2020-2021学年湖北省武汉市江汉区八年级（下）月考数学试卷（4月份）

这是一份2020-2021学年湖北省武汉市江汉区八年级（下）月考数学试卷（4月份），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年湖北省武汉市江汉区八年级（下）月考数学试卷（4月份）
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）使有意义的x的取值范围是（　　）
A．x＞﹣1 B．x≥﹣1 C．x≠﹣1 D．x≤﹣1
2．（3分）在以O为坐标原点的平面直角坐标系中，点A（1，﹣2），则线段OA的长为（　　）
A．2 B．5 C． D．
3．（3分）下列计算错误的是（　　）
A． B． C． D．
4．（3分）在平行四边形ABCD中，∠A＝65°，则∠D的度数是（　　）
A．105° B．115° C．125° D．65°
5．（3分）△ABC三边分别为a、b、c，在下列条件下，不是直角三角形的是（　　）
A．b2＝a2﹣c2 B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
C．∠C＝∠A﹣∠B D．a：b：c＝1：：
6．（3分）若是整数，则正整数n的最小值是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．（3分）下列性质中，平行四边形不一定具备的是（　　）
A．邻角互补 B．对角互补
C．对边相等 D．对角线互相平分
8．（3分）在▱ABCD中，若对角线AC＝6，BD＝8，则AB长不可能是下列值中的（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
9．（3分）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，若a+b＝14cm，c＝10cm，则Rt△ABC的面积是（　　）
A．24cm2 B．36cm2 C．48cm2 D．60cm2
10．（3分）如图，△ABC中，BD平分∠CBA，CE平分∠ACB的外角，AD垂直BD于D，AE垂直CE于E，AB＝c，AC＝b，BC＝a，则DE＝（　　）

A． B． C． D．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）计算：＝　 　．
12．（3分）若一个直角三角形两边的长分别为6和8，则第三边的长为　 　．
13．（3分）已知，则x2+2x﹣3＝　 　．
14．（3分）已知▱ABCD中，AB＝2．过A点向BC作垂线，垂足为E，AE＝2．则∠ABC＝　 　．
15．（3分）已知a＜b，则化简的结果是 　 　．
16．（3分）Rt△ABC中，直角边AC＝8，斜边AB＝17，在直线AC上取一点D，使△ABD为等腰三角形，则该等腰三角形的周长为 　 　．
三、解答题（共72分）
17．（8分）计算：
（1）；
（2）．
18．（8分）先化简后求值：（﹣）÷，其中x＝．
19．（8分）如图，在▱ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AE＝CF．求证：BE＝DF．

20．（8分）如图，在▱ABCD中，AD＝2AB，若E为BC中点，F为BD的中点．
（1）求证：AE平分∠BAD；
（2）若EF＝1，求AE2+DE2的值．

21．（8分）如果一个三角形的所有顶点都在网格的格点上，那么这个三角形叫做格点三角形，如图，请在下列给定网格（每个小方格边长均为1）中按要求解答下面问题：

（1）方格图1中格点△ABC的面积为 　 　；
（2）已知某格点三角形有两条边长分别为、且面积与△ABC相等，则这个三角形第三边长为 　 　；
（3）以图2中C为顶点，为边长构造等腰直角三角形，顶点均为格点，则这样的格点三角形有 　 　种（全等算一种），共有 　 　个．
22．（8分）已知由（a﹣b）2≥0，可得a2+b2≥2ab，运用上述结论解决问题：
（1）当a，b满足 　 　时，a2+b2＝2ab成立；
（2）若x为正数，　 　，当x＝　 　时，取得最小值；
（3）若x为正数，的最小值为 　 　；
（4）若x＞3，则最小值为 　 　．
23．（12分）△ABC中，∠BAC＝α，AB＝AC，点D、E在直线BC上．
（1）如图1，D、E在BC边上，若α＝120°，且AD2+AC2＝DC2，求证：BD＝AD；
（2）如图2，D、E在BC边上，若α＝150°，∠DAE＝75°，且ED2+BD2＝CE2，求∠BAD的度数．
（3）如图3，D在CB的延长线上，E在BC边上，若∠BAC＝α，∠DAE＝180°﹣，∠ADB＝15°，BE＝4，BD＝2，则CD的值为 　 　．


24．（12分）如图，平面直角坐标系中，点A（0，a﹣2），B（b，0），C（b﹣6，﹣b），且a、b满足，连接AB、AC，AC交x轴于D点．
（1）求C点的坐标；
（2）如图1，求证：；
（3）如图2，K是x轴正半轴上一点坐标为（m，0），将线段KC绕着K点顺时针旋转90°至KF，连AK，FB，取AK中点N，FB中点M，试用m表示MN的长度，并证明．


2020-2021学年湖北省武汉市江汉区八年级（下）月考数学试卷（4月份）
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）使有意义的x的取值范围是（　　）
A．x＞﹣1 B．x≥﹣1 C．x≠﹣1 D．x≤﹣1
【分析】让被开方数为非负数列式求值即可．
【解答】解：由题意得：x+1≥0，
解得x≥﹣1．
故选：B．
【点评】考查二次根式有意义的条件；用到的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
2．（3分）在以O为坐标原点的平面直角坐标系中，点A（1，﹣2），则线段OA的长为（　　）
A．2 B．5 C． D．
【分析】根据点A、O的坐标，利用勾股定理即可求得两点间的距离，即线段OA的长度．
【解答】解：∵A（1，﹣2），点O为坐标原点，
∴OA＝＝．
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理和两点间的距离公式，熟练掌握两点间的距离公式是解题的关键．
3．（3分）下列计算错误的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据二次根式乘法可以判断A；根据二次根式除法可以判断B；根据二次根式的加法可以判断C；根据二次根式的减法可以判断D．
【解答】解：×＝7，故选项A正确，不符合题意；
÷＝，故选项B正确，不符合题意；
+＝8，故选项C正确，不符合题意；
﹣＝﹣，故选项D错误，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
4．（3分）在平行四边形ABCD中，∠A＝65°，则∠D的度数是（　　）
A．105° B．115° C．125° D．65°
【分析】根据平行四边形的性质得出AB∥CD，根据平行线性质推出∠A+∠D＝180°，即可求出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，
∴∠D+∠A＝180°，
∵∠A＝65°，
∴∠D＝115°．
故选：B．

【点评】本题考查了平行四边形的性质和平行线的性质，关键是推出∠A+∠D＝180°，题目比较典型，难度不大．
5．（3分）△ABC三边分别为a、b、c，在下列条件下，不是直角三角形的是（　　）
A．b2＝a2﹣c2 B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
C．∠C＝∠A﹣∠B D．a：b：c＝1：：
【分析】根据勾股定理的逆定理即可判断选项A和选项D，根据三角形内角和定理求出最大角的度数，即可判断选项B和选项C．
【解答】解：A．∵b2＝a2﹣c2，
∴b2+c2＝a2，
∴以a、b、c为边的三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；
B．∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴最大角∠C＝×180°＝75°
∴以a、b、c为边的三角形不是直角三角形，故本选项符合题意；
C．∵∠C＝∠A﹣∠B，
∠B+∠C＝∠A，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴2∠A＝180°，
∴∠A＝90°，
∴三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；
D．∵a：b：c＝1：：，
∴a2+b2＝c2，
∴以a、b、c为边的三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形内角和定理，能熟记勾股定理的逆定理和三角形内角和定理是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两边a、b的平方和等于第三边c的平方，那么这个三角形是直角三角形．
6．（3分）若是整数，则正整数n的最小值是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】先把75分解，然后根据二次根式的性质解答．
【解答】解：∵75＝25×3，
∴是整数的正整数n的最小值是3．
故选：B．
【点评】本题考查了二次根式的定义，把75分解成平方数与另一个因数相乘的形式是解题的关键．
7．（3分）下列性质中，平行四边形不一定具备的是（　　）
A．邻角互补 B．对角互补
C．对边相等 D．对角线互相平分
【分析】直接利用平行四边形的性质：对角相等、对角线互相平分、对边平行且相等，进而分析得出即可．
【解答】解：A、平行四边形邻角互补，正确，不合题意；
B、平行四边形对角不一定互补，错误，符合题意；
C、平行四边形对边相等，正确，不合题意．
D、平行四边形对角线互相平分，正确，不合题意；
故选：B．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，熟练掌握相关性质是解题关键．
8．（3分）在▱ABCD中，若对角线AC＝6，BD＝8，则AB长不可能是下列值中的（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】首先根据题意画出图形，由平行四边形的对角线互相平分，即可求得OA与OB的长，然后由三角形的三边关系，求得答案．
【解答】解：如图，在▱ABCD中，AC＝6，BD＝8，
∴OA＝AC＝3，OBBD＝4，
∴1＜AB＜7，
∴AB的长不可能是7．
故选：D．

【点评】此题考查了平行四边形的性质以及三角形的三边关系．注意掌握平行四边形的对角线互相平分定理的应用是解此题的关键．
9．（3分）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，若a+b＝14cm，c＝10cm，则Rt△ABC的面积是（　　）
A．24cm2 B．36cm2 C．48cm2 D．60cm2
【分析】要求Rt△ABC的面积，只需求出两条直角边的乘积．根据勾股定理，得a2+b2＝c2＝100．根据勾股定理就可以求出ab的值，进而得到三角形的面积．
【解答】解：∵a+b＝14
∴（a+b）2＝196
∴2ab＝196﹣（a2+b2）＝96
∴ab＝24．
故选：A．
【点评】这里不要去分别求a，b的值，熟练运用完全平方公式的变形和勾股定理．
10．（3分）如图，△ABC中，BD平分∠CBA，CE平分∠ACB的外角，AD垂直BD于D，AE垂直CE于E，AB＝c，AC＝b，BC＝a，则DE＝（　　）

A． B． C． D．
【分析】延长AE交BC的延长线于点M，通过证明△ACE和△MCE得到E是AM的中点，同理D是AF的中点，则DE是三角形的中位线，利用三角形的中位线定理求解．
【解答】解：延长AE交BC的延长线于点M，延长AD交BC于F，

∵CE⊥AE，CE平分∠ACM，
∴∠AEC＝∠MEC＝90°，∠ACE＝∠MCE，
在△ACE和△MCE中，
，
∴△ACE和△MCE（ASA），
∴AC＝MC＝b，AE＝EM，
同理，AB＝BF＝c，AD＝DF，
∴DE＝FM，
∵CF＝BC﹣BF＝a﹣c，
∴FM＝MC+CF＝b+（a﹣c）＝a+b﹣c．
∴DE＝（a+b﹣c）．
故选：B．
【点评】此题考查的是等腰三角形的性质及三角形中位线的性质，熟记等腰三角形的性质及三角形中位线的性质并作出正确的辅助线是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）计算：＝　3　．
【分析】根据算术平方根的性质进行化简，即＝|a|．
【解答】解：＝＝3．
故答案为3．
【点评】此题考查了算术平方根的性质，即＝|a|．
12．（3分）若一个直角三角形两边的长分别为6和8，则第三边的长为　10或2　．
【分析】由于直角三角形的斜边不能确定，故分b是斜边与直角边两种情况进行解答．
【解答】解：分情况讨论：
①当6和8为两条直角边时，由勾股定理得第三边长为：＝10；
②当8为斜边，6为直角边时，由勾股定理地第三边长为：＝2；
故答案为：10或2．
【点评】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
13．（3分）已知，则x2+2x﹣3＝　﹣1　．
【分析】把x2+2x﹣3变形为（x+1）2﹣4，直接代入即可求得结果．
【解答】解：∵x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴原式＝（﹣1+1）2﹣4＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值，把x2+2x﹣3变形为（x+1）2﹣4是解题的关键．
14．（3分）已知▱ABCD中，AB＝2．过A点向BC作垂线，垂足为E，AE＝2．则∠ABC＝　45°或135°　．
【分析】分两种情况讨论，由勾股定理可求AE＝BE＝2，即可求解．
【解答】解：如图1，当点E在BC上，

∵AB＝2，AE＝2，AE⊥BC，
∴BE＝＝＝2，
∴AE＝BE，
∴∠ABC＝45°；
如图2，当点E在CB的延长线上时，

∵AB＝2，AE＝2，AE⊥BC，
∴BE＝＝＝2，
∴AE＝BE，
∴∠ABE＝45°；
∴∠ABC＝135°，
综上所述：∠ABC＝45°或135°，
故答案为：45°或135°．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
15．（3分）已知a＜b，则化简的结果是 　﹣　．
【分析】根据已知条件及二次根式的性质可得a＜0，然后根据二次根式的性质化简即可．
【解答】解：∵a＜b，有意义，
∴a＜0，
∴原式＝＝﹣．
故答案为：﹣．
【点评】此题考查的是二次根式的性质与化简，掌握化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2是解决此题关键．
16．（3分）Rt△ABC中，直角边AC＝8，斜边AB＝17，在直线AC上取一点D，使△ABD为等腰三角形，则该等腰三角形的周长为 　50或34+3或34+5或　．
【分析】分三种情况讨论：①如图1，当AB＝AD＝10时；如图2，当AB＝BD＝10时；当AB为底时．
【解答】解：在Rt△ABC中，BC＝＝15，
①如图，

当AB＝BD＝17时，CD＝CA＝8时，
AC＝16，
∴△ABD的周长为17×2+16＝50；
②如图，

当AB＝AD＝17时，
得CD＝AD﹣AC＝9或CD＝AD+AC＝25，
在Rt△BCD中，BD＝＝＝3或BD＝＝＝5，
∴△ABD的周长为17+17+3＝34+3或17+17+5＝34+5．
③如图，

当AB为底时，设AD＝BD＝x，则CD＝x﹣8，
在Rt△BCD中，BD2＝CD2+BC2，
即x2＝（x﹣8）2+152，解得：x＝，
∴△ABD的周长为++17＝．
综上，△ABD的周长为50或34+3或34+5或．
故答案为：50或34+3或34+5或．
【点评】本题考查勾股定理、等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的方法解答．
三、解答题（共72分）
17．（8分）计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先把各数化简，再合并同类二次根式；
（2）先算括号内的，再算除法．
【解答】解：（1）原式＝4﹣+
＝﹣；
（2）原式＝（12﹣6）÷2
＝6÷2
＝3．
【点评】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式化为最简二次根式的方法及合并同类二次根式的法则．
18．（8分）先化简后求值：（﹣）÷，其中x＝．
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：当x＝时，
∴原式＝•
＝，
＝2
【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
19．（8分）如图，在▱ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AE＝CF．求证：BE＝DF．

【分析】本题考查平行四边形性质的应用，要证BE＝DF，可以通过证△ABE≌△CDF转而证得边BE＝DF．要证△ABE≌△CDF，由平行四边形的性质知AB＝CD，AB∥CD，∠BAE＝∠DCF，又知AE＝CF，于是可由SAS证明△ABE≌△CDF，从而BE＝DF得证．本题还可以通过证△ADF≌△CBE来证线段相等．
【解答】证明：证法一：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD．
∴∠BAE＝∠DCF．
在△ABE和△CDF中，

∴△ABE≌△CDF．
∴BE＝DF．
证法二：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC．
∴∠DAF＝∠BCE．
∵AE＝CF，
∴AF＝AE+EF＝CF+EF＝CE．
在△ADF和△CBE中，

∴△ADF≌△CBE．
∴BE＝DF．
【点评】本题考查的是利用平行四边形的性质结合三角形全等来解决有关线段相等的证明．
20．（8分）如图，在▱ABCD中，AD＝2AB，若E为BC中点，F为BD的中点．
（1）求证：AE平分∠BAD；
（2）若EF＝1，求AE2+DE2的值．

【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AD＝BC，求得AB＝BC，BE＝BC，根据等腰三角形的性质得到∠BAE＝∠AEB，根据平行线的性质得到∠DAE＝∠AEB，根据角平分线的定义得到结论；
（2）根据平行线的性质得到∠BAD+∠ADC＝180°，根据角平分线的定义得到∠DAE+∠ADE＝180°＝90°，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，
∵AD＝2AB，若E为BC中点，
∴AB＝BC，BE＝BC，
∴AB＝BE，
∴∠BAE＝∠AEB，
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∴∠DAE＝∠BAE，
∴AE平分∠BAD；
（2）解：由（1）知∠DAE＝∠BAE，
同理∠ADE＝∠CDE，
∵AB∥CD，
∴∠BAD+∠ADC＝180°，
∴∠DAE+∠ADE＝180°＝90°，
∴∠AED＝180°﹣90°＝90°，
∴AE2+DE2＝AD2，
∵E为BC中点，F为BD的中点，
∴CD＝2EF＝2，
∴AD＝2CD＝4，
∴AE2+DE2的值为16．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，平行线的性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
21．（8分）如果一个三角形的所有顶点都在网格的格点上，那么这个三角形叫做格点三角形，如图，请在下列给定网格（每个小方格边长均为1）中按要求解答下面问题：

（1）方格图1中格点△ABC的面积为 　　；
（2）已知某格点三角形有两条边长分别为、且面积与△ABC相等，则这个三角形第三边长为 　　；
（3）以图2中C为顶点，为边长构造等腰直角三角形，顶点均为格点，则这样的格点三角形有 　2　种（全等算一种），共有 　30　个．
【分析】（1）利用切割法求得△ABC的面积；
（2）画出所有的两条边长分别为、的格点三角形，然后找到与△ABC的面积相等的三角形，最后求得第三边的长度；
（3）分情况讨论，①边长为的边为直角边时，求得斜边的长为2；②边长为的边长为斜边时，求得直角边为，得到满足条件的三角形有2种，然后得到满足条件的三角形个数．
【解答】解：（1）S△ABC＝3×3﹣×3×2﹣×3×1﹣×2×1＝，
故答案为：．
（2）作出有两条边长分别为、的三角形，如图①，
S①＝2×3﹣×2×1﹣×1×3﹣×2×1＝≠，不符合题意；
S②＝2×3﹣×2×1﹣×1×3﹣×4×1＝≠，不符合题意；
S③＝2×5﹣×2×5﹣×2×2﹣×5×1＝≠，不符合题意；
S④＝4×3﹣×3×1﹣×1×4﹣×4×3＝≠，不符合题意；
S⑤＝3×3﹣×2×1﹣×2×3﹣×3×1＝，符合题意，
此时，第三边的长为＝，
故答案为：.
（3）①边长为的边为直角边时，斜边的长为2，
如图②，图③，图④，可以作出10个三角形；
②边长为的边长为斜边时，直角边为，
如图⑤，图⑥，图⑦，可以作出20个三角形，
∴满足条件的格点三角形有2种，共30个．


【点评】本题考查了勾股定理、等腰直角三角形的性质、切割法求三角形的面积，解题的关键是会用勾股定理求得三角形边长的长度．
22．（8分）已知由（a﹣b）2≥0，可得a2+b2≥2ab，运用上述结论解决问题：
（1）当a，b满足 　a＝b　时，a2+b2＝2ab成立；
（2）若x为正数，　2　，当x＝　1　时，取得最小值；
（3）若x为正数，的最小值为 　　；
（4）若x＞3，则最小值为 　2+　．
【分析】先根据所给结论，把已知式子转化为类似的形式，再套用结论作答．
【解答】解：（1）由a2+b2＝2ab，得（a﹣b）2＝0，
∴a＝b．
故答案为：a＝b．
（2）x+＝+2≥2，当且仅当x＝1时成立．
故答案为：2，1．
（3）由a2+b2≥2ab，可知当x、y为正数时，x+y＝+≥2．
∴若x为正数，则+≥2＝．
故答案为：．
（4）原式＝（x﹣3）+2+≥2+2＝2+．
故答案为：2+．
【点评】本题考查分式型函数的最值．解题的关键在于把分式型函数转化为已知不等式的形式．
23．（12分）△ABC中，∠BAC＝α，AB＝AC，点D、E在直线BC上．
（1）如图1，D、E在BC边上，若α＝120°，且AD2+AC2＝DC2，求证：BD＝AD；
（2）如图2，D、E在BC边上，若α＝150°，∠DAE＝75°，且ED2+BD2＝CE2，求∠BAD的度数．
（3）如图3，D在CB的延长线上，E在BC边上，若∠BAC＝α，∠DAE＝180°﹣，∠ADB＝15°，BE＝4，BD＝2，则CD的值为 　　．


【分析】（1）题意中有AD2+AC2＝DC2，根据勾股定理的逆定理可得∠DAC＝90°，进而能找出各个角的度数，由“等角对等边”可求证BD＝AD．
（2）借助旋转构造三角形全等，得出边角关系，进而能证明△AE′D≌△AED（SAS），再根据勾股定理的逆定理可得∠BDE′＝90°，再借助“三角形的一个外角是与它不相邻两个内角的和”得出∠BAD的度数．
（3）通过作辅助线来构造三角形全等，再利用手牵手模型证明△ABE≌△ACF（SAS），最后得出结论．
【解答】（1）证明：∵AD2+AC2＝DC2，
∴∠DAC＝90°，
∵∠BAC＝α＝120°，
∴∠BAD＝α﹣∠DAC＝30°，
∵∠AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝30°，
∴∠BAD＝∠B＝30°，
∴BD＝AD．

（2）解：如图（2），将△AEC绕着点A顺时针旋转150°，得到△AE′B，
∴AE′＝AE，∠ABE′＝∠C，BE′＝CE，∠EAC＝∠E′AB，
∵∠BAC＝150°，∠DAE＝75°，
∴∠BAD+∠EAC＝75°，
∴∠BAD+∠E′AB＝75°，即∠E′AD＝75°，
∴∠E′AD＝∠EAD，
又∵AD＝AD，AE＝AE′，
∴△AE′D≌△AED（SAS），
∴DE′＝DE，∠E′DA＝∠EDA，
∵ED2+BD2＝CE2，
∴E′D2+BD2＝BE′2，
∴BDE′＝90°，
∴∠E′DA＝∠EDA＝45°，
∵∠BAC＝150°，AB＝AC，
∴，
∴∠BAD＝∠ADC﹣∠ABC＝45°﹣15°＝30°，
故∠BAD＝30°．

（3）解：如图（3），作E关于AD的对称点F，连接DF，AF，CF，作FG⊥BC，
∵F，E关于AD对称，
∴AF＝AE，DF＝DE，
∵AD＝AD，
∴△ADF≌△ADE（SSS），
∴，∠ADE＝∠ADF＝15°，
∴∠FDC＝30°，
∴∠EAF＝360°﹣∠DAF﹣∠DAE＝α＝∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAF，
又∵AB＝AC，AE＝AF，
∴△ABE≌△ACF（SAS），
∴CF＝BE＝4，
在Rt△DFG中，∠FDG＝30°，DF＝DE＝BD+BE＝6，
∴，FC＝BE＝4，FG＝3，
∴，
∴，
故答案为：．

【点评】本题主要考查了勾股定理及全等三角形的判定，关键在于要作出合理的辅助线，利用构造的全等三角形得出答案，注意做题过程中辅助线的构造．
24．（12分）如图，平面直角坐标系中，点A（0，a﹣2），B（b，0），C（b﹣6，﹣b），且a、b满足，连接AB、AC，AC交x轴于D点．
（1）求C点的坐标；
（2）如图1，求证：；
（3）如图2，K是x轴正半轴上一点坐标为（m，0），将线段KC绕着K点顺时针旋转90°至KF，连AK，FB，取AK中点N，FB中点M，试用m表示MN的长度，并证明．

【分析】（1）将原式变形为（a﹣b）2+＝0，根据算术平方根和平分的非负性求得a，b，进而求得结果；
（2）作BE⊥OB，作AE⊥EF于E，作CF⊥BE于F，△AEB≌△BFC，进一步命题得证；
（3）作GK⊥OB，作FG⊥GK于G，作CH⊥GH于H，类比得出△FGK≌△KHC，从而表示出F点坐标，进而表示出M，N的坐标，进而求得结果．
【解答】（1）解：由题意得：（a﹣b）2+＝0，
∴a＝b＝8，
∴C（2，﹣8）；
（2）证明：如图1，

作BE⊥OB，作AE⊥EF于E，作CF⊥BE于F，
∴∠E＝∠F＝90°，
可得：A（0，6），B（8，0），C（2，﹣8），
∴AE＝BF＝8，BE＝CF＝6，
在△AEB和△BFC中，
，
∴△AEB≌△BFC（SAS），
∴AB＝BC，∠EAB＝∠CBF，
∵∠EAB+∠ABE＝90°，
∴∠CBF+∠ABE＝90°，
∴∠ABC＝90°，
∴AC＝AB；
（3）解：如图2，

作GK⊥OB，作FG⊥GK于G，作CH⊥GH于H，
同理（2）得：△FGK≌△KHC，
∴FG＝KH＝8，GK＝CH＝|m﹣2|，
∴F（m﹣8，m﹣2），
∵B（8，0），
∴M（，），
∵K（m，0），A（0，6），
∴N（，3），
∴MN＝|﹣3|＝||，
【点评】本题考查了等腰直角三角形性质，全等三角形的判定和性质，平方和算术平方根的非负性等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
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