形的性质可得出答案；
（2）由折叠的性质得出∠CAD＝∠FAD，证出∠ADB＝∠BAD，由等腰三角形的判定可得出结论．
【解答】解：（1）∵∠BAC＝90°，
∴∠CAF+∠BAF＝90°，
∵AF⊥BC，
∴∠C+∠CAF＝90°，
∴∠BAF＝∠C＝35°；
故答案为：35°；
（2）△ABD是等腰三角形．
理由：由（1）可知∠C＝∠BAF，
∵将△ACD沿AD翻折得△AFD．
∴∠CAD＝∠FAD，
∵∠ADB＝∠C+∠CAD，∠DAB＝∠DAF+∠BAF，
∴∠ADB＝∠BAD，
∴AB＝BD，
∴△ABD是等腰三角形．
【点评】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的判定，直角三角形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握等腰三角形的判定是解题的关键．
21．（10分）如图，图中的小方格都是边长为1的正方形．
（1）画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1，并直接写出△A1B1C1的各顶点坐标：
A1　（2，1）　，B1　（4，﹣2）　，C1　（1，﹣1）　；
（2）P为x轴上一动点，连接PB，PC，当PB+PC的值最小时，请在图中作出点P，（保留作图痕迹）并直接写出点P的坐标为 　（﹣2，0）　．

【分析】（1）根据轴对称的性质即可画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1，并直接写出△A1B1C1的各顶点坐标；
（2）在坐标系内找到点B关于x轴的对称点B′，连接B′C交x轴于点P即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；

A1 （2，1），B1 （4，﹣2），C1 （1，﹣1）；
故答案为：（2，1），（4，﹣2），（1，﹣1）；
（2）如图，点P即为所求；点P的坐标（﹣2，0）．
故答案为：（﹣2，0）．
【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换，勾股定理，轴对称﹣最短路线问题，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．
22．（12分）杭绍台高铁开通后，相比原有的“杭甬﹣﹣甬台”铁路，全程平均速度提高了50%，温岭站到杭州东站的里程缩短了50km．行车时间减少了50分钟．测得杭绍台高铁从温岭站到杭州东站全程共skm．
（1）求杭绍台铁路的平均速度（用含s的式子表示）；
（2）因设计原因，列车在杭甬线的平均速度与在杭绍台的平均速度相同，杭甬线与甬台线的线路里程之比为4：5，求列车在甬台线的平均速度．

【分析】（1）设杭绍台铁路的平均速度为v，则“杭甬﹣﹣甬台”铁路的速度为，根据行驶时间减少50分钟，列方程求解即可；
（2）设杭甬线与甬台线的线路分别为4x和5x，列车在杭甬线的平均速度与在杭绍台的平均速度都为v，列车在甬台线的平均速度为v'，根据题意列方程求出v'和v的关系，进而求出v'即可．
【解答】解：（1）设杭绍台铁路的平均速度为v，则“杭甬﹣﹣甬台”铁路的速度为，50分钟＝时，
根据题意列方程得﹣＝，
解得v＝90+s，
∴杭绍台铁路的平均速度为（90+s）千米/时；
（2）设杭甬线与甬台线的线路分别为4x和5x，列车在杭甬线的平均速度与在杭绍台的平均速度都为v，列车在甬台线的平均速度为v'，
根据题意列方程得＝+，
解得v'＝，
由（1）知v'＝×（90+s）＝+s，
∴列车在甬台线的平均速度为（+s）千米/时．
【点评】本题主要考查分式方程的应用，熟练根据题中等量关系列出方程求解是解题的关键．
23．（12分）学习了平方差、完全平方公式后，小聪同学对学习和运用数学公式非常感兴趣，他通过上网查阅，发现还有很多数学公式，如立方和公式：（a+b）（a2﹣ab+b2）＝a3+b3，他发现，运用立方和公式可以解决很多数学问题，请你也来试试利用立方和公式解决以下问题：
（1）【公式理解】公式中的字母可以代表任何数、字母或式子．
①化简：（a﹣b）（a2+ab+b2）＝　a3﹣b3　；
②计算：（993+1）÷（992﹣99+1）＝　100　；
（2）【公式运用】已知：+x＝5，求的值；
（3）【公式应用】如图，将两块棱长分别为a、b的实心正方体橡皮泥揉合在一起，重新捏成一个高为的实心长方体，问这个长方体有无可能是正方体，若可能，a与b应满足什么关系？若不可能，说明理由．

【分析】（1）根据立方差公式计算．
（2）根据完全平方公式计算．
（3）根据体积找到a，b关系．
【解答】解：（1）①原式＝a3+（﹣b）3＝a3﹣b3．
②原式＝（99+1）（992﹣99×1+12）÷（992﹣99+1）＝100．
故答案为：a3﹣b3，100．
（2）∵x+＝5，
∴原式＝（+x）÷
＝×
＝×
＝
＝x+﹣1
＝5﹣1
＝4．
（3）假设长方体可能为正方体，由题意：a3+b3＝
∴（a+b）（a2﹣ab+b2）＝．
∴8a2﹣8ab+8b2＝a2+2ab+b2．
∴7a2﹣10ab+7b2＝0．
∴7×﹣10×+7＝0．
∵≥0
∴7×﹣7×+7＝7×+＞0，
∴7a2﹣10ab+7b2＝0不成立．
∴该长方体不可能是边长为的正方体．
【点评】本题考查立方差和立方和公式的应用，构造使用公式的条件是求解本题的关键．
24．（14分）如图1，已知AB＝AC，D是AC上一个动点，E、C位于BD两侧，BD＝BE，∠BAC＝∠DBE．
（1）当∠BAC＝60°时，如图2，连接AE，求证：AE＝CD；
（2）当∠BAC＝45°时，①若DE⊥AB，则∠CDB＝　67.5　度；
②如图4．连接AE．当∠CDB＝　90　度时，AE最小；
（3）当∠BAC＝90°时，如图5，连接CE交AB于点M，求的值．


【分析】（1）连接AE，可知△ABC，△BDE是等边三角形，再利用SAS证明△BCD≌△BAE，得AE＝CD；
（2）①利用等腰三角形两底角相等知∠BDE＝67.5°，再根据平角的定义可得答案；
②作BH⊥AC于H，EG⊥AB于G，利用AAS证明△BDH≌△BEG，得∠BHD＝∠BGE＝90°，可知点E在EG上运动，当点E与G重合时，AE最小，此时∠BDC＝∠BHC＝90°；
（3）作EQ⊥AB于Q，利用AAS证明△ADB≌△QBE，得AD＝BQ，则CD＝AQ，再利用AAS证明△AMC≌△QME，得AM＝MQ，从而解决问题．
【解答】（1）证明：连接AE，

∵∠BAC＝∠DBE＝60°，BD＝BE，AB＝AC，
∴△ABC，△BDE是等边三角形，
∴∠ABC＝∠DBE，
∴∠CBD＝∠ABE，
在△BCD和△BAE中，
，
∴△BCD≌△BAE（SAS），
∴AE＝CD；
（2）解：①当∠BAC＝∠DBE＝45°时，
∵BD＝BE，
∴∠BDE＝（180°﹣45°）÷2＝67.5°，
∵DE⊥AB，
∴∠ADE＝∠A＝45°，
∴∠CDB＝67.5°，
故答案为：67.5；
②作BH⊥AC于H，EG⊥AB于G，

∵∠A＝45°，
∴∠ABH＝∠DBE＝45°，
∴∠DBH＝∠EBG，
∵∠BHD＝∠BGE，BD＝BE，
∴△BDH≌△BEG（AAS），
∴∠BHD＝∠BGE＝90°，
∴点E在EG上运动，
当点E与G重合时，AE最小，此时∠BDC＝∠BHC＝90°，
故答案为：90；
（3）解：作EQ⊥AB于Q，

∵∠QEB+∠QBE＝90°，∠QBE+∠ABD＝90°，
∴∠BEQ＝∠ABD，
∵BD＝BE，∠DAC＝∠BQE，
∴△ADB≌△QBE（AAS），
∴AD＝BQ，
∴CD＝AQ，
∵∠CAB＝∠AQE，∠AMC＝∠EMQ，
∴△AMC≌△QME（AAS），
∴AM＝MQ，
∴．
【点评】本题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．